另一种方法非谐势的能量特征值问题gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

四次和六次类型非谐势的能量特征值通过使用另一种方法被称为泰勒渐近展开法(ATEM),是一种近似方法基于渐近的泰勒级数展开的一个函数。结果表明,能量特征值发现ATEM是在良好的协议与现有的结果。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

众所周知,薛定谔方程的精确解是唯一可能很少数量的潜力,应适用或一些数值方法近似方案在大多数量子力学系统。在文献中,有许多研究为此等数值计算(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba),扰动(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba),变分(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba),WKB (gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),移位的gydF4y2Ba扩张(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),Nikiforov-Uvarov(ν)[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba),超对称性(超对称性理论)gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]找到近似解的潜力并不完全可以解决的。在过去的几十年里,非谐振荡器的研究潜力(如四次和六次非谐振荡器)一直在关注,因为他们是开放的理论认识一些最近发现物理现象不同的分支(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba13gydF4y2Ba]。另一方面,这些潜力并不完全可以解决的,让他们非常流行的用于检查任何方法的有效性gydF4y2Ba14gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba17gydF4y2Ba]。在所有这些尝试,它只是需要一个相对有效和简单的方法,给出了能量特征值和eigenfunctions-to高度的准确性。在这项研究中,一个有效的方法称为泰勒渐近展开法(ATEM)应用于计算的能量特征值四次和六次非谐振荡器在一维势。gydF4y2Ba

ATEM基于泰勒级数展开,提出了由Koc和Sayın [gydF4y2Ba18gydF4y2Ba]。据称,可以很容易地应用ATEM解决二阶微分方程,通过引入一个简单的代码在数学gydF4y2Ba19gydF4y2Ba计算机程序。因此,关注非谐振荡器的特征值问题的解决方案通过使用本文ATEM潜力。gydF4y2Ba

本文的组织如下。节gydF4y2Ba2gydF4y2Ba的方法,简要概述ATEM。节gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,得到数值eigenenergies,比较与其他现有的结果。最后,部分gydF4y2Ba4gydF4y2Ba致力于一个结论。gydF4y2Ba

2。渐近泰勒展开方法gydF4y2Ba

在[标记后gydF4y2Ba18gydF4y2Ba),一个人可以考虑函数的泰勒级数展开gydF4y2Ba关于这一点gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是gydF4y2Ba函数的导数gydF4y2Ba。如果gydF4y2Ba,那么它被称为马克劳林级数和的gydF4y2Ba 据称在[gydF4y2Ba18gydF4y2Ba),一个可以构造一个方法来解决二阶线性微分方程的形式gydF4y2Ba 通过区分(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)对gydF4y2Ba,一个人可以得到的高阶导数gydF4y2Ba而言,gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。因此,一个获得gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 在这一点上,它是发现Schrodinger-type方程的特征值和特征函数可以有效地利用ATEM获得。为此,递推关系(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)允许一个分析或数值解(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba在一定的条件下)。替换后(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)和服从的终止条件gydF4y2Ba的本征函数gydF4y2Ba束缚态的量子力学系统(读者写给[gydF4y2Ba18gydF4y2Ba),一个终于可以写gydF4y2Ba 然后消除gydF4y2Ba和gydF4y2Ba一个人gydF4y2Ba 这将包括一个参数相关特征值的潜力研究。gydF4y2Ba

看到ATEM方法是迭代和迭代数是由gydF4y2Ba。提出的方法可以应用于薛定谔方程,与任何类型的潜力,如下所示。使用Mathematica计算机程序,可以重复的计算特征值等不同的迭代数量值gydF4y2Ba,直到所需的位数。当特征值达到渐近值,那么可以选择相应的gydF4y2Ba和截断下的迭代计算。例如,如果一个人得到的特征值时所需的位数gydF4y2Ba,那么前几eigenvalues-first eight-energy状态,为示例将自动达到渐近值(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

3所示。应用程序gydF4y2Ba

我们考虑一维四次双好潜在的第一个应用程序:gydF4y2Ba 这种潜在的重视物理学的许多分支,如分子振动(gydF4y2Ba21gydF4y2Ba],固体物理学[gydF4y2Ba22gydF4y2Ba,gydF4y2Ba23gydF4y2Ba[],量子场理论gydF4y2Ba24gydF4y2Ba),和量子色动力学(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba]。薛定谔方程写成gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba。应用ATEM,现在我们引入一个gydF4y2Ba拟设gydF4y2Ba波函数的渐近解(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba):gydF4y2Ba 和(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)现在可以写成gydF4y2Ba 比较(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)可以推断出gydF4y2Ba 在继续之前ATEM,我们注意一些点的gydF4y2Ba拟设gydF4y2Ba波函数的选择可调参数的数值gydF4y2Ba和gydF4y2Ba;以满足量子力学假设的限制gydF4y2Ba绑定系统的渐近解(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)可以作为任意次幂的乘法gydF4y2Ba减少Gaussian-type函数。因此,我们建议gydF4y2Ba拟设gydF4y2Ba波函数的形式(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba)。此外,有强大的波函数之间的关系和潜在的参数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba分别的解决方案(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)。由于潜在的精确解析解(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)不能获得,然后可以寻找有效的合作伙伴可能的解决方案;因为我们介绍(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba),然后对方势的超势函数的超对称量子力学(SUSYQM) [gydF4y2Ba26gydF4y2Ba)是由gydF4y2Ba 和合作伙伴的潜力gydF4y2Ba被定义为gydF4y2Ba 由于过电压gydF4y2Ba获得(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba 然后潜在合作伙伴gydF4y2Ba获得的是gydF4y2Ba

它是观察到的潜力(gydF4y2Ba16gydF4y2Ba)如果有一个最小值gydF4y2Ba。寻找这个one-minimum的案例中,我们选择的可调参数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在这项研究中。由于迭代数gydF4y2Ba需要尽可能多的低,那么一个寻找最优迭代计算特征值的潜力(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)。通过设置gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,我们寻找最优迭代数gydF4y2Ba通过比较ATEM的结果与已知的第三激发态,精确值gydF4y2Ba,在表gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。我们还获得百分比,然后设置错误gydF4y2Ba在下列计算截断迭代。见过,渐近一词意味着ATEM值接近给定值的迭代数趋于无穷。gydF4y2Ba


		误差(%)gydF4y2Ba

我们现在进行了一系列的结果gydF4y2Ba值在表gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和表gydF4y2Ba3gydF4y2Ba与gydF4y2Ba有效数字和他们相比变分超对称方法,(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba和数值计算的gydF4y2Ba28gydF4y2Ba]。在我们的计算中,我们设置gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。我们观察到的结果ATEM与数值的非常好的协议(gydF4y2Ba28gydF4y2Ba]。特别是,对gydF4y2Ba,不到的错误gydF4y2Ba在所有情况下。gydF4y2Ba


				误差(%)gydF4y2Ba				误差(%)gydF4y2Ba

0.1gydF4y2Ba	1.023810gydF4y2Ba	1.023910gydF4y2Ba	1.023810gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	3.70894gydF4y2Ba	3.71064gydF4y2Ba	3.70897gydF4y2Ba	0.0008gydF4y2Ba
0.2gydF4y2Ba	0.986535gydF4y2Ba	0.986646gydF4y2Ba	0.98654gydF4y2Ba	0.0005gydF4y2Ba	3.61702gydF4y2Ba	3.61890gydF4y2Ba	3.61704gydF4y2Ba	0.0007gydF4y2Ba
0.3gydF4y2Ba	0.948503gydF4y2Ba	0.948629gydF4y2Ba	0.948507gydF4y2Ba	0.0004gydF4y2Ba	3.52388gydF4y2Ba	3.52596gydF4y2Ba	3.52390gydF4y2Ba	0.0007gydF4y2Ba
0.4gydF4y2Ba	0.909677gydF4y2Ba	0.909820gydF4y2Ba	0.909681gydF4y2Ba	0.0004gydF4y2Ba	3.42948gydF4y2Ba	3.43179gydF4y2Ba	3.42950gydF4y2Ba	0.0006gydF4y2Ba
0.5gydF4y2Ba	0.870019gydF4y2Ba	0.870181gydF4y2Ba	0.870022gydF4y2Ba	0.0004gydF4y2Ba	3.33379gydF4y2Ba	3.33636gydF4y2Ba	3.33381gydF4y2Ba	0.0005gydF4y2Ba
0.6gydF4y2Ba	0.829486gydF4y2Ba	0.829670gydF4y2Ba	0.829488gydF4y2Ba	0.0003gydF4y2Ba	3.23678gydF4y2Ba	3.23962gydF4y2Ba	3.23679gydF4y2Ba	0.0005gydF4y2Ba
0.7gydF4y2Ba	0.788033gydF4y2Ba	0.788243gydF4y2Ba	0.788035gydF4y2Ba	0.0003gydF4y2Ba	3.13839gydF4y2Ba	3.14155gydF4y2Ba	3.13840gydF4y2Ba	0.0004gydF4y2Ba
0.8gydF4y2Ba	0.745612gydF4y2Ba	0.745852gydF4y2Ba	0.745613gydF4y2Ba	0.0002gydF4y2Ba	3.03858gydF4y2Ba	3.04210gydF4y2Ba	3.03859gydF4y2Ba	0.0003gydF4y2Ba
0.9gydF4y2Ba	0.702171gydF4y2Ba	0.702447gydF4y2Ba	0.702172gydF4y2Ba	0.0001gydF4y2Ba	2.93733gydF4y2Ba	2.94123gydF4y2Ba	2.93733gydF4y2Ba	0.0003gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba	0.657656gydF4y2Ba	0.657972gydF4y2Ba	0.657656gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	2.83456gydF4y2Ba	2.83891gydF4y2Ba	2.83456gydF4y2Ba	0.0001gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba	0.137807gydF4y2Ba	0.139170gydF4y2Ba	0.137786gydF4y2Ba	0.0152gydF4y2Ba	1.71314gydF4y2Ba	1.72629gydF4y2Ba	1.71304gydF4y2Ba	0.0061gydF4y2Ba


				误差(%)gydF4y2Ba				误差(%)gydF4y2Ba

0.1gydF4y2Ba	7.33081gydF4y2Ba	7.31384gydF4y2Ba	7.33079gydF4y2Ba	0.0002gydF4y2Ba	11.48879gydF4y2Ba	11.54258gydF4y2Ba	11.48857gydF4y2Ba	0.0019gydF4y2Ba
0.2gydF4y2Ba	7.20494gydF4y2Ba	7.18687gydF4y2Ba	7.20491gydF4y2Ba	0.0004gydF4y2Ba	11.33161gydF4y2Ba	11.38692gydF4y2Ba	11.33136gydF4y2Ba	0.0022gydF4y2Ba
0.3gydF4y2Ba	7.07813gydF4y2Ba	7.05889gydF4y2Ba	7.07809gydF4y2Ba	0.0005gydF4y2Ba	11.17348gydF4y2Ba	11.23045gydF4y2Ba	11.17319gydF4y2Ba	0.0026gydF4y2Ba
0.4gydF4y2Ba	6.95037gydF4y2Ba	6.92988gydF4y2Ba	6.95033gydF4y2Ba	0.0006gydF4y2Ba	11.01439gydF4y2Ba	11.07307gydF4y2Ba	11.01406gydF4y2Ba	0.0030gydF4y2Ba
0.5gydF4y2Ba	6.82167gydF4y2Ba	6.79984gydF4y2Ba	6.82162gydF4y2Ba	0.0008gydF4y2Ba	10.85434gydF4y2Ba	10.91477gydF4y2Ba	10.85396gydF4y2Ba	0.0035gydF4y2Ba
0.6gydF4y2Ba	6.69203gydF4y2Ba	6.66874gydF4y2Ba	6.69197gydF4y2Ba	0.0009gydF4y2Ba	10.69332gydF4y2Ba	10.75556gydF4y2Ba	10.69288gydF4y2Ba	0.0041gydF4y2Ba
0.7gydF4y2Ba	6.56144gydF4y2Ba	6.53660gydF4y2Ba	6.56137gydF4y2Ba	0.0010gydF4y2Ba	10.53132gydF4y2Ba	10.59547gydF4y2Ba	10.53083gydF4y2Ba	0.0047gydF4y2Ba
0.8gydF4y2Ba	6.42991gydF4y2Ba	6.40340gydF4y2Ba	6.42982gydF4y2Ba	0.0014gydF4y2Ba	10.36835gydF4y2Ba	10.43448gydF4y2Ba	10.36778gydF4y2Ba	0.0055gydF4y2Ba
0.9gydF4y2Ba	6.29744gydF4y2Ba	6.26913gydF4y2Ba	6.29734gydF4y2Ba	0.0016gydF4y2Ba	10.20439gydF4y2Ba	10.27258gydF4y2Ba	10.20375gydF4y2Ba	0.0063gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba	6.16404gydF4y2Ba	6.13379gydF4y2Ba	6.16393gydF4y2Ba	0.0018gydF4y2Ba	10.03944gydF4y2Ba	10.10978gydF4y2Ba	10.03872gydF4y2Ba	0.0072gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba	4.78291gydF4y2Ba	4.72244gydF4y2Ba	4.78245gydF4y2Ba	0.0096gydF4y2Ba	8.33516gydF4y2Ba	8.43395gydF4y2Ba	8.33293gydF4y2Ba	0.0268gydF4y2Ba

第二个应用程序,我们考虑的能量特征值quasi-exactly解决六次非谐振荡器潜力:gydF4y2Ba 因为只有gydF4y2Ba可以获得能量特征值分析,另一水平仍然未知,这些潜力分为quasi-exactly可解势(gydF4y2Ba29日gydF4y2Ba,gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba]。遵循同样的步骤上面给出的拟设波函数(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba由相同的数值)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,一个获得gydF4y2Ba 我们现在和比较我们的结果在表gydF4y2Ba4gydF4y2Ba为gydF4y2Ba。从表gydF4y2Ba4gydF4y2BaATEM获得的特征值的精确的数值结果具有很好的一致性,而且可以接受(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]。我们也呈现错误百分比。它是发现不到的错误gydF4y2Ba除了这个学习中都很有用—最高能量的状态gydF4y2Ba值。gydF4y2Ba


			^{(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}	误差(%)gydF4y2Ba			^{(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}	误差(%)gydF4y2Ba

0gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	−2.82843gydF4y2Ba	−2.82843gydF4y2Ba	0.000gydF4y2Ba
	1gydF4y2Ba	1.9354gydF4y2Ba	1.9354gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	1gydF4y2Ba	−2.26507gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	2gydF4y2Ba	6.2981gydF4y2Ba	6.2985gydF4y2Ba	0.0064gydF4y2Ba	2gydF4y2Ba	2.83243gydF4y2Ba	2.83843gydF4y2Ba	0.1414gydF4y2Ba
	3gydF4y2Ba	11.6869gydF4y2Ba	11.6809gydF4y2Ba	0.0514gydF4y2Ba	3gydF4y2Ba	7.19836gydF4y2Ba	7.19806gydF4y2Ba	0.0042gydF4y2Ba
	4gydF4y2Ba	18.1031gydF4y2Ba	18.0426gydF4y2Ba	0.3353gydF4y2Ba	4gydF4y2Ba	13.0142gydF4y2Ba	13.0093gydF4y2Ba	0.0377gydF4y2Ba
	5gydF4y2Ba	24.7273gydF4y2Ba	25.2546gydF4y2Ba	2.0879gydF4y2Ba	5gydF4y2Ba	19.6564gydF4y2Ba	19.7215gydF4y2Ba	0.3301gydF4y2Ba
					6gydF4y2Ba	26.6816gydF4y2Ba	27.2400gydF4y2Ba	2.0499gydF4y2Ba

			^{(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}	误差(%)gydF4y2Ba			^{(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}	误差(%)gydF4y2Ba

1gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	−8gydF4y2Ba	−8gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	−15.0775gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	1gydF4y2Ba	7.91736gydF4y2Ba	7.91735gydF4y2Ba	0.0001gydF4y2Ba	1gydF4y2Ba	−15.0686gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	2gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	0gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	2gydF4y2Ba	−3.55932gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	3gydF4y2Ba	2.52034gydF4y2Ba	2.52036gydF4y2Ba	0.0008gydF4y2Ba	3gydF4y2Ba	−2.73313gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	4gydF4y2Ba	8gydF4y2Ba	8gydF4y2Ba	0.0000gydF4y2Ba	4gydF4y2Ba	3.55932gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	5gydF4y2Ba	14.1105gydF4y2Ba	14.1130gydF4y2Ba	0.0177gydF4y2Ba	5gydF4y2Ba	8.52713gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	6gydF4y2Ba	21.1161gydF4y2Ba	21.1575gydF4y2Ba	0.1957gydF4y2Ba	6gydF4y2Ba	15.0775gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba
	7gydF4y2Ba	29.6605gydF4y2Ba	28.9748gydF4y2Ba	2.3665gydF4y2Ba	7gydF4y2Ba	22.4392gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba	- - - - - -gydF4y2Ba

最后一个例子,我们考虑quasi-exactly解决潜在的(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]给出gydF4y2Ba 使用表单中定义的拟设波函数(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba),并遵循同样的步骤上面给出相同的数值gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,一个获得gydF4y2Ba 我们现在和比较的结果gydF4y2Ba能量状态表gydF4y2Ba5gydF4y2Ba。这是看到ATEM繁殖的结果与现有文献一致。gydF4y2Ba


		_WKBgydF4y2Ba^{(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}	^{(gydF4y2Ba32gydF4y2Ba]gydF4y2Ba}

0gydF4y2Ba	3.725 616 038 3gydF4y2Ba	3.659 044 83gydF4y2Ba	3.725 616 038 3gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba	21.745 704 430 1gydF4y2Ba	21.745 700 933gydF4y2Ba	21.745 704 430 1gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba	44.325 350 115 4gydF4y2Ba	44.325 350 114 4gydF4y2Ba	44.325 350 115 4gydF4y2Ba

4所示。结论gydF4y2Ba

我们应用相对简单和高效计算方法的能量特征值某种类型的一维非谐振荡器潜力。该方法是基于一个函数的渐近泰勒级数展开。结果表明,最优截断的泰勒级数繁殖特征值的数值结果精度高。计算机系统使用的算法构造符号或在ATEM数值计算相对简单。gydF4y2Ba

很明显,可调参数的测定gydF4y2Ba和gydF4y2Ba直接影响到迭代数gydF4y2Ba。因此,该方法的效率依赖于这些参数。因为我们组gydF4y2Ba通过选择gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,然后迭代数量可能似乎不够低。一个人可以选择不同的gydF4y2Ba和gydF4y2Ba值服从约束给出文本;然后迭代数量预计将得到较低的值。另一方面,还可以研究最好的近似的参数值gydF4y2Ba和gydF4y2Ba通过搜索的最小期望值能源满足(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba),例如,基态。因为我们关注的应用ATEM测定的能量特征值选择gydF4y2Ba和gydF4y2Ba上面给出的值,它被认为在我们计算百分比误差范围的潜力在这项研究中所选的值是可以接受的gydF4y2Ba和gydF4y2Ba参数,通过满足minimum-case条件超对称像合伙人的潜力。gydF4y2Ba

相信这里的方法的简单性和数学工具建议可能有用的治疗薛定谔方程包括大型的潜力。例如,该方法可用于其它线性的潜力,在三维空间各向同性的潜力。此外,人们可以关注的势函数(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)寻找能源分裂的井gydF4y2Ba值足够大(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba]。沿着这条线的研究正在进行中。gydF4y2Ba

利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突有关的出版。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

加齐安泰普大学的金融支持的研究基金(BAP)和土耳其的科学技术研究委员会(TUBİTAK)承认。作者也非常感谢裁判(s)有用的评论和建议。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

y . p . Varshni“Eigenenergies和振荡器Hulthen潜在优势,”gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba第41卷。。9日,第4689 - 4682页,1990年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
m·a·Nunez”,准确的计算形式为薛定谔运营商与库仑型势有关,”gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba卷,47号5,3620 - 3631年,1993页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
p•德•梅耶尔Matthys和h“Dynamical-group Hulthen势方法,”gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba,38卷,不。3、1168 - 1171年,1988页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
c . Stubbins”Hulthen的绑定状态,汤川势。”gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba,48卷,不。1,第227 - 220页,1993。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
y . p . Varshni”相对收敛的WKB, SWKB近似。”gydF4y2Ba物理数学和一般期刊上gydF4y2Ba,25卷,不。21日,第5777 - 5761页,1992年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
g . a . Dobrovolsky和r s Tutik“{WKB}积分的正规化,”gydF4y2Ba物理学杂志》:数学和一般gydF4y2Ba,33卷,不。37岁,6593 - 6599年,2000页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
a . z唐f·t·陈,“转移1 / N Hulthen的扩张潜力,”gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba,35卷,不。2、911 - 914年,1987页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
r·k·Roychoudhury和y . p . Varshni转移1 / N扩张和精确解的潜力gydF4y2Ba ${VgydF4y2Ba (gydF4y2Ba rgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba /gydF4y2Ba rgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$ ”,gydF4y2Ba物理学杂志》:数学和一般gydF4y2Ba,21卷,不。13日,3025 - 3034年,1988页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
a . f . Nikiforov和v . b . UvarovgydF4y2Ba特殊函数的数学物理gydF4y2Ba瑞士巴塞尔,Birkhauser, 1988年。gydF4y2Ba
s . w .钱、b·w·黄和z . y .顾,“超对称性和形状不变性的有效筛选潜力,”gydF4y2Ba新物理学杂志gydF4y2Ba卷,4 p。13日,2002年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
p . Maknikowski和a . Radosz“评论”反弹和量子隧道效应的计算不对称double-well潜力”:[B。周,J.-Q。梁,F.-Ch。布丁、phy。列托人。271 (2000)26]。”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba,卷292,不。4 - 5,300 - 302年,2002页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
周,j .问:梁和f . c .前脚“量子隧穿的不对称double-well潜力有限的能源,”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba,卷281,不。2 - 3、105 - 112年,2001页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
e . Paspalakis”物理解释激光压制了量子隧穿,”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba,卷261,不。5 - 6,247 - 251年,1999页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
l . j . Chen c . Kwek和c h .哦,“四次非谐振荡器,non-hermiticity。”gydF4y2Ba物理评论:原子、分子、光学物理gydF4y2Ba,卷67,不。1、文章ID 012101 9页,2003。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
f .周z曹,沈问:“能源分裂对称double-well潜力,”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba文章ID 062112卷,67年,2003年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
曹y, z,沈问:“束缚态光谱超对称量子力学。”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba,卷326,不。5 - 6,315 - 321年,2004页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
a . Hutem和c . Sricheewin基态能量特征值计算的量子力学gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba (xgydF4y2Ba) =gydF4y2Ba (\frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba}) {kgydF4y2Ba xgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {λgydF4y2Ba xgydF4y2Ba}^{4gydF4y2Ba}$ 通过分析转移矩阵方法,”gydF4y2Ba欧洲物理学杂志gydF4y2Ba卷,29号3,p。577年,2008年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
r . Koc和美国Sayın评价位置相关质量薛定谔方程的解决方案,“gydF4y2Ba物理学杂志》:数学和理论gydF4y2Ba,43卷,不。45岁的ID 455203条,2010年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
Wolfram的研究,“Mathematica, 8.0版本,”Wolfram Research,香槟,生病,美国,2010年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
o .沉思,h . Koklu和s . Resitoglu”渐近泰勒展开式的应用方法双稳势,“gydF4y2Ba数学物理的发展gydF4y2BaID 239254条,卷。2013年,8页,2013。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
c . s . Hsue和j·l·陈省身,“一维非谐振荡器两步方法,”gydF4y2Ba物理评论DgydF4y2Ba第643条,卷。29日,1984年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
g . p . Flessas r·r·怀特海德和a .里加斯”gydF4y2Ba $αgydF4y2Ba$ xgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba $βgydF4y2Ba$ xgydF4y2Ba^4gydF4y2Ba相互作用,”gydF4y2Ba物理学杂志》的一个gydF4y2Ba,16卷,不。1,p。85年,1983。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
a·r·博纳姆和s . l .苏”使用hellmann-feynman和hypervirial定理获得不和谐的振动转动天然气衍射,期望的价值观和他们的应用程序”gydF4y2Ba《物理化学》杂志上gydF4y2Ba,45卷,p。2827年,1996年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
m·里德和b .西蒙gydF4y2Ba现代数学物理方法,第四对运营商的分析gydF4y2Ba、学术出版社,纽约,纽约,美国,1978年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
c .试验和j·l·Rosner量子力学与应用程序夸克偶素。”gydF4y2Ba物理报告CgydF4y2Ba卷,56号4、167 - 235年,1979页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
a代表哈雷和y . p . Varshni形状不变性也是必要的最低订单超对称WKB准确吗?”gydF4y2Ba物理信gydF4y2Ba,卷142,不。1、1 - 4,1989页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
g·r·p·博尔赫斯a de Souza南美洲,e . Drigo和j·r·鲁杰罗索要“变分法的激发态超对称技术,”gydF4y2Ba加拿大物理学杂志gydF4y2Ba,卷81,不。11日,第1291 - 1283页,2003年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
g·哈维和j . TobochnikgydF4y2Ba介绍计算机仿真方法:应用物理系统gydF4y2Ba美国,addison - wesley,阅读,质量,第二版,1996年版。gydF4y2Ba
Quasi-exactly-solvable问题和a . v .涡轮。gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 代数。”gydF4y2Ba通信的数学物理gydF4y2Ba,卷118,不。3、467 - 474年,1988页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
m·a·Shifman”新发现在量子力学(部分谱问题的代数化),“gydF4y2Ba国际现代物理学杂志》上gydF4y2Ba,4卷,不。12日,第2952 - 2897页,1989年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
p·罗伊,r . Roychoudhury和y . p . Varshni“超对称的应用WKB quasi-exactly (Wentzel-Kramers-Brillouin)方法可以解决的问题,“gydF4y2Ba加拿大物理学杂志gydF4y2Ba,卷69,不。10日,1261 - 1263年,1991页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
r·n·乔杜里和m . Mondal”特征值的非谐振荡器和摄动库仑在n维空间问题,“gydF4y2Ba物理评论一个gydF4y2Ba,52卷,不。3、1850 - 1856年,1995页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba
诉Jelic和f . Marsiglio double-well势在量子力学中,一个简单的数值精确的公式,“gydF4y2Ba欧洲物理学杂志gydF4y2Ba,33卷,不。6,1651 - 1666年,2012页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba

数学物理的发展gydF4y2Ba