文摘
我们认为负面的孤波的稳定性与四次非线性广义Camassa-Holm方程。我们获得的存在-孤波的波速度和他们的一些定性属性,然后证明他们是轨道稳定Grillakis等提出的使用方法。
1。介绍
Camassa-Holm方程(CH) 首先是派生的方法递归运营商Fokas和Fuchssteiner研究完全可积的泛化与bi-Hamiltonian KdV方程的结构(1),后来提出身体Camassa和河中沙洲的单向传播模式在平底浅水波在[2),表明CH方程是完全可积的,拥有无限的守恒定律。这非常不同于KdV方程CH方程peakon解决方案和碎波(见[2- - - - - -4])。(所5),有趣的是发现两种现象的孤子相互作用和波打破可以在浅水波浪数学模型之一。CH方程是研究针对数学建立了很多结果。例如,CH和周期性CH方程的柯西问题研究[6- - - - - -8),全球疲软的解决方案和全球保守和耗散的解决方案是在获得9- - - - - -13],peakon和光滑孤立波的解决方案被证明是轨道稳定和互动像孤波14- - - - - -17在波打破);我们指的是(3,18- - - - - -21]。
此外,大量的研究研究了下列广义CH方程(22- - - - - -27]: 他们专注于非线性对流越强;即非线性对流项在(1)已经改变了在(2),这使得他们的解决方案的结构变化显著。有许多新的非线性现象引起的(2),比如compacton孤子在紧凑的支持下,孤波与尖点或peakons (cf。28- - - - - -36])。四个简单的假设,提出了获得丰富的解决方案:compactons,孤独的模式解决方案拥有无限斜坡或尖点和孤波在28]。通过使用分支方法,peakons和周期性的尖端波进行了研究(32- - - - - -34];显式表达式的peakons (2在一些特殊情况下)给出。在[35)获得了一些新的精确孤波达到顶峰。采用多项式假设的周期波和峰值孤波(2)研究(36]。的柯西问题(2)是研究[37,38)和当地的存在。为和消极的孤波(2)是获得和被证明是稳定的轨道速度(22]。此外,孤波的稳定性问题(2)研究和在[39]。
我们的研究结果密切相关(39]。为了方便起见,我们写(2)当在以下形式: 在[39),当参数,(3)被证实是Painleve nonintegrable和有积极的孤波,波速度。孤波波速时被证明是不稳定的倾向于临界值稳定而波速有点大于临界值。
然而,当在(3),孤波的稳定性问题还没有被解决。在本文中,我们考虑这种稳定性问题。与积极的孤波的结果(39),我们表明,存在消极的孤波的波速度。躺在我们的结果是,我们可以确定的标量函数(见下文)凸对波速度;也就是说,所有的负面孤波是轨道稳定的。
2。预赛
2.1。哈密顿系统和守恒定律
方程(3)可以改写在哈密顿形式如下: 在哪里是哈密顿算符,和(见下文)表示邻衍生品的黎兹表示和, 是一个功能的。
的另一个功能是由 这可以视为海浪的动能。这两个数量和至关重要的孤波的证明,由下面的引理证明是守恒的。
引理1。的泛函,和上面定义下的守恒量(3)。
证明。乘(3)和集成我们有 表明不变对吗,我们需要使用的哈密顿结构(3)。它遵循从(4), 利用哈密顿算符的斜对称我们获得
2.2。轨道稳定性的定义
已经观察到本杰明和同事(40,41),一个孤波不能稳定在最严格的意义上的词。要理解这一点,考虑两个孤波有不同的高度,最初集中在同一点。自从两波有不同的振幅和他们有不同的速度,随着时间的推移两波将分开,无论多小最初的差异。然而,在刚刚描述的情况,很明显,两个孤波略有不同的高度将保持在时间演化的形状相似。可接受稳定的概念是由测量形状的差异。这个意义上介绍了轨道稳定性的本杰明(40]。我们说一个孤波是轨道稳定的如果一个解决方案(3),最初是足够接近孤立波总是保持接近翻译的孤波在进化的时间。给出了一个更精确的数学定义如下。
定义2。孤波是稳定的,如果每一个吗,存在一个这样,如果和是一个解决方案(3)对于一些的初始值,然后对所有一个人 在哪里是一个翻译。孤独的是不稳定的,如果是不稳定的。
3所示。-孤波。适定性问题
3.1。-孤独的海浪和它们的属性
让,,替换成(3),它遵循 总理表示导数。一旦我们将上述方程 的积分常数需要零由于孤波在无穷远处消失。
证明。事实上,我们只需要显示存在的同宿轨道对应于消极孤波。方程(12)可以写成下面的平面系统: 通过变换系统(13)可以写成 相当于系统(13)除奇异线;更方便的研究(14)比(13)。第一个的积分(14)是 系统(13)有两个平衡分:一个在原点和另一个由。同样的分叉方法(32- - - - - -34),很容易确定是一个鞍点,是一个中心点,有同宿轨道对应于负孤波(见图1)。同宿轨道所得鞍点,环绕中心,并返回到原点。它穿过点在设在。
尽管这一事实我们不能获得孤立波解的显式表达式(3),我们可以推断出一些孤独的行波解的特性的思想(15),用于描述波剖面定性。让是一个单独的行波解(3)。我们声称有一个最低;这里的最低使用,因为孤波是负的。为此,基于(15)和同宿轨道从原点开始,我们知道相应的负孤波满足 自,它遵循从(16), 很容易确定在(17)只有一个真正的根-由于参数是什么和波速度。由此可见,消失,正是在这个负实际根,所以有一个独特的最小波微弱。我们也注意到,最低负波波速度的递减函数,因为的导数波高吗对波速度小于零,这意味着负波较小的卑贱快得多了。
我们认为关于垂直轴的波形是对称的;也就是说,我们必须证明是一个偶函数的。为了显示这种说法,召回(17),把的函数。这个表达式确保为每个概要文件的高度存在两个值的陡度波在这一点上,只有相差的迹象。因此不能陡波比另一侧的波峰在相同的高度低于床。
我们主张消极孤波的反向概要文件在无穷衰减指数;这里绝对是由于孤波是负的。这可以解释为执行泰勒展开式的右边(17)在零附近。由此可见,作为我们有
3.2。当地的适定性问题(3)
为了证明孤波的稳定性,为适定性问题(3首先需要)。柯西问题的(3)我们将37,38]。
引理4(见[37,38])。假设 。然后(3)有一个独特的解决方案在这样在一定。此外,地图是连续的来。
4所示。稳定
该方法用于验证轨道稳定性是由于Grillakis et al。42),我们基本上应用定理提出。这一目标,我们列出以下假设:(A1)对于每一个,,存在一个解决方案(3)这样,在那里。此外,存在泛和守恒的解决方案(3)。(A2)对于每一个,存在一个行波解(3),和。映射是。此外,在那里和变分的衍生品吗和,分别。(A3)对于每一个,周围的线性化哈密顿算符定义为 正好有一个负面的简单特征值;它的内核是跨越和其他的频谱是积极和有界远离零。
定理5(见[42])。在假设(A1), (A2)和(A3),孤波解(3)是稳定的,当且仅当标量函数凸的附近吗。
首先我们确认(3)满足的假设(A1)——(A3)。假设前题(A1)是保证1和4。
证明假设(A2)和(A3)举行,我们计算变分泛函的导数和:
因此(12)可以写成 结合(21)与引理3假设(A2)是保证。线性化的哈密顿算符给出了直接计算: 因此,相应的频谱方程可以写成Sturm-Liouville问题: 在哪里和。
回顾,定期Sturm-Liouville系统无限许多真正的特征值与(见[43])。本征函数对应的特征值独特除了不同的常数因子决定的,到底是什么0。此外,通过观察,我们知道是一个自伴的,二阶微分算子。因此它的特征值是真实的和简单的,它的基本谱表示为由于这一事实(见[44])。它可以直接检查(12)等价于。从消极的孤波的性质,我们知道正好有一个零。上述分析使我们得出的结论是,有一个负的特征值,和其余的频谱是积极和有界远离零,这表明假设感到满意。
其次,我们证明了标量函数凸的附近吗。
对微分关于由此可见, 自和在,很容易获得的17), 然后我们计算的二阶导数: 让和我们有 在哪里和。在上面的方程建立了最后一步 在哪里是一个常数涉及参数和。
自,,,它可以证明,。因此,;我们得出结论,消极的孤波是轨道稳定的。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号11401096),广东(批准号GDJG20141204)。