具有Aharonov-casher系统的振荡器中的因子化方法

摘要

我们通过Aharonov-Casher系统审查了振荡器，研究了一些关于分解方法的数学基础。分解方法有助于我们在一些旋转条件下获得相应系统的能谱和一般波函数。该分解方法引导我们获得Aharonov-Casher系统的升高和降低操作员。相应的操作员给我们代数的发电机。

1.介绍

如我们所知，天然粒子的相对论量子动态描述了相对论Aharonov-casher系统的[1通过将最小耦合引入DIRAC方程来给出[2那3.]在笛卡尔坐标中 我们考虑自然单位的地方．同时,对应于自然粒子的磁偶极矩，和对应于电磁张量，其定义和和．这矩阵对应于Minkowski时空中的DIRAC矩阵[4.]： 与,是自旋向量是保罗矩阵。张量是minkowski tenor。此外，通过引入描述DIRAC振荡器的耦合进入非生体耦合（1），我们可以看到整个系统是圆柱对称的。所以，我们可以使用曲线坐标和．因此，我们以下列形式编写Minkowski时空的线元素： 在这里，我们注意到，在曲线坐标(平面和弯曲时空背景)中，带有永磁极偶极矩的中性粒子与外场相互作用的相对论量子动力学不是通过引入非最小耦合的Dirac方程(1)了。基于弯曲时空中的旋量理论，非最小耦合(1）加上描述Dirac振荡器的耦合成为 在哪里对应于旋转棘的协调衍生物的组件作为旋转连接[5.那6.]， 和．在弯曲时空的旋量理论中矩阵定义在观察者的局部参考系中，与Minkowski空时(3.）。在这种表示法中，指数指示本地参考帧，而索引表示时空指数。因此,由（4.）与之相关通过,组件被称为四口，并产生观察者的本地参考框架。四点满足以下等式[5.那6.]： tetrades也有一个逆定义为,在那里 此外，可以通过求解章程结构来获得旋转连接的部件[6.在没有扭转的情况下: 在哪里和被称为连接1形式。例如，我们可以选择线元素的四点（3.) 通过求解无扭转时的Cartan结构方程，可以得到和．因此，描述DIRAC振荡器和AHARONOV-室内系统之间的相互作用的DIRAC方程是 在这里，我们认为径向电场为同时考虑磁偶极矩平行于设在。在这种情况下，我们可以把狄拉克方程写成 在哪里是Aharonov-casher几何阶段[1]。为了解决(10.）可以写一个就旋转丝仪的两个组分而言 在哪里和是两个分量的旋量。我们的替代品(11.） 在 （10.)，得到两个耦合方程和．现在，我们要写出第一个耦合方程由 第二个耦合方程是 通过使用 （12.） 和 （13.）可以获得以下二阶微分方程： 这里，是泡利矩阵的特征函数吗和总角度的动力,- 势头的群体与(的哈密顿量14.）。在这种情况下，我们可以写出（14.)，用算子的特征值表示和那 给,在那里,恒定和正常化因子。因此，取代溶液（15.）进入二阶微分方程（14.），我们获得以下径向方程： 在哪里 为了解决(16.）我们更改所提供的变量并获得 再次，我们选择变化的变量如下： 所以， （18.)更改如下: 为了获得在 （19.），我们必须比较（20.)和已知多项式。为此，我们首先介绍对应于(20.）。所以，在本文中，首先我们将尝试回顾一些关于分解方法的数学基础[7.]。在部分3.我们利用分解方法并获得相应系统的能谱和一般波函数。此外，我们表明相应的等式可以首先对其进行分解然后对和．这些导致我们获得升降和降低的运营商。请注意，形状不变方程（27.）可以写成Aharonov-casher系统的提高和降低关系。这些运营商将是生成器代数。

2.数学基础

使用分解方法，我们计算能量谱还有界定的州通过对(18.）以适当的方式具有相关的Laguerre微分方程。我们还将二阶微分方程分解为新的运营商和形状不变的形式，这是一阶微分方程。该过程称为因子化方法。在其他任何事情之前，我们将尝试解释相关的Laguerre微分方程在因式分解方法的观点。首先，我们需要回想一下，对于真正的参数和，相关的拉盖尔微分方程对应在这一期间介绍为[8.那9.] 在这里,指数和是非负整数．相关的Laguerre功能，作为差异的解决方案（21.)，有以下Rodrigues表示: 在哪里为归一化系数，稍后得到。如[10.那11.，我们可以写出相关的拉盖尔微分方程(21.)为以下关于参数的形状不变方程： 在哪里运营商和由下式表示: 可以写下形状不变性方程（23.)为上升和下降关系: 另一方面，相关的拉盖尔微分方程(21.）可以相对于参数进行分解对于给定的作为 差分运算符是参数的功能和它们是作为 请注意，形状不变方程（28.)可以写成上升和下降关系 具有一些计算的上述方法导致以下归一化系数： 此外，归一化系数方程（29.）已选择相关的Laguerre功能，同样的但是不同关于与权函数的内积，在区间内形成一个标准正交集合： 现在，我们回到Dirac振荡器与Aharonov-casher系统，并将其与相关的Laguerre等式进行比较。

3.具有Aharonov-casher系统的分解方法和DIRAC振荡器

我们希望得到一个解决方案（18.)，在原点是规则的;然后我们必须比较(20.） 至 （21.）并获得作为 在哪里．比较方程(20.） 和 （21.），产生以下条件： 在原产地的相关Laguerre多项式和常规解决方案导致我们采取．等式（32.)帮助我们得到了具有Aharonov-Casher系统的Dirac振子的能谱。为了确定能谱，我们考虑两种情况。首先，得到Dirac方程(），我们考虑平行的组件-时空轴;我们必须采取并考虑．能量谱是 我们看到能量是积极的，因为我们总是有．在第二种情况下，我们考虑相应的正能量解和．我们可以得到， 我们可以在两种情况下看到能量化合物到Minkowski时空中的Aharonov-casher效应。所以，一般波函数与和条件(32.)将是 因此，所获得的相关Laguerre功能作为差分的解决方案（20.)有以下Rodrigues表示: 在哪里将是 如[10.那11.，我们可以写出相关的拉盖尔微分方程(20.)为以下关于参数的形状不变方程： 在哪里运营商和是由 可以写下形状不变性方程（1）作为提高和降低关系 另一方面，相关的拉盖尔微分方程(20.）可以相对于参数进行分解对于给定的作为 差分运算符是参数的功能和由此获得 请注意，形状不变方程（27.)可以写成上升和下降关系 在这里，我们注意到，分解方法和形状不变性条件有助于我们利用Aharonov-casher方程来分解二阶振荡器。这意味着在两个第一阶运算符中根据升高和降低运营商已知的两个第一订单运算符来分解。

4.结论

在本文中，首先介绍了与振荡器和AHARONOV-室内系统相对应的非线性方程。我们可以通过使用因子化方法和形状不变性条件轻松解决这些系统。此外，分解方法有助于我们获得普通方法难以获得的波函数和能谱的一般形式。最后，我们实现了一阶微分方程作为提升和降低运营商。表明这种运营商可以是一种生成器的形式可能很有意思超对称代数。这类系统的另一个问题是具有新势和修正势的伙伴哈密顿量。我们以后可以做这样复杂的问题。

利益冲突

作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考

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