应用逐次线性化法与分岔挤压流

文摘

本文采用计算的方法称为逐次线性化法(SLM)来解决一个四阶非线性微分方程建模的瞬变流动不可压缩粘性流体在两平行板之间由一个简单的运动。数值和图形结果与之前的结果显示优秀的协议在文献中报道。我们获得解分支以及准确的流场的转折点。使用内置的生成与数值结果比较MATLAB解决边界值,bvp4c,表明SLM方法是一种非常有效的技术解决高度非线性微分方程类型的讨论。

1。介绍

研究相关的瞬态流由一个简单的壁运动一直感兴趣的几年来由于其实际意义在理解一些工程和生理流问题。例如,人体的整个渠道灵活,也可折叠。时,内部压力超过外部压力,可以显著减少横截面积,如果没有完全消失了。横截面可能最终回到原来的形状,当外部压力降低,和,因此,正常的内部流体流动可以恢复(1]。其他应用程序可以在加载不稳定,会经常在许多流体的机器和设备2]。针对这些应用程序,压缩流动通道已经被许多作者研究;可能提及的研究(3- - - - - -6]。这个问题承认相似性变量(7,8),从而减少了非定常n - s方程参数依赖四阶非线性常微分方程的相似性函数。

一般来说,非线性问题及其解决方案提供了一个洞察系统中固有的复杂的物理过程。模型方程的非线性性质在大多数情况下,排除了其精确解。几个近似技术已经发展到解决这个问题,比如同伦分析方法(9- - - - - -11),同伦摄动法(12,13),光谱同伦分析方法(14,15),和变分迭代法16]。在本文中,我们采用逐次线性化法(17- - - - - -19解决一个四阶非线性边值问题管理平行板之间的挤压流动问题。在这项工作中,我们评估的适用性SLM方法在解决非线性问题的分岔。这样的问题很难解决数值在分岔点附近。使用新的SLM方法数值和图形结果与数值结果验证通过比较使用内置的MATLAB生成边界值解算器,bvp4c执政的物理参数,对于不同的值。在以下部分中,问题是制定,分析,和讨论。

2。数学公式

考虑一个不可压缩粘性流体的瞬变流动之间的平行板由板块的正常运动。笛卡儿坐标系统在哪里在于流向方向是测量在横向方向上的距离。让和方向的速度分量和分别增加。假设两个板块,在那里时的位置吗如图1。

当是正的,两个板块挤压对称,直到他们在联系。负的表示对称分离的盘子。板的长度被认为是远远大于宽度在任何时间的差距,最终影响可以忽略。后(4,6- - - - - -8),二维运动控制方程的涡度()和流函数()制定给药 与 我们介绍以下转换: 用(3)(1)和(2),我们得到 在哪里是当地的雷诺数(代表挤压和代表分离)。墙是由皮肤摩擦 在哪里是动态粘度系数。从n - s方程的轴向分量,压降在纵向方向上可以获得的。让 我们获得 在下一节中,(4)- (6)将使用逐次线性化法和其他重要流属性解决了皮肤摩擦和压降会决定。

3所示。连续线性化方法(SLM)的方法

提出了线性化方法的解决方案,以下简称逐次线性化法(SLM),是基于假设未知函数可以扩展为 在哪里是未知函数。的解决方案,()是递归地通过求解线性方程的一部分获得的结果替换(10)在控制方程(4)使用作为一个初始近似。线性化技术是基于的假设变得越来越小就大;也就是说, 最初的近似必须选择以这样一种方式,它满足边界条件(5)和(6)。一个适当的初始猜测 在哪里是一个任意常数,当不同的结果在多个解决方案。用(10在控制方程,忽略非线性项,,,给 在哪里

从最初的近似,后续的解决方案,迭代,得到解决(13)学科边界条件

一旦每个解决方案获得,近似的解决方案得到了, 在哪里SLM近似的顺序。值得注意的是,系数参数和右边的13),是已知的(从以前的迭代)。因此,系统(13)可以很容易地解决使用数值方法(如有限的差异,有限元素,基于龙格-库塔的拍摄方法,或搭配方法。在这个工作,(13)是利用切比雪夫谱配置方法解决。这个方法是基于切比雪夫逼近未知函数的插值多项式,这样他们在Gauss-Lobatto集中的点定义为 在哪里是搭配点的数量(见,例如,使用20.,21])。为了实现该方法,物理区域转化为该地区吗使用映射 的导数在搭配点表示为 在哪里和切比雪夫光谱微分矩阵(见例如,(20.,21])。用(17)- (19)(13在矩阵方程)的结果 在这是一个方阵和和是列向量定义为 在上面的定义中,对角矩阵的大小吗。修改后的矩阵系统(20.)将边界条件,解

4所示。结果与讨论

在本节中,我们提出的解决方案的结果控制非线性边值问题(4)。检查的准确性逐次线性化法(SLM),比较是用数字解决方案获得了使用MATLAB程序bvp4c。MATLAB程序bvp4c基于自适应Lobatto正交方案(22,23]。

表1给出了一个比较第十SLM近似结果和秩序bvp4c数值结果和在指定的值。通过使用不同的值不变在初始近似(见(12),发现SLM和bvp4c给多个解决方案时。两种解决方案,称为低分支和上分支,被确定。我们观察到SLM结果很好的协议bvp4c结果两个分支的解决方案。表1表明皮肤摩擦减少的时候增加的分支和相反的效果观察到什么时候增加上分支。

图2说明了在两架飞机一片分岔图。对于对称的板块的挤压;也就是说,,只存在一个解分支;这可以被视为分支较低的解决方案。另一个解决方案部门被确认除了降低解决方案部门当盘子对称分离();这是分支上的解决方案。之间存在一个转折点中小学解分支。这种分歧结果使用SLM在完美的协议是由Makinde et al。5使用Hermite-Pade近似技术。此外,这个转折点是非常重要的对应用程序;它代表了对称的分离流动过程中板材的限制。

图3描述流体正常和轴向速度分量在板分离。有趣的是较低的解决方案分公司液体正常和轴向速度分量增加增加板块分离(例如,)而上解决支行的趋势是相反的。同时,我们观察到的流板附近的逆转的可能性增加板分离。图4显示了液体正常和轴向速度分量在板挤压(在这一地区)的唯一解分支。正常和轴向速度分量减少与板块挤压。

5。结论

在这项工作中,我们使用一个非常强大的新的线性化技术,称为逐次线性化法(SLM),来解决一个四阶非线性微分方程建模的瞬变流动不可压缩粘性流体在两平行板之间由一个简单的运动。SLM结果管理流参数相比,使用MATLAB的结果bvp4c功能和优秀的协议。使用SLM,它也表明,当执政问题承认多个解决方案。SLM生成多个解决方案的能力使它优于大多数数值方法仅能产生一个解决方案的非线性方程。SLM的另一个重要的优势是,它的实现不依赖于小参数与其他传统的摄动方法。研究证实,提出原始SLM方法收敛迅速的解决非线性问题,可以用来解决许多其他非线性方程组一般出现在流体力学和非线性科学。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

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