守恒定律和修改Hunter-Saxton方程的精确解

文摘

研究了改性Hunter-Saxton方程出现向列液晶的造型。我们获得当地环保法律使用外地保护方法和乘法器的方法。此外,使用守恒定律和Lie-point对称性之间的关系,得到了一些减少和精确解。

1。介绍

众所周知,为了获得下面的方程的物理意义考虑,守恒定律的关键工具。他们可以观察等多种领域获得数值模式,李雅普诺夫稳定性分析和数值积分。在文献中存在大量的方法(见,1- - - - - -7])。详细审查现有的方法在文献中可以找到8]。另外,我们观察到一些有价值的软件电脑包在这个区域(9,10]。

在这项工作中,我们研究了改性Hunter-Saxton(肉类)方程 这是一个三阶非线性偏微分方程(PDE)。这个方程已经被猎人和萨克斯顿[首先提出11为向列液晶的理论建模)。他们表明,弱非线性波被(1),描述了导演的向列液晶,是一个空间变量在一个参考系与线性波的速度移动,然后呢是一个缓慢的时间变量(11,12]。几何解释和可积性的属性(1一些作者研究了(13,14]。Johnpillai和Khalique12)表明,底层承认三参数方程Lie-point对称发电机。使用这些发电机他们获得一个最优的一维代数系统。对称削减和精确解。此外,使用变分法,他们构建了一个无限数量的非局部守恒定律转换的基本方程的因变量。在[15),Nadjafikhah Ahangari调查谎言对称性和守恒定律的二阶非线性双曲Hunter-Saxton方程(HSE)。HSE的守恒定律计算通过三个不同的方法包括波伊尔诺特定理的推广,首先同伦方法,其次同伦方法。

在这项工作中,我们调查本地的守恒定律(1)。对于这个目标,我们认为Ibragimov的非局部保护和Steudel乘数方法,分别。此外,我们获得一些削减和精确解利用守恒定律之间的关系和Lie-point对称性(16]。

论文的大纲如下。节2我们讨论一些主要的运营商身份和他们之间的关系。然后,在节3,我们简要地给外地保护、乘数和二级减速的方法。节4,当地对称发电机是由两种截然不同的方法。在本节中削减对称性和精确解也。最后,在节5,提出了结论。

2。预赛

我们简要介绍使用符号和回忆基本定义和定理利用以下(2,7,16]。考虑到阶系统pd的独立变量和因变量: 在哪里是集的阶偏导数,,分别与总微分算子对给出的 求和约定的使用。Lie-point生成器是 在哪里和是只有独立和依赖的函数功能。操作符(4)是一个无限的缩写形式正式的总和 在额外延长公式的系数可以确定吗 Noether运营商Lie-point发生器是 在这是特征函数撒谎 守恒的向量(2),每个,是所有的空间微分函数,满足方程 的解决方案(2)。

3所示。守恒定律的方法

3.1。外地的保护方法

我们将表示独立变量),,,一个因变量连同它的衍生品任意的顺序。的阶PDE 一直正式拉格朗日。正式的拉格朗日乘法的一个新的伴随变量,,与给定方程。也就是说, 这种正式的拉格朗日, 伴随方程。在这里是欧拉算子定义的

定理1(见[7])。每个Lie-point Lie-Backlund和外地的对称性(2)给出了一个守恒律方程考虑。决心与守恒的向量组件 拉格朗日(正式的拉格朗日)函数是由 ,是相关的系数函数发生器(4)。

守恒的向量获得(14)涉及到任意的解决方案伴随方程(12),因此一个获得无限的守恒定律(1)通过选择。

定义2。我们说(2)是严格自伴的如果伴随方程(12)就相当于(2替换后): 与通用的系数。

定义3。我们说(2)是quasi-self-adjoint如果伴随方程(12)就相当于(2替换后),。

3.2。乘法器的方法

一个乘数的属性, 持有相同。在这里,我们将考虑三阶的乘数;也就是说,。右手边的17)是一个散度表达式。确定方程的乘数是 一旦得到乘数,守恒的向量是通过同伦公式计算(5,17]。所有的乘数可以借助计算(18)的方程可以表示为一个本地守恒定律(9]。

3.3。双还原法

让是任何Lie-point对称的组件是守恒的向量。如果和满足 然后与。我们定义了一个非局部变量通过,。采取相似的变量,,与发电机,我们有相似的变量 守恒定律是写成 用链式法则,我们有 这 所以 使用上述线性代数学的系统,我们可以得到的

的组件,取决于这意味着,取决于为解决方案不变。因此(21)成为。

为与我们有和。因此和下是不变的。这意味着和这,在那里是恒定的。

方程(2)的顺序有两个独立的变量,它承认对称这是守恒的向量,减少的颂歌,即,在那里是由(26)解决方案不变。

4所示。主要结果

首先我们使用外地Ibragimov保护方法。方程(1)承认以下三个Lie-point对称发电机(12]: 方程(1)没有通常的拉格朗日。拉格朗日(1)是 的伴随方程(1)是 我们可以得到伴随方程 在哪里是伴随变量。让我们调查quasi-self-adjointness (1)。我们拟设的。考虑到(29日)和使用(16)连同其后果,,,,,,我们重写(30.)以下形式:

方程(31日)应满足在所有变量相同。系数的比较在双方的(31日我们可以很容易地获得。然后我们把所有系数的线性和非线性混合衍生品方面。

的守恒的组件(1),与对称性有关,可以从(14)如下: 在哪里是特征函数。根据(31日),我们可以确定在两种情况下,和,有无穷多的解决方案。守恒定律与发电机相关联(27下面)。首先我们把。

案例1。现在,让我们让操作员计算在细节。这个操作符的无穷小,,我们得到和相应的守恒的向量(1), 容易看到,在这种情况下我们获得零守恒的向量由守恒定律的定义。

例2。在这种情况下的发电机(,,),我们计算的守恒量(1), 散度条件变得 我们观察到额外的条款出现。通过一些调整,这些术语可以被吸收 守恒定律。采取这些术语,包括守恒流,我们得到 修改后的守恒量现在标记,在那里模方程。容易看到,在这种情况下我们获得零守恒的向量由守恒定律的定义。

例3。让我们找到提供的守恒定律(,,)。在这种情况下和(32)收益率守恒定律(9), 的散度(38)是 经过一些调整重要的守恒量如下:
对于第二种情况相应的守恒定律如下。

例4。发电机的和谎言特征函数我们得到以下保守向量:
再次,像1我们获得零守恒的向量。

例5。在这种情况下的发电机(,,),我们计算的守恒量(1), 根据散度调整后我们修改守恒的向量 再次,像2我们获得零守恒的向量。

例6。最后我们考虑发电机,在那里,,。在这种情况下和(32)收益率守恒定律(9),
我们计算散度 同一行后,我们发现修改重要的守恒的向量
现在,我们将得到乘数肉类方程的守恒定律的方法。第三个订单乘数(1)是和相应的确定方程 扩大,然后分离(47)对不同组合的衍生品收益乘数超定的系统如下: 系统的解决方案(48)可以表示为 在哪里,是常数。对应上面的乘数,我们有以下守恒的向量(49): 乘数方法给了两个当地肉类方程的守恒定律。
现在,我们将推出的确切group-invariant解决方案(1)使用当地的守恒定律和Lie-point对称性之间的关系。方程(1)承认对称发电机,相关的法律保护 我们设置。然后规范化的坐标是,和。自与我们必须找到的价值。使用(26我们得到以下保守向量: 我们可以替代变量和在(52)。使用这些变量后,(52)降低一阶常微分方程(ODE): 我们可以解决(53)通过分离变量和解决方案产生 构成肉类方程的解决方案。

5。结论

在这项工作中,我们研究了守恒定律,对称性降低,肉类方程的精确解。利用非局部保护和乘数方法,我们构造四个不同地方的守恒定律(见(40),(46)和(50))。很明显,通过使用Ibragimov外地保护方法可以获得无限的外地的守恒定律。然后,使用双还原法我们减少肉类方程二阶正则变量(参见颂歌(52))。确切group-invariant解决方案由积分减少的颂歌。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作是由埃斯基谢希尔Osmangazi大学科研项目(批准号2013 - 281)。

引用

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