抽象性

使用神经网络解决初始值问题分数方程的新方法,神经网络由带可调整参数的余基函数构建通过训练神经网络 多次数分方程此外,技术仍然适用于分数相加微分方程计算机图形和数值解决方案显示建议方法非常有效

开工导 言

最近分数方程变得相当重要,因为它们频繁外观应用流体、Rhelog学、自相似多孔结构中的动态过程、类似于扩散的硬性传输、电网、概率和统计学、动态系统控制理论、粘性、腐蚀电化学、化学物理、光学和信号处理[一号-7.....跨学科科学应用启发我们寻找分数微分方程分析或数字解决方案但对多数人来说很难发现或甚至很难有精确解决之道因此,数值技术势必应用到分差方程中

现时,提出了许多解决分片微分方程的有效方法,例如非线性功能分析法,包括单调迭代技术8,九九物学学理论10并定点定理11-13..并用下列方法获取数值求解法:随机行走2矩阵方法14Adomian分解法和变换迭代法15.. HAM16-19号单调扰动法20码......不久前, in21号Raja等粒子汇优化算法与fefwardANN获取分数方程数字解法算法并发并发 单分微分方程论文中,我们搭建两个基于余弦函数的不同神经网络 并获取算法聚合条件

第一批神经网络应用到表单线性和非线性分数方程 初始条件如下: 去哪儿 Caputo分片衍生 .

二次神经网络应用到分片并发方程表 初始条件如下: 去哪儿 Caputo分片衍生 .解决上述两个问题的方法写成余基函数,其参数可调整以尽量减少适当的误差函数所以我们需要计算网络参数误差梯度通过多次调整参数,当差错值小于所需精度或训练时间达最大时,我们获取数字解析法

二叉定义和Lemma

定义122号))列曼-柳维尔分片集序 , a函数 , 定义为

定义222号))里曼-柳维尔和卡普托分片衍生 , 由提供 去哪儿 .

定义322号))经典Mittag-Leffler函数定义 Mittag-Leffler通用函数定义

定义4函数显示 , 高山市 )定义由 欧拉方程有下列形式:

Lemma5if 并 定义定义4,然后

证明贝塔函数定义 并有下列方程 按照卡普托分片衍生物定义 接下去11holds.类似方式获取12)特别是当 , ...

3级说明方法应用

3.1.第一神经网络

描述方法,我们考虑一号)初始条件 .上头 测试求解满足初始条件 去哪儿 表示神经元数 未知网络权值由培训程序确定以减误函数 去哪儿 表示采样点数 欧几里得规范 去哪儿 脱机并调整权值 取下方程 去哪儿

3.2算法并发

定理A等一等 表示学习率,让我们 表示样本点数,并让 表示神经元数 , , .假设 , 区间 For .图出10显示函数 受约束时 时段神经网络聚合 时间

证明等一等 后我们表示 通过 去哪儿 并 .依次17),我们有 去哪儿 .接二连三 备注 ,然后我们得到 Lyapunov函数定义 脱机有 假设 并依次25码)增产 去哪儿 正因如此 去哪儿 frobenius矩阵规范定义 .自 实现神经网络聚合 出产 正因如此 照样 获取 通过计算25码),我们得到 最后,我们有

3cm3实例
3.3.1实例1

我们首先考虑线性分数方程 有条件 .正解法 .方程还可以通过下列方法解决:遗传算法[GA]21号Grünwald-Letnikov经典数值技术23号粒子轮廓优化算法23号..我们设置参数 , 并 并训练神经网络4500次, 网络对例1的权重见表一号.图一号显示样本点在训练完成后精确解析曲线上检验其他点是否与精确解法完全匹配(见图图)。2)从图3我们看到误差值快速下降表单2a)和2以不同方法显示例1的数值求解度和精度本文中所有数值实验都使用Lenovo T400英特尔核心2DUPPP8700,2.53GHz和Matlab版本R2010b神经网络连接约850s,但上文提及的其他算法需要运行约2 240s

表1
权重数 获取并解决实例 并 .
表2
比较结果解决实例 For .比较结果解决实例 For .

图1
例1学习曲线

图2
检验曲线例1

图3
错误曲线例1
3.3.2.实例2

第二考虑线性分数方程 有条件 .正解法 .我们设置参数 , 并 并训练神经网络1000倍, 网络对例2的权重见表一号.图解4,5并6显示神经网络仍然适用 .表23显示精确解法、近似解法和精度

表3
精确解析法、近似解析法和精度实例 .

图4
例2学习曲线

图5
检验曲线例2

图6
错误曲线实例2
33.3.例3

第三考虑非线性分数方程 有条件 .正解法 .我们设置参数 , 并 并训练神经网络1000倍, 网络对例2的权重见表一号.表24显示精确解法、近似解法和精度例3

表4
精确解析法、近似解析法和精度实例 .
3.4.第二神经网络

描述方法,我们考虑3)有初始条件 并 .上头 测试求解方式写成 去哪儿 表示样本点数 并 未知网络权值由培训程序确定以减少误差函数 去哪儿 后调整权值 并 取下两个方程 去哪儿

3.5算法并发

定理B等一等 表示学习率,让我们 表示样本点数,并让 表示神经元数 , , .假设 , , , , 区间 For .神经网络在区间聚合 时间

证明等一等 后我们表示 并 通过 相邻地点 接二连三 Lyapunov函数定义 脱机和定理A相似 简单计算 ... 去哪儿 并 终于实现 完全证明

3.6.实例
3.6.1.例4

线性并发分微分方程 初始条件如下: 正解法 并 .我们设置参数 , , 并 并训练神经网络2000次, 网络对例4的权重见表5.图解7并8显示采样点和检查站与问题精确解决方案完全一致图九九显示数值求解错误在前50次训练中快速下降表26显示精确解法、近似解法和精度

表5
权值获取并解决实例 并 .
表6
精确解析法、近似解析法和精度实例 .

图7
例4学习曲线

图8
检验曲线例4

图9
错误曲线例4

图10
图形函数 .
3.6.2例5

第二考虑非线性分数并发方程 初始条件如下: 正解法 并 .我们设置参数 , , 并 .表内数值求解7显示网络也可以应用非线性分数加分方程,但我们需要更多时间培训网络

表7
精确解析法、近似解析法和精度实例 .

4级结论

本文使用神经网络获取单分微分方程数求解法和相加微分方程系统计算机图形显示数值结果与精确解决方案完全一致内一号假设 脱机问题转成分数Ricati等式内3假设 并 脱机问题转成分级Lotka-Volterra捕食系统这个问题我们将在另一份论文中加以考虑神经网络强法并有效解决上述两个问题,这两个问题应也能解决分片偏差方程

利益冲突

撰文者声明,本论文的发布不存在利益冲突问题。

感知感知

作者想感谢裁判为改进论文而提出的许多建设性评论和建议这项工作得到中国自然科学基金会特殊基金部分支持11247310,广东高教杰出青年人才基金会2012LYM0096和汉汉师范大学基金LY201302和LF201403