一个统计Cohomogeneity指标上与恒定负曲率平面

文摘

我们分析统计流形的几何结构年代包括所有的包装柯西分布。我们证明年代是一个单连通歧管恒定负曲率。然而,因为是不等距双曲空间年代noncomplete。事实上,年代批准是一个歧管cohomogeneity。最后,我们使用一些技巧来获得测地线和探索散度性能通过调查雅可比的向量场。

1。介绍

到目前为止,越来越多的几何方法已经应用到各个领域,如在统计,物理,和控制(1- - - - - -6),通过分析他们的复杂性特征或者给他们的解决方案。

熵的动力学是统计流形的理论框架构建的探索物理定律的可能性(7]。直到现在,研究人员试图研究各种熵的动态模型从信息几何的角度4- - - - - -6,8]。在[8),两种熵的动力学模型被认为是稳定的黎曼流形上的雅可比向量场调查。在[4),作者探讨了熵的动力学模型的几何结构和不稳定。分数布朗运动信息的几何特性被认为是在5]。哈密顿动力学研究了从几何的角度(6]。

在概率论和定向统计(9),包装的概率分布是一个连续的概率分布,可以认为是躺在一个单元的状态球。例子包括宾汉分布(10),肯特分布(或Fisher-Bingham分布)(11),和冯Mises-Fisher分布9,12]。特别是对于一维情况下,包裹分布由单位圆上的点。例如,一个包裹柯西分布(9,13,14] 包装是一个概率分布,结果从柯西分布的“包装”在单位圆,显然在哪里这是单位圆的参数化,,。的函数和分别是双曲正弦函数和双曲余弦函数。作为随机变量,包装的概率分布可以被看作是一个角概率测量定向概率。因此,它被广泛应用领域的随机漫步研究动物的运动(15,16),如识别钓鱼行为和估计[钓鱼工作量17,响复苏斑驳的鹟科的18]。

假设所有相关的信息的动态演化模型可以获得相关的概率分布,这是包装柯西分布在我们的考虑。我们将称之为模型指(包装柯西的动力)模型简单。

本文的其余部分组织如下。节2几何结构,包括费舍尔度量的截面曲率,指计算。节3,这多方面的证明是单连通的,但还不完整,因此不等距双曲空间。然而,它被证明是一个cohomogeneity歧管定理14。节4基于一些特殊的属性,使用一些技巧来测地线和雅可比向量场。测地线的等距变换的不动点集,其中包括对称线平行设在。与此同时,雅可比向量场计算。不稳定的测地线传播是通过行为分析的雅可比向量场。

备注1。众所周知,上飞机承认一个双曲度量与持续的负曲率。也就是说, 然而,在这篇文章中,我们给另一个指标在恒定的负曲率但不等距双曲空间。

2。指模型的几何结构

理论的几何信息,可以定义一个维统计流形在单位球体,这是一组概率密度;也就是说, 的参数坐标系统的作用。费舍尔信息矩阵作为一个黎曼度量,然后给出的期望 在哪里和。统计流形,黎曼连接系数(见,例如,(1,2,19- - - - - -21]) 可以表示为一个经典的公式吗等价。

如果是当地的坐标,那么对于任何向量场在,一个,在那里平滑函数对吗。这里使用的爱因斯坦求和约定是通过纸和所有。与黎曼连接,曲率张量定义为(19,20.] 和黎曼曲率张量 在哪里,,,是光滑向量场和代表了李氏括号;也就是说,。曲率张量的地方表示满足 在哪里和度规的逆矩阵是什么。

里奇曲率和截面曲率的定义 分别。

一条曲线在据说如果它的切向量测地线流离失所的平行沿着曲线吗;也就是说, 它有以下地方的形式 假设的解决方案(12)是,在那里是一个向量的组件集成常数。

考虑到包装的柯西的动力模型,相应的统计流形 在哪里是由(1)与参数和。费舍尔信息矩阵可以很容易地计算

命题2。里奇曲率的零组件

证明。一个直接的计算(5)给出了非零的黎曼连接系数 的关系,一个人可以得到另一种类型的连接系数 从(8),获得以下零组件的曲率张量: 因此,证明可以通过一个简单的替换(完成18)(9)。

下面的定理得到(18)和(14)(10)。

定理3。 是一个多方面的恒定负曲率。

3所示。拓扑和几何属性的

引理4。 是diffeomorphic因此简单地连接。

证明。拓扑,以及光滑结构是由那些;因此是diffeomorphic。这一事实是单连通的暗示也简单的连接。

如果也完成,这将是一个与恒定负曲率空间形态,这是等距的双曲空间。然而,是不完整的。我们开始与完整性的必要和充分条件。

定义5(见[19])。让黎曼流形。一个平滑的曲线被称为发散曲线如果任何紧凑的子集,存在酸处理,。如果是一个不同的曲线,它的长度定义为

引理6(见[22])。 是一个连接黎曼流形;然后完成当且仅当每一个不同的曲线都有无限的长度。

证明。(1)假设已经完成,是一个不同的曲线。考虑 在每个,有界封闭,因此紧凑。的散度意味着,,酸处理,。作为一个结果, 因此。
(2)假设每一个不同的曲线都有无限的长度。假设这意味着,noncomplete吗,,仅仅是定义在。
意味着不是发散;也就是说,存在一个紧凑的子集酸处理,尽管。选择序列酸处理,和,尽管。很明显,当是足够大的。因此是一个柯西序列。的完整性意味着存在酸处理。
然后是一个扩展的从来这与假设,这意味着实际上是完整的。

定理7。 noncomplete。

证明。假设,是一个曲线沿设在。很明显,是不同的。然而,的长度满足 这意味着由引理noncomplete6。

虽然既不等距双曲空间也不对称的空间,它是“部分对称的,”引理给出了吗10。

定义8。让是等距变换群。一个家庭的转换被定义为

备注9。 是关于线的反射,这是一个直线平行设在。

引理10。 ,尽管。

证明。对于任何固定,尽管,。
考虑 因此是一个等距。

作为一个结果,是一个群的。引理10意味着“几乎”的同质,虽然不是真正的均匀。事实上,是一个cohomogeneity歧管,定义中定义11。

定义11。让是一个黎曼流形是它的等距变换群。然后有一个自然的行动在: 是一个cohomogeneity歧管如果轨道空间的余维数这一行动是1。

评论12。轨道的余维数空间齐次性质密切相关。例如,如果是一个齐次空间,那么轨道空间是整个管汇吗,因此它的余维数是0。,余维数越少,越均匀歧管。换句话说,cohomogeneity歧管之一是“最均匀廖”,除了真实的。
实际上,cohomogeneity一个导管均匀繁殖的自然推广。cohomogeneity系统研究的一个阀组由Bergery开始,成功构建新的不变的爱因斯坦指标cohomogeneity集合管。此外,科比和班子建设特殊指标异常完整组和在这些集合管(23- - - - - -30.]。

我们国家一个众所周知的结果没有证据之前定理14。

引理13。每一个齐次空间完成。

定理14。 是一个cohomogeneity多方面的。

证明。让和是它的轨道空间。如果,将均匀。引理13意味着完成,这与定理呢7。这一矛盾意味着。
另一方面, 自是一个群的,。这意味着 基于这两个不平等,我们得出这样的结论:;因此它的余维数是1,这意味着是一个cohomogeneity多方面的。

4所示。失稳分析

在本节中,我们将计算测地线和调查不稳定测地线的雅可比向量场。

结合(12)和(17),指的测地线方程模型由以下给出微分系统: 一般来说,这些方程是很难得到解决;然而我们可以得到一些特殊的测地线基于cohomogeneity一个属性。

引理15。所有线平行于轴测地线。

证明。众所周知,任何等距的定点集是测地线。自是一组等距及其定点行吗,接下来的引理。

根据引理15,这样的测地线方程满足 因此(28可以减少) 则表示为解决方案

考虑到参数的测地线 在哪里是测地线满意(28),是一个积分常数向量。测地线的长度被定义为 因此,测地线的长度模型是指获得 在哪里是恒定的。为了研究两个相邻测地线的行为标签的参数,我们考虑以下区别: 很明显,是发散的;也就是说,两个相邻的测地线的长度参数略有不同和在一个了不起的方式有所不同。

测地线的稳定性完全取决于流形的曲率。研究动态的稳定意味着确定扰动的测地线的进化。对于各向同性集合管,测地线传播是不稳定的,只有他们的常数截面曲率是负的。只要是负曲率,测地线传播是不稳定的,即使歧管不再是各向同性(19]。然而,它是更具吸引力的发散程度测地线。

雅可比的向量场,即进化扰动向量,满足以下(雅可比方程): 在哪里测地线廖吗。它也被称为测地线方程推导,因为它与大地紧密联系。一般来说,雅可比方程很难解决,但在特定的这个廖有恒定负曲率,这是很大的帮助。给定一个正常测地线和假设是一个正常的雅可比向量场吗,然后 从而减少了雅可比方程 选择一个单元正交坐标系酸处理,假设 雅可比方程满足 解决方案是 这意味着歧管的测地线传播是通过描述一个指数发散雅可比向量场。

5。结论和讲话

在本文中,我们调查包裹的歧管柯西分布。通过考虑的几何结构,指我们得出这样的结论:指的是一个常数负曲率空间。通过一系列的引理和定理,我们证明它是一个cohomogeneity多方面的。这个例子很有趣,因为它的统计背景,而其他一些例子是故意。此外,我们计算测地线和雅可比向量场通过一些技巧基于一些特殊的性质。因此,测地线的发散行为可以被描述为一个指数发散雅可比向量场。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

作者的贡献

作者声明,这项研究是实现合作同样的责任。所有作者阅读和批准了期末论文。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金会(11126161号和NSFC61440058),北京高等教育项目(没有年轻的精英老师。YETP 0388)和中央大学基础研究基金(没有。频- br - 12 - 005)。

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