均匀带电矩形板的库仑自能存储

摘要

许多电子设备都含有带电的平板(电极)作为其组件。近似地考虑这样的组件作为无限大板是不满意的目前的状态，消费电子的尺寸现在是非常小。特别是，纳米技术革命使制造具有任意形状和以纳米为单位的特征长度的真正有限系统成为可能。因此，对于这种情况，唯一准确的方法是将系统实际地视为具有有限大小范围的系统。在这项工作中，我们计算了储存在一个有限大小的带电电极中的静电能量，该电极被建模为一个均匀带电的任意长度和宽度的矩形板。非平凡的数学变换使我们能够推导出这样一个系统的库仑自能作为其长度和宽度(因此也包括形状)的函数的封闭形式的精确表达式。该结果有助于理解均匀带电平板系统中静电能随尺寸/形状变化的存储过程。这个结果也适用于处理在凝胶模型中的有限二维电子气体的性质的计算，其中有限的凝胶域可以有任意的矩形形状。

1.介绍

许多电子设备都是由带电的平板(正方形、长方形、圆盘等)构成的。这些带电板(通常称为电极)的作用是在设备中沿着正确的路径引导电流。尽管任何真正的电极在范围上都是有限的，人们通常可以通过将其建模为一个无限均匀带电的极板来很好地理解这个系统。这种简单的处理是非常合理的，只要感兴趣的距离电极比电极本身的特征长度小。在这种情况下，将边缘视为无限远离感兴趣点是合理的。

然而，纳米技术的巨大进步已经使制造非常小的东西成为现实有限的可能具有任意形状、大小和维度的系统[1- - - - - -8抛弃有限尺寸的治疗方法是不准确的。特别是带电的纳米板是任何纳米电子器件的关键组成部分。通常，它们的性质取决于大小/形状，主要由静电相互作用控制[9- - - - - -15］．例如,纳米板最近已经在实验中生长，用于电池阴极应用[16］．透射电子显微镜测量表明，这种纳米板是非常薄的矩形，大约50纳米(大约是人类头发的1000倍)，一面高达2000纳米[16］．对于这些值，它们可以安全地近似为几乎理想的二维(2D)矩形板。当充电时，这种纳米板理论上可以存储可充电电池中一些最高量的静电能。这种材料可以储存的电量可以通过快速或缓慢地对纳米板进行充放电来测量。在这个特殊的例子中，研究人员发现，当纳米板在一天内缓慢充电，然后同样缓慢放电时，所保留的电量非常大[16］．对材料的改进(在一个小时内充电和放电，而不大幅度降低慢充电和放电的最佳性能)可能会导致消费电子产品的重要进步。

纳米技术领域的发展也使有限的二维区域内电子系统的制造成为可能[17- - - - - -22］．对于有限的二维电子气体(2DEG)，最简单的模型涉及“凝胶”近似，其中假定中性正电荷均匀地分布在有限的二维区域。而当涉及到2DEG在热力学极限下的体积特性时，凝胶背景的形状无关紧要[23- - - - - -25，而对于有限区域内的有限电子系统则不是这样。有限电子系统对有限的凝胶域(电子耗尽区)的几何结构很敏感，在那里电子被捕获。因此，有限2DEG的性质反映了所选择的正有限凝胶背景的形状[26，27］．尽管有限方形域的假设是完全合理的，但对于有限2DEG模型，一个矩形的有限凝胶背景是一个更普遍的选择。

在本工作中，我们考虑了一个均匀带电的有限矩形域(它可以代表一个均匀带电的纳米板或一个有限的矩形凝胶背景2DEG)，并精确计算了该系统中存储的库仑静电自能。我们得到了这个量作为长/宽的函数的精确解析表达式，从而得到了矩形板的形状。通过这种方法，人们可以精确地显示尺寸和形状如何影响存储在矩形几何有限板中的静电能量。

文章组织如下。节2我们解释了理论并给出了主要结果。节3.我们讨论了主要的发现并提出了一些结束语。附录中提供了一些具有挑战性的计算的细节一个，B，C，D，E,F。

2.均匀带电矩形板的库仑自能计算

我们考虑一个任意形状的矩形板，和宽度,。我们假设矩形板是均匀带电的，并包含总电荷，。因此，矩形板的均匀表面电荷密度为 选择直角坐标系，使假定矩形板位于其中飞机。坐标系的原点在矩形板的中心。的- - --轴与板的边缘平行，如图所示1。对于这种坐标系的选择，均匀充满电荷的矩形区域为 我们假设基本电荷之间存在库仑相互作用和,在那里（为二维位置向量和（)是基本表面积。预期均匀带电矩形板的库仑自能与板的形状有关。因此，我们称它为因为它依赖于两者和。要计算的量是 在哪里库仑电常数和为(2)．精确计算非常具有挑战性，因为它涉及到一个非平凡的四维积分。

为简化(3.)，我们转换量以下方式: 用(4) (3.)导致 可以用(5), 这两个函数，和的定义和计算在附录中一个。(6)的计算方法见附录B。在……的帮助下B.8)和(B.9)，然后在(6), 其中辅助功能，，有以下表格[见(B.7): 可以从(7),发散的如果(或)或两。请注意,和在这种情况下。

通过使用for这个表达式在(8)可以用(7)更明确地作为 (9)涉及三种不同类型的积分，如下所示: 在哪里，为实常数是反正弦双曲函数。在此，我们指出(10)不是普通的表积分。因此，为了读者的利益，在附录中提供了计算这种积分的所有细节C，D,E,分别。所提出的要点是，(9)可以精确计算。经过一些仔细的代数运算，我们能够写出均匀带电矩形板的库仑自能的最终结果为 注意，(11)可以立即看到预期的结果:

(中的表达式11)可以用不同的形式来表示能量是如何随大小而变化的。在这种情况下，必须假设至少有一个长度(或)是零。例如，让我们假设这意味着我们可以利用作为能量单位。现在让我们引入一个无量纲参数: 一个人已经做出了这样的选择 在哪里 的一块作为…的函数如图所示2。请注意,这与一个众所周知的事实是一致的，即当电荷与一个标准的(反距离)库仑相互作用势相互作用时，均匀带电线的库仑自能会发散。

对于均匀带电的方板的特殊情况，我们有 得到了均匀带电方板的库仑自能表达式 我们在哪里用到了这个事实。这个结果也可以直接从(7)在注意到 由此产生的积分,，计算在附录中F。用(五班) (18)引出了in (17)，表示均匀带电方板的库仑自能的准确值[28与长度)包含总费用的。

3.结论

因此，我们以精确的封闭形式计算了任意长度的均匀带电矩形板的库仑自能(即储存的静电能)，和宽度,。我们引入了适当的变量数学变换，使我们能够得到一维积分形式的库仑自能，如(7)．用这样的积分表达式作为起点，验证当至少有一个长度趋近于零时，库仑自能在极限下发散(即，或限制)。从那时起，我们将注意力集中在任意长度和宽度的一般情况下。任意问题的精确闭形式解和是通过计算(9)．

均匀带电矩形板的库仑自能的精确表达式为(11)，并取决于板的长度和宽度(因此，形状)。当长度和宽度相等时，均匀带电的矩形板的一般结果会降低为正方形板的期望值[见(17)]。了解均匀带电矩形板的库仑自能的精确形式与长宽和形状参数的函数关系，可以帮助我们分析静电能在各种均匀带电矩形板中是如何储存的，而不需要借助于近似。这对于理解由带电纳米板组成的各种电子纳米系统的性质是有用的。在二维纳米结构或金属薄膜的研究中经常遇到这种情况，其中主要的相互作用是静电。还必须指出，在这一过程中推导出的几个积分公式似乎不是标准的，因此在处理这些公式时需要特别小心。因此，从数学的角度来看，一些数学推导(通常，那些出现在附录中的推导)被认为是自己感兴趣的。

附录

答:功能,和

让我们考虑以下功能: 我们表示将表达式改写为. 1), 下面的积分公式适用: 在哪里是一个误差函数吗是一个实常数。利用这个事实，很容易获得 的计算 遵循类似的路径。最终得到如下结果:

b的计算和

我们要计算积分 在哪里 通过将表达式替换为B.2的积分表达式责任)一个获得 简化第一个积分的计算(B.3)通过引入哑变量，。简化(中的第二个积分B.3)，引入哑变量，。简单代数变换可得到以下结果: 现在我们使用下面的积分公式: 一个获得 下面我们来介绍一下辅助功能: 结果，有人写了 在哪里定义在(B.7)．通过使用相同的方法

C.积分的计算

我们考虑以下积分: 在哪里，为实常数是一个错误函数。我们使用分部积分法(),和。简单的计算可以得到 结果(C.2) 第一个积分出现在(C.2)可以由以下结果计算: 在哪里是反正弦双曲函数。(中的公式C.4)可以用来计算出现在(C.2)，其结果是: 因此，我们可以计算出(C.2)．这些积分分别在(C.4)和(C.5)．此时，剩下的最后一步是替换(C.4)和(C.5)转换为(C.2)获得

D.积分的计算

让我们考虑以下积分: 在哪里，为实常数是一个错误函数。让我们先考虑下面这个简单的积分，，可以写成 在哪里 这已被证实[10虽然两者都和有奇点(无限大)，所有这些奇点都抵消了，,计算。经过仔细的整合[10)一个获得 通过将(D.4)进入for表达式在(D.2)，得到如下结果: 因为我们假设两者都是，都是实常数。关键的观察结果是(D.1)可以被转换为(D.5)通过更改为一个新变量，。剩下的计算很简单，最终结果是

E.积分的计算

我们考虑积分 在哪里，是真正的常数。的积分E.1)可以写成 的每个积分E.2)可以用以下结果计算: 在哪里是一个错误函数。我们回想一下, 因此，(E.3(下界，，上边界，)是 我们写了为了保持(E.5)尽可能一般化。这样就可以很容易地使用(E.5)当“正式用"的发散性术语在(的右边)E.5)需要特别注意。(E.2)包含一个发散的术语(在限制)。然而，我们可以证明，所有这些发散项相加后，在(E.2)．最后的结果是

f的计算

我们要计算以下积分: 在哪里 可以用(F.1), 以上所有的积分都可以精确地计算出来。我们将结果列出如下: 在哪里是反正弦双曲函数吗 把所有的东西放在一起

相互竞争的利益

作者声明没有相互竞争的利益。

致谢

这项研究部分得到了美国陆军研究办公室(ARO)的资助。国家自然科学基金(NSF)资助项目(no. W911NF-13-1-0139);dmr - 1410350。