三阶色散效应的Solitonic解决方案与立方非线性薛定谔方程

文摘

我们推导出solitonic解非线性薛定谔方程的立方非线性、复杂的潜力,时变系数利用达布变换。我们建立最一般的非线性薛定谔方程的可积性条件与立方非线性和讨论的影响系数的高阶术语solitonic解决方案。我们发现三阶色散项可用于控制孤子运动不需要外部的潜力。我们讨论的可积性条件和找到solitonic解决方案的知名与立方非线性和时变系数非线性薛定谔方程。我们还研究了高阶非线性薛定谔方程与三次和五次非线性。

1。介绍

非线性薛定谔方程(NLSE)出现在不同的物理分支(1- - - - - -3]。在光纤通信系统中,这种类型的方程的动力学描述光脉冲通过纤维。由于高功率光孤子的出现,高阶术语变得非常重要在描述通过光纤孤子传播准确。高阶项的作用的稳定和动态孤子因此需要被理解。为此,我们认为这里最一般形式的NLSE立方非线性、复杂的潜力,和导数项。有许多不同的方法来解决非线性偏微分方程,其中一些是最近开发的。一些这些方法相似变换法(4- - - - - -6),副大臣双线性方法(7),推广和改进/)扩张方法(8,9),映射方法(10,11,达布变换(DT)方法。我们一般方程和DT的方法解决这个问题。它从一个简单的种子生成非平凡解的美一个给定的可积NLSE的解决方案。我们讨论的可积性条件和解决一些知名nls立方非线性和时变系数。高阶项的影响将明显。在某些情况下,我们有一个线性的潜力和术语描述阻尼或系统中获得。

解决使用DT的NLSE的关键成分是一组矩阵,俗称松懈。我们推导出给定NLSE松懈对使用系统的搜索方法(12]。本文的目的是使用DT来得到一个确切的NLSE solitonic解决方案和研究高阶项的影响的解决方案。具体地说,我们认为NLSE立方非线性;一些著名的nls立方非线性NLSE或Gross-Pitaevskii方程(GPE) Sasa-Satsuma方程(SSE),和副大臣方程(他)。这里的一个关键因素是与时间有关的系数。NLSE的系数不同的术语可以时间仅仅通过不同半径或沿着光纤的非线性。另外,波导阵列的耦合可以适当改变(13]。时变系数引入时变振幅和位置依赖阶段,分别。

我们调查的可积性条件NLSE的立方和五次非线性和发现它不是松懈对意义上的可积。尽管我们设法找到两个矩阵和生成给定的NLSE相容性条件,我们无法找到所需的全套矩阵谱参数解决给定的NLSE使用DT。

剩下的纸是组织如下。节2基本方程推导松懈对和DT。节3解决方案被发现的一些著名的nls立方非线性。讨论和结论部分4。

2。宽松的一对和达布变换

松懈对解决的最重要的成分是NLSE使用DT。在这里,我们总结的基本方程。为了得到松懈对我们开始通过编写以下两个方程: 一个辅助字段。这里的下标和代表了对时间的导数和位置,分别。的矩阵,,,,,给定NLSE的解决方案的功能,其空间衍生品和表示矩阵的谱参数。矩阵的顺序取决于NLSE需要解决将会看到下一个。兼容性条件导致下列方程组: 在哪里表示的换向器和。方程(2)原NLSE回馈,宽松的条件必须满足。最重要和最困难的部分是找到和给定NLSE的矩阵。其余矩阵决定和矩阵。我们使用系统的搜索方法和矩阵(12]。值得一提的是,对于一些高阶NLSE我们发现和但是没有找到剩下的矩阵。因此,给定高阶NLSE的解析解是不可能使用DT。

后产生的矩阵为给定的NLSE我们使用DT发现分析解决方案。我们解决(1为辅助字段)。使用此辅助字段我们发现原来的NLSE的解决方案,给出的 在哪里是新的矩阵和。这包含给定NLSE的解决方案。DT的美在于一个简单的种子的解决方案,例如,给定的NLSE的零个或连续波解,导致了非平凡解。

3所示。NLSE的立方非线性

在本节中,我们考虑的最一般的NLSE qubic非线性(1,14- - - - - -17]。在阻尼或增益和外部潜在的存在,一般NLSE可以写成 在[18,19),这个方程的松懈对一种特殊情况被发现。这里所有的系数最初被认为是复杂功能的时间,但事实证明,可积性限制了他们是真实的。的函数和是真实的和占外部潜在和阻尼或获得系统中,分别。方程(8)描述电场的演变通过光纤光脉冲的包络。第二项表示彩色或群速度色散,第三项表示克尔非线性或相位调制效应(由于强度产生依赖的折射率)和第四项表示三阶色散。第五和第六条款有关self-steepening由于拉曼散射和self-frequency转变。

虽然我们找到了两个矩阵为和,其他的可积性条件,推导剩余矩阵;除此之外,我们需要使用矩阵。采用系统搜索方法我们发现成套矩阵(8),这是呈现为方便附录。

当我们使用和在(2)我们回来(8), 剩下的两个可积性条件 因此(8)是可积的只有三个独立参数,,。有一点值得一提的是,阻尼或获得,,线性部分的潜力,,出现的时间变异系数,,。

应用DT松懈对(8)以下solitonic解决方案可以推导出: 在哪里和 振幅取决于的比例系数色散和非线性。阶段是位置相关的,取决于彩色的比例系数和三阶分散体。令人厌恶的交互,,方程支持不同的解决方案,其中一个是由 在哪里和是由(12)。

吸引和排斥的情况下,三阶色散系数控制阶段的信封。一个重要的因素需要注意self-steepening和喇曼散射条件出现的由于三阶色散的关系(10)。信封的群速度取决于系数和。因此,我们可以控制群速度,也就是说,孤子的质心运动,通过适当地选择色散和三阶色散。这个有趣的事实可以用来操纵孤子运动不需要外部的潜力。

图1显示了solitonic解决方案由(11)。相比之下,图1(一)显示NLSE的solitonic解常系数,也就是说,没有任何阻尼和外部的潜力。在图1 (b),我们选择这三个系数是时候独立和获得相比是很小的和。在这种特殊情况下和和孤子的质心速度是一个常数。我们假设三角时间依赖性和(20.)和常数在图1 (c)。振荡的孤立子以一个恒定的速度移动。在图1 (d),我们假设所有的系数依赖于三角时间和质心速度振荡。从数据1 (b)- - - - - -1 (c),很明显,重心速度可以控制合适的选择的三阶色散系数。

3.1。特殊情况

3.1.1。非线性薛定谔方程,NLSE

如果我们将在(8)我们得到标准NLSE或GPE阻尼或获得和潜力,可以写成 这是其中一个最著名的nls光学(1],“bose - einstein”[2),和海浪社区(3]。松懈对(14)与长期有效系数和无阻尼和潜在首次发现Zakharov和Shabat21),被广泛应用于达布变换找到确切的解决方案。的阻尼和的潜力。方程(14)支持solitonic解决方案,给出了这样一个解决方案 在哪里和。类似的结果也发现Kumar et al。22]。组织主席发现的解决方案(14)和二次潜力,周期性的潜力,和不同类型的解决方案与线性的潜力。

众所周知,NLSE或GPE系数随时间变化可积与潜在的二次权力(23,24]。在这里,我们找到NLSE的松懈对线性的潜力;这是由于这样的事实:我们NLSE的松懈对来自与cubic-quintic非线性高阶NLSE的采取适当限制的同时(见(21)]。高阶项的高阶线性势NLSE限制可积性。我们工作的最初的动机之一是为了解决最一般NLSE cubic-quintic非线性和找到解决方案的其他知名nls作为特殊情况。然而,我们发现一般NLSE cubic-quintic非线性不是松懈对意义上可以解决的。

3.1.2。副大臣方程,他

如果我们将在(8我们把他(25];也就是说, 在这种情况下,我们发现方程可积的前提,,。他是由one-soliton解决 在哪里和。相似的结果也发现了戴和张26]。

3.1.3。Sasa-Satsuma方程,上交所

如果我们将在(8我们得到了SSE (27];也就是说, 我们发现上交所是任意值的可积,,与和。上交所的one-soliton解决方案是由 在哪里和。相似的结果发现Gilson et al。28]。

我们进一步调查一般高阶NLSE方程的可积性与三次和五次非线性(29日- - - - - -31日]。在非线性光学、非线性薛定谔方程的五次非线性成为重要的强度和逆光脉冲的宽度增加。在阻尼或获得外部的潜力,在非线性光学一般NLSE三次和五次非线性可以写成 在这里,至于(8),所有的系数被证明是真实的。与系数,,占五次非线性和通常称为non-Kerr非线性。所有其他的条款类似(8)。我们使用系统搜索方法找到松懈对(20.),它是由 矩阵的元素是由 在这里,,,,和两个任意的长期有效的常量。使用(21)(2)我们(20.与以下可积性条件):,,,。这种宽松的一对是假的,因为我们找不到其他矩阵解决光谱问题由(20.)。因此(20.不松懈对意义上的可积。我们也尝试过矩阵为和,因为我们做的NLSE立方非线性,但我们无法找到所需的其他矩阵解决谱问题。

4所示。结论

我们雇佣的达布变换来解决一些nls立方非线性和时变系数。我们调查NLSE的可积性与阻尼线性潜力,发现它是可积的只有三个独立的系数,即色散,克尔非线性,三阶色散系数。拉曼和self-steepening术语的系数依赖于其他三个系数。可能产生的阻尼和线性部分由于时间的变异系数。这个方程支持solitonic聚焦非线性的解决方案。散焦非线性nonsolitonic不同解决方案的存在。在的情况下的三阶色散系数可以控制的质心运动的解决方案。这一发现可用于控制孤子在光纤的运动没有外部的潜力。

使用相同的技术,我们能够找到一些著名的nls的solitonic解决方案,即副大臣,Sasa-Satsuma,非线性薛定谔方程。副大臣和Sasa-Satsuma方程可积的一个线性的潜力,但前者是可积的时变系数。我们检查这些方程的解决方案类似于那些已经在文献中找到。

我们也调查的可积性条件NLSE立方和五次非线性,导数项,和复杂的潜力。在这种情况下,只有假的松懈对被发现表明nonintegrability松懈对方程的意义。

附录

宽松的一对(8)。清单中描述lax-pair-search方法部分2,我们发现集的矩阵定义宽松一双(8): 在哪里 在这里 在这里,,,,,是一个任意的长期有效的常数。

利益冲突

兹证明没有利益冲突与任何金融组织关于讨论的材料。

确认

作者h . Chachou萨梅特和m . Benarous承认提供的支持Hassiba Benbouali Chlef大学阿尔及利亚。作者m . Asad-uz-zaman和美国组织主席承认提供的支持下的阿拉伯联合酋长国大学授予UAEU-NRF 2011和法赫德国王大学提供的支持下的石油和矿产集团项目号,RG1107-1 RG1107-2 RG1214-1, RG1214-2。

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