研究有效方法解决萨哈方程数值模拟的毛细管放电

文摘

数值模拟的毛细管放电的电热(ET)或ET-chemical(等)发射系统,需要解决萨哈方程来确定组成的等离子体传输系数。这将导致一个相对长的仿真运行时相比,传统的计算流体动力学问题。摘要相对困难的多维问题解决萨哈方程转化为一维问题的模拟毛细管放电通过构造迭代方程对温度。的介绍,以确保收敛系数迭代方程。为了提高计算效率,这个系数是进一步优化和动态设置迭代初始值的方法。数进行模拟试验研究这两种方法的性能。结果表明,仿真运行时可以显著降低本文中提出的方法。

1。介绍

电热(ET)或ET-chemical(等)发射技术可以实现出口速度超过2公里/秒(1]。超速的传统发射火药驱动的技术几乎可以实现。等的关键物理过程或等发射系统,为这一领域的研究总是集中在毛细管放电所产生的高压和高温等离子体去除管作为工作介质的墙壁或点燃推进剂(2]。在过去的几十年中,不同程度的简化数学模型,建立了基于欧拉方程来研究这个物理过程(3- - - - - -9]。作为一个可以找到这些模型,特征是这些司机术语或传输系数,如电导率和烧蚀率,都是有关等离子体组成,所以,需要确定在每个计算等离子体的组成细胞首先解决数学模型之前下一个时间步的等离子体特性。

等或等发射技术,典型的温度和压力范围内的毛细管放电产生的等离子体10000 - 40000 K和100 MPa,分别为(10]。在这样的极端条件下,等离子体中认为是局部热力学平衡(LTE)和熔化的材料完全分离成基本的成分,部分或全部电离(11]。这些假设,等离子体的成分可以被解决萨哈方程决定。萨哈方程定义的关系在两个相邻离子电离阶段。它通常是一个多维的问题如果直接解决它。如前所述,扎格卢勒(12),这将是很难找到解决方案。工作的Trayner和Głowacki [13]情况理想的萨哈方程与单一元素等离子体物种首先新配方为一维方程,然后用一些解决数值算法对分法等。之后,扎格卢勒扩展这种方法的情况不理想的等离子体与多元素物种,同时保持一个维数的方法12]。的方法Trayner Głowacki和扎格卢勒是突出的,因为他们的方法使解决萨哈方程单独的工作变得非常容易。

毛细管放电等中使用的模拟或等发射系统,采用的方法的问题Trayner Głowacki或扎格卢勒是那些谈话方程数学模型的毛细管放电不能直接给温度而应作为输入数据为解决萨哈方程。的系列研究Zoler et al。5,14),能源对话方程是通过变量代换使它能够直接给温度。然而,夫妻偏微分项也会引入模型,将导致额外的计算量计算这些术语。在其他作品4,9,15),萨哈方程直接解决了在仿真与特定的能量方程。在这篇文章中,这种直接的理想是保留。方法的基础上Trayner Głowacki和扎格卢勒,多维问题的解决萨哈方程模拟毛细管放电转化为一维问题通过修改特定能量方程为迭代方程对温度。

这种方法使解决萨哈方程的工作变得相当简单的模拟毛细管放电;然而,仍然需要解决迭代方程数值算法在每一个细胞。由于计算量,毛细管放电通常需要长时间的仿真与传统的计算流体动力学问题。特别是在长管的情况下可能联合的退出毛细管作为桶或阴极或其他用途4,16,17),更大的计算区域将进一步提高仿真运行时。本文介绍了两种方法更好的计算效率包括优化迭代方程中引入系数和动态设置迭代初始值。加速机制与这些方法也是数值计算研究。

2。萨哈方程

在仿真研究等的毛细管放电或等发射技术,萨哈方程的一种广泛使用的形式是由(15] 在哪里的比例吗倍电离离子的元素种类总重粒子(12]。显然,确定等离子体的成分通过求解萨哈方程实际上意味着确定通过求解(1)。的功能是由(12,15,18] 在哪里是总重粒子的数密度,电子比总重粒子,表示的配分函数依赖于温度 , 电子的质量,是玻尔兹曼常数,普朗克常数,电离势。的值为和必要的光谱数据用于计算 ,他们可以找到一个从数据库在线(19]。介绍了电离势的降低,因为等离子体的非理想的效果。是由(4,12] 在哪里的介电常数是自由的空间,是电子电荷,是德布罗意波长,是标准的德拜长度可表示为 在哪里被定义为 在哪里代表的最大允许元素的电离阶段物种 。 可以估计的上限温度在一个特定的仿真案例。两个补充方程求解给出了萨哈方程 (在哪里6)是等离子体的电中性条件。元素种类的比例吗总重粒子。可以得到等离子体的密度与材料的化学分子式切除从墙上的毛细管。为解决萨哈方程表示为(1)、等离子体密度、数密度或质量密度 ,和需要的输入数据。上面的方程是用来说明解决萨哈方程的方法。更多细节关于萨哈方程,他们可以找到一个在4,12,15]。

3所示。单独解决萨哈方程的方法

下面列出的方法解决萨哈方程分别来自Trayner和Głowacki和扎格卢勒12,13]:元素的物种 ,(1)可以表示为 也就是说, 可以表示为 从(7),可以表示为 用(9)(10),一些重组,其中一个 首先,对于一个更简单的情况 理想的等离子体,在作为一个可以找到从未知(2),所以,11)可以表示为 方程(12)表明,可以明确表达的吗 。用(12)(9),一个人 在哪里 。同样,作为(11),只有在右侧(13)是未知的表明 也可以表达明确的吗 。然后,在一起(12),所有 元素的种类可以明确表达的吗 。也就是说, 自(14)对任何元素实际上是有效的物种j被认为是在模拟的情况下,(14)也意味着 每个元素的种类考虑到仿真可以明确的表达 。然后,用(14)(6),可以得到迭代方程 。也就是说, 本文简单的定点迭代法(20.)是用来解决迭代方程(15)。过程如下:(我)集迭代初始值。(2)计算(11)获得 。(3)计算(9)获得 。(iv)重复步骤(2),(3)对所有元素的物种被认为是在模拟的情况下。(v)计算(6)获得一个新的表示为 。(vi)集是重复步骤(2),直到满足终止条件(v)。

作为一个可以找到从程序(i) - (vi),同时可以确定吗 。也就是说,的情况下 ,一个相对困难的多维问题降低到一维问题。对于目前的情况 我们可以看到从(2)- (5),不能明确的表达出来除非是1,所以这两个吗和是未知的 。在这种情况下,(12)和(14)成为 然后,(15)成为 显然,(17)无法解决程序(我)——直接(vi)。然而,如果人为地将是一个经验值,和可能仍然得到解决(17)程序(i) - (vi)作为解决(15)。然后,一个新的可以通过计算(5)。这实际上是一个迭代的过程可以表示为 酒吧在指的是数值函数的性质(12]。解决的过程(18)如下:(一)集迭代初始值。(b)解决(17)程序(i) - (vi)获得 。(c)计算(5)获得一个新的表示为 。(d)集是和重复步骤(b) - (c),直到满足终止条件。

扎格卢勒如前所述,上面的方法将相对困难的多维问题转化为一维问题它很容易找到解决任意精度(12]。

4所示。解决萨哈方程模拟的毛细管放电

方程(19)- (23)是时间的一维数学模型用来模拟毛细管放电等或等发射技术(4,11,21]。在这组模型,代表时间和代表轴坐标,质量密度,等离子体流的速度,烧蚀率的增加导致吗 , 的压力,具体的内部能量(您),是电导率, 是输入能量焦耳加热的形式。确定基于电子碰撞中性原子和离子的碰撞频率与离子评估模型Zollweg和利伯曼模型(22]。详细的理论或计算的方法以及传输系数等和这些条款您方程(22从(),他们可以找到一个4,15]。如前所述,这些传输系数都有关 ,这需要解决萨哈方程在每个计算单元来确定首先,然后,(19)- (23)可以得到解决,下一个时间步的等离子体流特性。然而,(19)- (21)不能给直接而需要的输入数据为解决萨哈方程。同样,作为建设(17新出现。对于非理想的等离子体前面提到的,该方法Trayner Głowacki和扎格卢勒可以进一步扩展通过构造迭代方程同时保持方法的一个维度。的迭代方程可以很容易地获得通过修改(22) 在哪里和代表您和密度取决于(19)- (21)。这两个可能被视为解决输入数据(24)。 代表由计算结果(22)。解决的过程(24)如下:(一)集迭代初始值。(B)解决(18)程序(一)——(d)获得 。(C)计算(22)获得 。(D)计算(24)获得一个新的表示为 。(E)集是和重复步骤(B) - (C),直到满足终止条件。

通过上述方法,相对困难的多维问题解决萨哈方程模拟的毛细管放电转化为一维问题 。在(24),一个系数介绍了。它是用来使迭代方程(24)满足收敛条件。(24),这种收敛条件可以表示为(20.] 在哪里代表的右边(24)。不等式(25),一个可以获得的范围 ,这是 在毛细管放电或等发射技术,的大小顺序 通常是 (国际标准单位)。很明显,(24)如果不能满足收敛条件不是介绍或设置为1。的特定值在一个细胞,一个可以设置为最大的计算效率。不等式(25),可以发现,如果使 ,在那里代表了真正的根细胞中,它可能需要至少迭代找到这个细胞的根。也就是说, 理想的情况是,如果是一个线性函数,由(27),只有一次的迭代将需要找到解决方案和收敛速度将是无穷大。对于非线性函数,如果使 在一个细胞,这意味着,接近 , 会越来越接近0,这个过程的收敛速度也会增加。它更像是一个加速收敛速度的影响。与牛顿迭代法收敛的平方,简单的定点迭代方法本身是线性收敛的20.),但仍可能获得一些通过优化加速度的影响 。也就是说,如果将更接近细胞,需要更少的迭代找到根。

在毛细管放电的实际模拟,将是乏味的和不必要的每个细胞在不同的时间点。一个更可行的方法是设置是一个统一的价值对整个模拟只要可以满足收敛条件。基于上述分析,我们可以发现,最小运行时,这个统一应选用非常接近的平均值在所有的细胞在每一个时间点。因为一个人不能获得事先也不平均,可以将一个相对较小的值,以确保收敛一看到从不等式(26)第一次模拟;然后,一个人可以获得的平均值从仿真结果。自设置为一个统一的价值,确切的价值吗最低运行时也会受到其他因素的影响,如设置迭代初始值的方法。一个可能需要调整在此基础上的平均值额外的模拟测试,直到最低模拟运行时实现。

5。设置迭代初始值

设置迭代初始值的基本原理是把它尽可能接近真实的根,所以需要更少的迭代来找到它。此外,自是非线性函数,上面的方法设置也表明,如果迭代初始值太远离真正的根,迭代方程不能满足收敛条件。时间模拟的毛细管放电,等离子体流属性,包括 , ,和 ,是动态的时空数据,所以可能还需要设置的迭代初始值 , ,和动态。否则,输入电流的变化, , ,或目前在一个细胞时间点可能会改变在很大程度上从这些属性这个细胞在以前的时间点的。这也可能导致大量的迭代找到解决方案,甚至使迭代发散的。

在毛细管放电仿真,以达到一个高质量的解决方案或满足Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)条件下保持稳定的模拟,空间时间步步骤通常是将相对较小的值,所以等离子体特性的两个空间或时间相邻细胞可能非常接近对方。这实际上提供了两种简单的方法来设置动态迭代初始值。如图1为解决萨哈方程或(24)“现在”细胞,可以设定的迭代初始值 , ,或的解决方案(24)相应的“最后一次一步”或“最后的细胞。”在这篇文章中,为了方便,设置迭代初始值的解决方案“上次一步”被命名为“Initial-T”和设置迭代初始值的解决方案“最后细胞”命名为“Initial-S”;由于没有“最后细胞”的细胞封闭式的毛细管,“Initial-T”仍然是用于此“Initial-S细胞的方法之一。“另外,比较研究,设置迭代初始值固定命名为“Initial-F。“在这篇文章中,固定的迭代初始值 , ,和将他们的平均超过所有的细胞在每一个时间点从先前的模拟结果。

6。结果与讨论

一些数值试验进行了研究提出了性能的方法。本方法的准确性,进行了两个试验。第一个是程序(一)——(d)。在这个测试中,萨哈方程或(18)聚乙烯等离子体单独解决采用程序(一)——(d)与不同的压力和温度。摘要终端标准解决萨哈方程构造的近似相对误差百分比(20.]。为 ,终端可以表示为标准

通过这个终端标准,5位有效数字可以实现,这是为目前的研究发现是足够精确的。然后,解决方案,电导率计算并与金正日的结果(11]。在图2,聚乙烯导电率计算等离子体温度和压力的函数从现在的结果,11绘制。可以观察到,现在的结果是发现金完全同意的结果(11)这可能证明程序的准确性(一)——(d)以及编码工作的正确性。

第二个测试是程序(一)- (D)。在该测试中,使用的毛细管放电等或等发射系统数值模拟与实验数据从投8中系列实验鲍威尔和Zielinski [4]和程序(一)——(D)是用来解决萨哈方程在每个单元模拟。同时,模拟等离子体流属性提出的模拟结果相比,在鲍威尔和Zielinski [4]。在图3,输入电流和使用的毛细管的几何模拟绘制。输入当前数据图3(一个)收集从[11)与图像识别软件,然后安装到ninth-order多项式。从200年开始进行仿真年代到700年代避免初期由电气爆炸用来初始化弧(4,11]。用于仿真的数学模型(19)- (23)。宽松方案求解这个模型。网格点和CFL数是固定的100和0.5,分别。设置迭代初始值的方法是“Initial-T。“模拟结果与“Initial-S”或“Initial-F”几乎可以互相区别。在图4沿轴向方向,模拟等离子体流属性为500s是策划。可以观察到的,从目前的仿真模拟等离子体流属性略高于鲍威尔和Zielinski [4]。可能的原因之一可能是,当前的输入电流收集与图像识别软件不是一模一样,用于模拟鲍威尔和Zielinski。其他可能的原因这些细微的差别可以设置不同的网格点或时间步骤,用于模拟不同方案,等等。更多详细信息的模拟和讨论模拟等离子体流的属性,可以发现他们在4,11,21]。

基于上面的模拟,目前方法的效率进行了研究。在图5,模拟运行时变化从0.4到0.8,不同设置迭代初始值的方法绘制以选择最低的运行时。用c++编写模拟程序和Windows 7的CPU上运行英特尔酷睿i7 - 6700总部。大部分的文件编写函数关闭模拟程序的效率。每个最终记录运行时重复模拟运行时平均超过50倍。可以观察到,有一个显著的优势利用“Initial-S”或在“Initial-T Initial-F。“运行时”Initial-T”和“Initial-S”大约是安排从9到13秒20至29秒,分别而运行时以“Initial-F”大约是安排从45到69秒。在图5还发现,即使将 “Initial-T”总运行时仍然是大约50%不到的最小运行时用“Initial-S仿真。“方法”Initial-S”和“Initial-T,” 和 ,在那里可能是 , , ,或其他属性,实际上意味着迭代初始值的距离真正的根,所以这两种方法连接 和 计算效率。它可能是 通常是大于 。从仿真结果,发现的大小顺序是 和的大小顺序是 ,这样的大小顺序 大约是1 K。的大小顺序 ,它是不同的从0封闭式的毛细管 在出口处。自是 , 最多可能达到约180 K。

在图6、时空分布的循环计数程序(i) - (vi)从模拟“Initial-S”和“Initial-T”策划,分别。因为程序的结构(一)——(E)实际上是一个三层的循环和过程(i) - (vi)是最内层循环,循环计数的程序(i) - (vi)可以在一个细胞显示总迭代。的价值用于模拟图5最低运行时。在图6(一),因为沿轴向方向总是增加毛细管放电, 将是更大的在该地区附近的毛细管的退出。这导致迭代初始值从“细胞”成为进一步获得真正的根沿着轴向方向和循环计数也会增加并达到最高水平毛细管的出口附近的地区。在图6 (b)分布通常是一致的 在这是输入电流。早期和晚期阶段的模拟,可以观察到当前的迅速增加和减少从图3(一个);也就是说,是在这两个时期在一个相对较高的水平。这使得等离子体流属性也迅速改变,这样的迭代初始值获得“上次一步”可能相对远离真正的根在早期和后期的仿真。在430年的中期年代到530当电流峰值附近,大约是0,所以等离子体流属性将在这段时间内保持相对稳定。这使得迭代初始值,获得一份礼物细胞从“上次一步”变得非常接近真正的根,所以中间循环计数可能达到的最低水平。

相似的数据6(一)和6 (b)是所有循环计数可以达到自己的巅峰毛细管的出口附近的开始模拟。如前所述,一个细胞,解决(24)能找到至少迭代通过设置尽可能的真实这个细胞。在这篇文章中,将一个统一的价值对整个模拟,它可能发生,统一相对远离他们是真的吗在一些时空区域。这将导致收敛速度可能会保持在一个相对低的水平在迭代过程中导致相对高水平的循环计数在这些时空区域。在图7的时空分布 是绘制。它是发现, 可能达到峰值约 在出口处的毛细管的开始模拟和大约达到最低水平 封闭式的毛细管430点附近年代到530当电流也达到高峰。从仿真结果,发现的平均值在所有的细胞在每一个时间点 这是接近的吗 ,然后,一边最远的点的平均值吗 。的原因, 可以在相对较高的水平靠近出口的启动或后期毛细管放电,可以发现它从您的定义或通过分析您的尺寸。

正如上面提到的,准确的值当最低运行时实现也可能受到设置迭代初始值的方法。在图5最低运行时实现时,是 而“Initial-T”是 “Initial-S。“前一个不是像“Initial-S”的平均值这是 正如上面提到的。一个近似的解释如下:如图6 (b),循环计数在更高水平和在早期和晚期阶段模拟由于这个概要文件的输入电流。与此同时,在这两个时期, 也在相对较高的水平,如图7,所以可以调整到低一点的 ,这是 ,减少循环计数的早期和晚期的模拟。这种调整也是原因成为进一步的一侧在中间的模拟。然而,这一时期的循环计数可能仍然很低,因为目前也达到高峰和等离子体流属性不变的大约如前所述。模拟的“Initial-S”,总不能减少了通过调整运行时任何一边。循环计数的地区相对较高的出口附近的毛细管,如图6(一)。在这个地区, 增加和减少沿时间方向和不高或低,如图7。有可能是平均的 出口附近的毛细管甚至可能发生 ,所以没有这样的一面可以调整为更少的总运行时间与“Initial-S模拟。“为了进一步减少运行时,一个可能的方法可能是整个时空区域划分成3 - 4小区域和设置这些地区分别,所以可以接近平均相应的时空区域。这可能有助于避免统一的情况远离是真的吗在出口处等这些地区的毛细管的开始模拟。

7所示。结论

方法基于的工作Trayner Głowacki和扎格卢勒放电介绍解决萨哈方程的模拟中使用的毛细管放电等或等发射系统。通过修改特定的能量方程,解决萨哈方程的多维问题降低到一维迭代方程的温度。一个系数引入迭代方程满足迭代法的收敛条件。为了提高计算效率,包括优化两种方法介绍了动态和设置迭代初始值。几个数值模拟中使用的毛细管放电等或等发射系统进行测试的详细性能提出了方法。程序的循环计数(i) - (vi)和模拟运行时间记录研究方法的效率。结果表明,仿真与优化运行时可以显著降低和“Initial-T。Initial-T“首先,使迭代初始值可能更接近真正的根细胞;其次,“Initial-T”可以利用脉冲的输入电流使可以进一步优化的最小运行时间与“Initial-S。”

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

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