光谱放松方法不稳定边界层流动和传热的Nanofluid透水拉伸/收缩表

文摘

介绍了两种新颖的数值算法的高效耦合系统的非线性边值问题的解决方案。方法是对现有方法的基准测试发现双重高度非线性方程组模型的解决方案Oldroyd-B类型的粘弹性液体的流动通道的无限的程度。这里讨论的方法是光谱松弛法和光谱quasi-linearisation方法。来验证该方法的准确性和效率比较的评估方法对建立的数值技术的性能。

1。介绍

精确解在工程和科学类的问题通常只能在有限的范围的问题。为此寻求新技术和现有技术的改进寻找解决方案的非线性方程在工程和科学面临的一项重大挑战。除了经典的数值方法,如基于有限的差异,有限元素,和有限体积方法,目前各种各样的非线性方程组的方法,如,线性化方法(1- - - - - -4和Fokas的变换方法5- - - - - -7]。近年来进步分解和变分方法添加到曲目非线性BVPs寻找可用的技术解决方案。近年来,这些方法已经被他的进一步增强8,9]和廖10,11)基于同伦方法及其各种变体如spectral-homotopy分析Motsa et al。12,13]和廖14广义边界元法。

本文介绍了两种新颖的技术基于线性化技术和光谱方法和简单明了的集成系统,允许有限和无限域的常微分方程。我们提出这些技术的概述,并提供一个比较评价两种方法对结果的文献。

最近的一项研究Bachok et al。15)研究了双组分的粘弹性液体对流Oldroyd-B类型占据一个无限的范围和深度的水平通道。流是由耦合方程组 在哪里,,分别代表无量纲流功能,温度,和纳米粒子体积分数,普朗特数,是路易斯数,是布朗运动号码,吗和是不变的无量纲参数。

方程(1)- (3)解决了边界条件 在哪里拉伸/收缩速度和吗流量是一个常数。在Bachok et al。15结果表明,双解(1)- (3)存在,在那里 一些关键的价值吗。没有解决方案。

在目前的研究中我们讨论的解决非线性方程组(1)- (5)使用光谱松弛法(Motsa [16])和光谱拟线性化方法(SQLM)。本研究的目的是给一个性能的比较分析寻找解决方案的两种技术在流体力学耦合的高度非线性问题。我们决定,在其他事物之外每个方法的准确性,并演示如何使用SQLM可以获得双重解决方案。此外,我们提出一个系统化的方法获得的关键参数值和多个解决方案的控制方程。

2。光谱松弛法

在本节中,我们描述了开发的光谱松弛法(SRM)的解决非线性系统(1)- (3)。方程组的解耦和由此产生的子系统以顺序的方式解决。似乎特别有效的方法对非线性系统微分方程的一些未知函数的指数衰减的概要文件。方法的算法应用到系统时(1)- (3)可能是总结如下。(1)动量方程的顺序从三个减少到一个通过使用转换 (2)假设从一些初始猜测和安排转换方程在一个特定的顺序,将方程未知数的方程最少的列表。这给了 (2)和(3)下面(8)的原始形式。(3)指定的标签,订单列表(7),(8),(2)和(3),分别。(4)在方程(方程1)迭代计划是由假设只有线性的条件在当前迭代评估级别(用吗)和所有其他条款(线性和非线性),从先前的迭代中被认为是已知的(用吗)。除了非线性项也在前面的迭代评估。(5)在发展中迭代计划下一个方程,只有线性条件在当前迭代评估水平与所有其他条款评估在之前的水平,除了目前已知的第一个方程的解决方案。(6)重复这个过程方程使用更新后的解决方案。相同的过程影响的方程现在,使用更新后的解决方案,。

策略用于解耦方程组类似于高斯-赛德尔松弛法通常用于解决线性代数方程组。在上述算法的背景下,我们获得以下迭代方案: 边界条件 给定一组初始近似,(9)以顺序的方式可以解决一个接一个,使用合适的数值方法。必须指出(9)现在形成了一个序列的变系数线性微分方程的使用光谱搭配方法可以很容易地解决。谱方法是首选,因为他们非常高的精度和相对简单的离散化和后续解决方案将线性微分方程与光滑的解决方案简单的领域。谱方法,如切比雪夫谱搭配方法,发现了非常有效的离散化和解决其他边界层解非线性方程的迭代计划类型。最近开发的例子基于谱方法求解边界层型方程包括光谱同伦分析方法(12,13)和逐次线性化法(17,18]。SLM已经成功地应用于不同的流体力学非线性边值问题;看到Awad et al。19],Motsa和Sibanda [20.],Sibanda et al。17,18]。大量的文学存在的实际实现光谱搭配方法包括书籍(21,22感兴趣的读者可能会发现有用的)。

在应用谱配置方法,我们发现的未知函数通过要求搭配点(9在这些点)感到满意。一套方便搭配点是Gauss-Lobatto点上定义通过 说,我们近似未知函数的导数,使用所谓的分化矩阵的大小这是一样的搭配点矩阵和向量的计算产品 在哪里是一个有限值用于数值近似条件在无穷远处,,是搭配点的向量函数。的变量线性变换的定义吗用于转换截断间隔的时间间隔光谱的方法可以实现。二阶导数得到权力;这是 应用切比雪夫谱配置方法(9我们得到以下序列矩阵方程: 在哪里 在哪里是一个对角矩阵,诊断接头代表一个对角矩阵,,,,和对应的近似函数,,,当评估搭配点。SRM迭代计划(14)- (15)解决,从合适的初始猜测,。我们选择以下初始近似满足控制方程的边界条件:

3所示。光谱Quasi-Linearisation方法

在本节中,我们提出一个替代方法解决管理系统(1)- (3)。我们采用拟线性化方法(QLM)这是一个泛化的牛顿迭代方法。这种方法最初提出的更夫和Kalaba1)求解非线性边值问题。这里我们扩展的应用QLM控制方程(1)- (3)和离散化QLM方程使用光谱搭配方法如前一节所述。在这部作品中,基于谱方法的拟线性化方法称为光谱quasi-linearisation方法(SQLM)。

开发SQLM方案方便写的管理系统和线性的和非线性组件作为 为,(1),(2)和(3)标记的使用,分别和3。因此,我们有

QLM相当于多变量的非线性函数的泰勒级数展开假设每个未知函数的值的差异在当前迭代用,说,和前一个迭代很小。因此,QLM方案对应于(1)- (3)是由 受

获得上述QLM方案,指出解决方案可以独立解决(2)和(3)。因此,在推导迭代方案和的解决方案在当前迭代()被认为是已知的。

应用切比雪夫伪谱方法(22),我们获得以下SQLM计划以矩阵形式: 边界条件 在哪里 在哪里表示一个矩阵的零和表示诊断接头();即向量矩阵的主对角线元素放置在其他地方的条目为零。从初始近似(19),近似SQLM解决方案,得到解决(24)受边界条件(25)。

4所示。确定系统关键值

系统(1)- (3)据报道Bachok et al。15)有多个解决方案和分叉曲线在飞机上,,。的参数,,分别是,表面摩擦系数,局部努塞尔数,和当地舍伍德数的定义和管理参数

在本节中,我们将演示如何光谱quasi-linearisation方法(SQLM)可以用来确定的关键值超过这个解决方案不存在。

确定关键值,我们认为和额外的未知变量。我们定义和微分(1)对获得 受 在哪里。临界曲线的对应于;因此,。应用quasi-linearisation (1)和(28)- (29日)给 受 方程(30.)和(31日)形成一个系统的四个方程迭代求解未知数从合适的初始近似。应用谱配置方法(30.)和(31日)给 边界条件 在哪里 以矩阵形式,(32)和(33)可以表示为

5。结果与讨论

的管理系统(1)和(3)是解决使用光谱松弛法(SRM)和光谱quasi-linearisation方法(SQLM)。在本节中,我们目前的结果数值计算速度,温度,浓度资料为各种输入参数。迭代的收敛性和稳定性的方案可以被考虑的标准评估函数的值的差异在两个连续的迭代。收敛迭代方案,不同的值函数的规范在逐次迭代计算预计将减少迭代次数增加。目前的结果的准确性验证了通过比较结果Bachok等人。15]。在本文提供的计算,管理物理参数的值是故意来匹配的结果(15)为了使有效的比较。搭配点的数量的影响是为了检查选择的最小值提供一个一致的解决方案。这是通过反复求解控制方程的使用提出了迭代计划和不同的价值观直到一致的解决方案在一个小错误容忍水平是达到了。在这部作品中,错误容忍被设置。除非另有说明,在这项研究中的应用是搭配点。的,也就是说,在无穷远处,也选择在这样一个方式进一步改变其大小不产生价值的变化及其衍生物在容忍的水平。的值被发现在所有情况下都适合进行了调查。

数据1和2显示错误的变化,标准的差异计算使用光谱在不同迭代松弛法对不同的系统参数值。在所有三个案例中可以看出减少随着迭代次数的增加。这表明SRM收敛为选定的参数的选择。SRM的收敛性与不稳定参数的增加提高和质量吸参数但随拉伸参数的增加而减小。

图3给SQLM产生误差的变化的迭代次数。SQLM被认为是快速收敛的最初几个迭代之后高原大约5迭代。这个结果介绍了SRM和SQLM之间的主要区别。SRM的结果数据1和2表明严格的收敛方法的误差与迭代次数的增加逐渐减少。搭配相同数量的点,SQLM将收敛速度比SRM但不准确。这个观察表明SQLM方法优越的收敛速度。然而,事实证明,SRM收益率三个常微分方程系统更好的精度。

获得多个解决方案,我们选择一个初始猜的形式 在哪里是一个未知常数必须精心挑选。这是观察到当不同正面和负面的价值观,凹度之间的速度剖面附近地区的变化。通过修复管理物理参数的值和不同的价值观SQLM实现的价值给多个解决方案可以识别的最大残余的动量方程(1)。图4显示变化的最大残余动量方程(1)对在不同SQLM迭代时。可以看出,图发展两个局部最小值。通过设置多个解决方案的值等于发生的局部最小值。例如,当,得到了两种解决方案和。这里值得一提的是,SRM方法不产生第二个解决方案。

图5显示了两个解决方案配置文件和分别为不同的值和固定的值和。相应的温度和浓度配置文件是描绘在图6。

在表1我们给出一个比较现在SQLM结果和结果(15)的关键值为不同的值和。我们注意到目前的结果有很好的一致性的结果报道在Bachok et al。15]。这说明的准确性SQLM相比,使用的拍摄方法(15]。

图7显示了局部表面摩擦的变化和当地努塞尔特和舍伍德数为不同的值和和相应的其他参数值报告Bachok et al。15]。当SQLM轻易解决了双重解决方案。这些结果使用SQLM定性和定量的相同Bachok et al。15]。结果显示不稳定的两个解决方案为每个分支值参数和质量流量参数。

6。结论

在这项研究中,我们使用了两个方法,光谱松弛法和光谱quasi-linearisation方法解决高度非线性方程组描述的不稳定传热nanofluid透水伸展或收缩表面。结果通过Bachok et al。15已确认。的精度、收敛速度和鲁棒性的技术,我们有证明(我)SQLM收敛速度比SRM;(2)SRM比SQLM更准确;(3)SQLM可以解决多个解决方案和SRM只产生一个解决方案。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

s . s . Motsa的工作部分是基于研究支持南非国家研究基金会(批准号85596)。

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