一种新的无均衡混沌系统及其拓扑马蹄混沌

抽象的

本文报道了一种新的非平衡混沌系统。数值模拟技术，包括相位图和李雅普诺夫指数，研究其基本动力学行为。为了确定系统的混沌行为，利用Poincaré映射和拓扑马蹄形理论证明了拓扑马蹄形的存在性。

1.介绍

由于Lorenz发现了一种气氛动态模型，可以在1963年产生蝴蝶形混沌吸引子[1]，混沌理论在过去五十年中吸引了很多关注，因此引发了这一领域巨大文学的出现。从那时起，由非线性常微分方程（杂物）（包括自主和非编义混沌系统（包括所述自主和非编义）治理的许多混沌或超复态系统[2- - - - - -4，连续和离散的混沌系统[5- - - - - -7，整数和分数顺序混沌系统[1，2，7，8]和具有自我激动的吸引子和隐藏的吸引子的混沌系统[9- - - - - -11.]被开发，由非线性偏微分方程（PDE）控制的连续混沌系统[12.- - - - - -14.也受到了调查。

为我们的知识，我们总结了在动态系统调查中存在混乱的四个标准。第一个是众所周知的Lyapunov指数[15.]。如果在动态系统中至少存在一个正的Lyapunov指数，则该系统的动态是混乱的。第二个是Sil'nikov对Chaos存在的标准[16.，17.]。主要步骤如下：计算动力系统的平衡点;通过使用未确定的系数方法找到连接平衡点的同性斜或杂循环轨道;和证明在之前获得的同型或杂循环串联膨胀的收敛性。如果可以证明收敛，则会发生马蹄混乱。第三个是Melnikov的标准，这是一种强大的近似工具，用于调查Hamiltonian系统附近的混沌发生，并通过计算稳定和不稳定的歧管之间的距离来成功地应用于平滑系统中混沌的分析[18.]。对于动态系统，当Poincaré地图中的固定点的稳定和不稳定的歧管横向以足够小的参数相交时，气味马蹄形感的混乱存在混乱。最后一个是拓扑马蹄铁理论，它基于在状态空间的某些兴趣子群上的连续地图的几何形状[19.- - - - - -23.]。更适用于理论上有动力系统中的混沌行为存在的计算机辅助验证。对这些方法的比较分析表明，Lyapunov指数和拓扑马蹄理论的计算可以广泛应用，但Sil'Nikov标准适用于存在同源或杂石轨道的这些系统。显然，Sil'Nikov标准不能用于无平衡系统。

由于隐吸引子具有不同于自激吸引子的特性，近年来，隐吸引子成为动力学系统中一个重要的研究课题。如果吸引池不与不稳定不动点的小邻域相交，则称其为隐吸引子;即隐藏吸引子的吸引盆不接触不稳定不动点，且距离不稳定不动点较远[9]。在这些系统中已经观察到隐藏的吸引子，没有固定点，没有不稳定的固定点，或者具有一个稳定的固定点，其激励了对各种人工混沌系统的进一步构建和研究而没有平衡。到目前为止，拓扑马蹄理论尚未研究隐藏的混沌吸引子。本研究的主要贡献是提出新的无均衡系统，并通过拓扑马蹄理论验证其混沌行为的存在。所提出的系统是一种人工混沌系统，具有隐藏的吸引子，结构简单。本研究的目的是我们尝试使用拓扑马蹄理论来验证混沌行为的存在。本文的其余部分安排如下。在部分2，我们介绍了无均衡的混沌系统，并分析其基本动态。在部分3.，我们通过拓扑马蹄理论和计算机计算，呈现关于新型无均衡系统中混沌的争论的严格争论。结论在最后一节中介绍。

2.提出的非均衡系统

2.1。数学模型

考虑以下三维动力系统： 在哪里，， 和构成系统变量，常量术语是一个外部直流刺激，而在是系统的参数。当，，， 和系统(1)可以在初始条件下产生混沌吸引子，如图所示1．

2.2。基本动态分析

考虑对称性和不变性;很容易获得系统的不变性（1）在坐标转换下；即，系统（1）周围的旋转对称性-轴。我们注意到系统流动的分歧（1)是 自从并不总是小于零，很难直接确定系统的耗散性（1），通过比较一般混沌系统非常特殊。解决，我们无法获得确切的真实解决方案。因此，系统（1）是一个没有平衡的系统和图中所示的混沌吸引子1是一个隐藏的吸引子[24.- - - - - -27.]。

2.3。数值分析

对于三维动力学系统，我们知道它的李雅普诺夫指数具有明显的特征。如果有一个正李亚普诺夫指数，则该系统的动力学是混沌的。假设系统的最大Lyapunov指数(1)是然后通过计算，我们会发现系统（1)在不同的参数值条件下进入混沌状态。系统的最大李雅普诺夫指数谱(1） 关于在图中描绘2．作为，最大李雅普诺夫指数是0.1273，所以我们有理由相信系统（1在这种情况下，混乱是混乱的。

3.新体系中的马蹄形混乱

3.1。拓扑马蹄理论的评论

在本节中，我们首先回想起了[22.，23.]。Smale的马蹄形产生的动态非常重要，作为一种基本机制，表明混乱行为的复杂性。为了清楚地描述图中所示的混沌吸引子1，本节介绍拓扑的马蹄形。

让是从0到0的非负连续整数集．让是公制空间，紧凑，完全断开，完美。具有三个属性的集合通常被定义为漫画集;这种漫步集经常出现在混沌动力系统中不变集的复杂结构的表征。一个- 购物地图定义如下: 在哪里， 和．然后我们得到和是连续的，而且- 购物地图作为定义的动态系统具有以下属性:(）具有由所有周期轨道组成的可数无穷周期轨道;（）具有无数无限的非周期性轨道;和 （）有一个密集的轨道[23.]。

让是公制空间，是一个紧凑的子集， 和是满足存在存在的假设的地图相互脱节的紧凑型子集，、……在和限制每个是连续的;也就是说,是连续地图，在哪里．

定义1。让是一个紧凑的子集，这样，每个，是不是空虚和紧凑;然后被称为与之相关的关系，、……．让是一家关系关于，、……满足以下酒店：．然后据说是一个-有联系的家庭，、……．

接下来，我们在连续地图和班次映射方面回忆起半音期，按惯例定义如下。

定义2。让是公制空间。考虑连续地图,让是一个紧凑的不变集．如果存在连续和地图这样,然后据说是半星古酸．

定理3。假设存在一个- 连接家庭关于离散紧子集，、……．然后存在一个紧凑的不变集，这样是半纪念品的转变。

引理4。让是一个紧凑的度量空间是一个连续的地图。如果存在不变集这样是半班的半缀合物,然后 在哪里表示地图的熵．此外，对于每个正整数，．当，由移位映射产生的动态具有正拓扑熵，因此对初始条件敏感，这意味着必须混乱。

3.2。提出混沌系统的拓扑马蹄分析

在本节中，对混沌系统(1）通过将拓扑马蹄理论与庞松地图的计算机辅助方法相结合。为此目的，我们将利用横截面和相应的Poincaré地图的技术。表示系统流动（1)有初始条件， 那是，．如图所示3.，我们选择3D横截面．

现在在飞机上，在许多试错的数值模拟之后，我们可以采取矩形它的四个顶点是，，， 和作为我们的横截面并定义相应的Poincaré地图．每一点在这个矩形中，这个点被定义为交叉点随着流程初始条件当第一次返回飞机时．为了找到马蹄形，我们考虑了地图的四个组成；也就是说,．

命题5。Poincaré地图对应于横截面具有封闭不变集中的属性对于那么(例如,）半晶酸盐到2班地图，和，所以poincaré地图的系统(1） 和，，，和初始条件是混乱的。

证明。为了证明这个命题，我们取两个子集和的如图4，顶点是[-2,4.757964974,5.051336502]，[-2,4.76602438,5.054745948]，[-2,4.765806517,5.004091334]和[-2,4.757311513,5.002143080]和顶点是[-2,4.843731848,5.04482910]，[-2,4.84563779,5.04517612]，[-2,4.84583324,5.008718438]和[-2,4.843568483,5.008231375]。
让和表示左侧和右侧分别和和表示左侧和右侧， 分别。数值模拟显示图像和完全穿过四边形和， 和和躺在左边和， 和和躺在右侧和，这在图中示出4和5．鉴于定义- 绘图地图，存在关于这两个子集的族和．因此，根据定理3.，可以得出结论，普内加雷地图被半共轭到一个2移位的映射。
现在让步是家庭的联系与它的元素满意的是一条路和穿过去交叉点和和经过交叉点和；然后从上面的参数中很容易看到，每一个（）， 我们有．现在它从马蹄lemma遵循，存在紧凑的不变集，这样是半晶酸盐到2班地图。鉴于雷玛4，很容易看到，这意味着地图是混乱的。Poincaré地图的混乱意味着原始系统的混乱（1）。因此，我们证明了该系统（1）对给定参数混乱。

4。结论

本文提出了一种新的非平衡系统，该系统在给定的参数下可以产生混沌流。数值模拟技术，包括相位肖像和李雅普诺夫指数，说明其混沌行为。利用拓扑马蹄形理论，通过数值模拟证明了系统中存在马蹄形混沌。这些论证的实质是选择一个截面，并研究拓扑马蹄形理论可以应用到的相应的Poincaré映射的动力学。Poincaré图中的马蹄形混沌表明，所提出的系统确实表现出混沌行为。

利益争夺

提交人声明没有关于本文的出版物的利益冲突。

致谢

这项工作得到了中国山东自然科学基金的支持，授予批准。ZR2014FQ019与中国滨州大学的科学基金授予。BZXYG1618和BZXYG1615。

参考

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