所产生的非线性水弹性波浮动弹性板电流

文摘

的影响基本统一的电流所产生的非线性水弹性波无限浮板进行了研究分析,根据假设流体均匀,不可压缩、非粘性的。无旋流动的情况下,拉普拉斯方程为控制方程,边界条件的表达在流体动力学平衡,均匀电流和弹性力。发现,收敛级数解,同伦分析方法获得的(火腿),由非线性水弹性波剖面和速度的潜力。重要的物理参数的影响进行了较为详细的试验研究。随着电流强度的增加,我们发现水力弹性波的振幅略微下降,而反对当前的水浪上产生相反的效果。此外,波振幅的增加非常明显反对当前的速度,减少略微高流速。入射波的振幅更大增加了水弹性波变位反对和电流后,在板的杨氏模量有相反的效果。

1。介绍

一个浮动的弹性板可能是一个适当的物理模型为一个非常大的浮动结构(甚低频)海洋中或极地的冰盖由于其巨大的水平维度较其垂直厚度。非线性水弹性响应,没有假设小振幅波必然是,成为一个不可或缺的因素在设计甚低频或考虑冰盖储存设施,移动式近海基地或飞机跑道,等等。《福布斯》(1986)(1)初步研究了非线性周期波无限水深的弹性冰盖下的摄动技术。《福布斯》(1988)(2进一步优化他们以前的方法在微扰技术的框架通过引入牛顿迭代技术近似傅里叶系数。Vanden-Broeck和Părău (2011) [3]试图延长《福布斯》(1988)的研究(2]大幅度周期波,而客观地指出,微扰法不适用于非常陡峭的波浪,它强烈地依赖于小参数。水孤波传播的解析解下推导出无限弹性板Milewski et al。(2011)4),用渐近和数值方法。小王和陆(2013)[5]研究了非线性水弹性进步波旅行在深水无限弹性板的同伦分析方法(火腿),这是完全独立于任何小的物理参数(6]。以类似的方式使用火腿,两层流体被王认为,陆(2016)(7]研究的影响分层流体的非线性水弹性波在无限弹性板旅行。发现一个更大的流体层的密度比或深度比可以减少弹性板挠度。

所有上面提到的调查都是在假设中没有电流海洋环境。正如我们所知,有各种原因,如风能、热,地球的自转,经常产生洋流和潮汐影响。一些学者分析研究非线性水弹性波电流。采用线性位势流理论,Schulkes et al。(1987)8)首先考虑均匀流的作用下漂浮的冰板。保护和Sahoo (2007) [9]使用色散关系分析的详细特征由于浮动弹性板弯曲重力波的电流或对立的电流。渐近萧条的瞬态弯曲初始扰动产生的重力点被保护和派生随后Sahoo (2008) (10]。莫汉蒂et al。(2014)11)研究当前和压缩力的共同作用时间弯曲重力波动的情况下获得的单一和两层流体和格林函数的渐近结果和冰盖的挠度使用固定相的方法。最近,Lu和杨(2015)(12)被认为是不稳定水力弹性波之间的相互作用引起的固定集中载荷和底层的电流,发现弯曲重力波动取决于当前速度比阶段或组的速度。

在这篇文章中,我们考虑非线性水弹性波生成由于浮动弹性板在一个潜在的统一当前二维情况。两个基础研究电流的援助火腿。后一个是现在的,另一种是反对。收敛分析系列解决方案推导出非线性水弹性响应。

2。数学描述

如图1笛卡儿坐标固定在地球上使用,设在伴随着原状板水接口,而设在点垂直向上。浮动板延伸到无穷沿目前设在没有草案,和一个潜在的假定为从左到右(一个相反的电流从右到左)。在流体均匀的假设下,不可压缩、非粘性的和无旋流,控制方程 在哪里 波速度势。 的水力弹性波仰角波板接口也是浮板的垂直水弹性响应。从一开始的时间。

在深水条件读取底部

用板的抗弯刚度 ,在那里 , ,和杨氏模量、厚度不变,分别和板的泊松比。让统一的电流的强度,让 板的质量在一个单位长度,在那里是弹性的均匀密度板。是液体的密度均匀。未知的非线性运动学和动力学边界条件板水界面 是由

至于进步浪潮,我们介绍了一个独立的变量如下: 在哪里和波数和角入射波的频率,分别。所以我们可以执行速度势函数 和水弹性波剖面 。

为了简化公式,物理变量nondimensionalized

通过变换(4)和nondimensionalization (5),(1)- (3)改变成(省略了) 分别在哪里 一个部分的组合(8)和(9)给出了边界条件 如下:

对于一个给定的角频率或当前的速度 ,未知的速度势 和水浪获得(6),(7),(9)和(11用火腿在随后的部分)。

3所示。分析方法的基础上,火腿

3.1。解表达式

我们第一次预测一组解表达式的未知的非线性水弹性波。从物理的观点,未知速度势和进步水力弹性波变位产生弹性薄板由于可以表达的5] 与基础功能 和 分别在哪里和都是未知系数推导。

根据解表达式(12),我们可以构造的初始估计潜在的功能 在哪里是一个未知系数。我们选择 作为初始估计水力弹性波的偏转来简化计算(5,6]。考虑到nondimensionalized线性色散关系(9)对于当前的深水,我们认为的初始估计非线性色散关系满足 在哪里是角频率的初始估计和统一的电流强度的初始估计吗 。

3.2。零阶变形方程

而不是解决这些非线性方程(6),(7),(9)和(11)直接,我们开发四个拓扑同伦 , , ,和 。作为嵌入参数 增加从来和 变形不断从它最初的估计 确切的解决方案 , 不断变化的来 , 是来自来 ,和是来自来 。同伦的 和 由零阶变形方程(6),(7),(9)和(11)如下: 在哪里是一个非零convergence-control参数。基于非线性边界条件(11)和(9),分别和非线性算子定义为 分别在哪里 我们选择波形函数的线性算子 在非线性算子作为辅助线性算子 : 在哪里 。

扩大这些未知的变量 , , ,和在泰勒级数在 : 在哪里

我们选择的线性算子 在作为辅助线性算子 : 在哪里 。特别是,我们有很大的自由选择辅助线性算子的火腿,基于线性波理论,角频率和当前速度可以近似 和 在操作员 ,分别。

一次所以正确选择系列(23)收敛 ,我们将获得他们的收敛homotopy-series解决方案。

3.3。高阶变形方程

区分零变形方程(16)- (19)次约 ,然后他们除以 ,和设置 ,得到线性pd对未知的变量 , , ,和 ,即阶变形方程: 在哪里 。 在哪里 和Heviside阶跃函数。阐述了表达式为 , , ,和附录中给出。

在一阶计算,我们仍然不能得到的系数 ,所以额外方程介绍了与水力弹性波高与入射波的高度作为 在哪里是一个偶数,一个奇数,一阶入射波的无量纲振幅。

3.4。最佳Convergence-Control参数

根据廖6,13),是convergence-control参数,本质上不同的火腿与所有其他分析技术。我们可以获得收敛近似系列通过选择最优的解决方案 。考虑到数量的离散点,最优对应于最快的减少总平方剩余的定义为 在哪里 在哪里和剩余平方误差的边界条件(18)和(19) ,分别。 。我们选择 在这里,最优convergence-control参数可以选择的最低的在剩余图如图2。

4所示。结果与讨论

总剩余平方误差在几个不同的订单说明流体与当前与统一给我们分析解决方案在图的有效性和准确性2的情况下 , , , , , 。发现,订单逐渐增加,减少的最小时间间隔 然后最优是关于 。此外,我们发现从表1,随着 的平方误差迅速降低 在7阶近似。

我们考虑几个重要的物理参数的影响,包括统一的电流强度和方向,入射波的振幅和杨氏模量的浮板,在水力弹性波的非线性动力学特征。首先,图3显示了水弹性波挠度的变化不同的电流强度。最大电流的速度是关于 在海洋14),我们选择四个无因次电流强度(没有电流), , ,和在我们的计算。以下电流和对方之间的比较,结果表明,水力弹性波的振幅降低略以下电流强度的增加,而对面的反对当前具有明显的效果。此外,水力弹性波更大大受到反对当前的影响。

在数据4和5,三个无量纲的振幅被认为是研究水波浪的变化通过增加从来不同的电流。我们发现以下电流和一个反对当前的一个更大的增加了水弹性波剖面。在接下来的当前情况下,我们可以观察到从图4,一个更大的电流强度降低了水弹性波剖面非常轻微,而对于反对当前的情况,我们从图注5水力弹性波的振幅增加与电流强度的增加明显 。

最后,我们考虑杨氏模量的影响浮动板的水通过增加从来不同的电流。从数据看6和7后电流和一个反对当前的一个更大的波的振幅衰减。因为板变得硬,大可以生成活性力抵抗水波浪的变形。特别是在当前病例之后,图6表明更大波振幅降低非常小,而对于反对当前的情况,我们从图观察7水力弹性波的振幅增加很明显随着电流强度的增大 。

5。结论

我们王的扩展研究,陆(2013)(5)非线性水弹性波在一个基本统一的电流,它描述了波流相互作用的海洋。在火腿的框架,我们构造零阶变形方程,我们选择辅助线性算子只包含的衍生品 在非线性算子和只包含的衍生品 在非线性算子 。特别是,我们选择相应的线性色散关系的解决方案作为初始估计,速度的潜力 和水弹性波剖面 ,分别。分析通过解决收敛的解决方案阶变形方程,数值结果表明我们的收敛性和精度HAM-based解析表达式,通过选择最优 。

的影响重要物理参数非线性水弹性波在底层均匀电流进行了较为详细的试验研究。目前发现在以下情况下大减少水力弹性波的振幅略微但增加明显的反对。水弹性波成为陡后和反对当前随着入射波的振幅增加,但杨氏模量水浪上的相反的效果。此外,水力弹性波更大大受到反对当前的影响。特别是水力弹性波大大反对当前的影响大于由以下电流。

附录

详细的推导 , , ,和在(27)和(28)

让 我们有一个麦克劳林级数如下: 为 ,它遵循从(. 1)和(a .), 在哪里 因此,对于 ,我们有 在哪里

让

用系列扩展(. 1),(本)和(A.7)条件(18)和(19),然后等同的力量 ,我们获得两个线性边界条件(27)和(28),分别。显式表达式 , , ,和在这两个条件是派生的 在哪里

信息披露

作者自己项目符号计算软件命名Mathematica 8.0独立获得的近似解析解的pde认为这里。

的利益冲突

关于这个手稿没有利益冲突。

确认

这项研究是由中国国家自然科学基金资助下批准号51374134和项目山东省高等教育的科技项目。J14LJ53。青岛博士后应用研究项目。020022034也承认。

引用

1. l·k·福布斯,”一个弹性板下表面波的振幅大。即高阶级数解。”流体力学杂志卷,169年,第428 - 409页,1986年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. l·k·福布斯,”一个弹性板下表面波的振幅大。第2部分。加勒金方案。”流体力学杂志卷,188年,第508 - 491页,1988年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. 人类。Vanden-Broeck依Părău,“二维广义孤波和周期波冰盖下,“英国皇家学会哲学学报A:数学,物理和工程科学,卷369,不。1947年,第2972 - 2957页,2011年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. p . a . Milewski人类。Vanden-Broeck z王,“水孤波在深水中,”流体力学杂志卷,679年,第640 - 628页,2011年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. p . Wang和d . Lu”解析近似非线性弹性薄板在水波浪浮在液体,“中国科学物理、力学和天文学卷,56号11日,第2177 - 2170页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. s . j .廖同伦分析方法在非线性微分方程,高等教育出版社,北京,2012。
7. p . Wang和d .问:,“弹性薄板非线性水弹性波在一个旅行漂浮在一个两层的液体,“应用数学和计算卷,274年,第710 - 700页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. r . m . s . m . Schulkes r·j·霍斯金表示:公元Sneyd,”波由于稳步源浮冰板。第2部分,“流体力学杂志卷,180年,第318 - 297页,1987年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. 保护和t . Sahoo“当前和弯曲重力波的相互作用,”海洋工程,34卷,不。11 - 12,1505 - 1515年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. j .保护和t . Sahoo弯曲初始扰动重力波生成的电流的存在,”海洋科学和技术杂志》上,13卷,不。2、138 - 146年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. s·k·莫汉蒂、r . Mondal和t . Sahoo”与时间有关的弯曲重力波的电流,“流体和结构》杂志上卷,45 28-49,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. d .问:卢和r·w·杨”点负载电流,产生的水力弹性波”国际海洋和极地工程杂志》上,25卷,不。1,8 - 12,2015页。视图:谷歌学术搜索
13. s . j .廖超越扰动:同伦分析方法的介绍美国佛罗里达州,CRC出版社,波卡拉顿,2004。
14. y y . j .剑问:朱,j . Zhang和y . f . Wang“三阶近似毛细管引力短峰波电流均匀,”应用数学建模,33卷,不。4、2035 - 2053年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权©2017平王等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。