一种基于移动Kriging插值的局部积分方程配制，用于求解耦合非线性反应扩散方程

抽象的

考虑到测试功能的无比本地Pretrov-Galerkin方法（MLPG）借助于沉重的步骤功能，以解决在正方形域上经受Dirichlet和Neumann边界条件的二维空间中的耦合非线性反应扩散方程的系统。通过移动Kriging（MK）内插方法来近似双场速度，用于构造保持Kronecker Delta属性的节点形状函数，从而增强了布置节点形状结构精度，而选择曲柄-Nicolson方法以进行时间离散化。在每次步骤内迭代地处理非线性术语。在两个数值例子中验证了开发的配方，并研究了数值结果的收敛性和准确性。通过显影配方揭示溶液的数值实验是稳定的，更精确的。

1.介绍

反应扩散系统，由Alan Tying提出[1]，在数学，物理，化学和生物学中具有重要应用。通过静止状态的任意随机偏差引发图灵或扩散驱动的不稳定性，并导致化学浓度的固定空间周期性变化，即化学模式。通过考虑化学物质的远程效果，可以理解直观转动不稳定性，这是由于扩散步伐的差异而不是相等的，因此不稳定地产生[2]。从[3.]通常不是稳定状态的必要条件，并且无法基于稳定状态附近的行为来确定系统的最有利状态，但必须考虑全局非纤维动态。反应扩散方程通常通过数值方法解决，并且通常认为扩散被认为是稳定的。扩散可以使稳定且均匀的化学状态不稳定的想法是创新性的。

Shirzadi等人。[4.]开发了无线本地Petrov-Galerkin（MLPG）配方，用于非线性反应扩散方程的数值溶液。空间变型通过移动最小二乘来近似，并且在每次步骤中迭代地处理非线性术语。构造形状功能是MLPG方法中最重要的问题之一。有许多方法用于构建形状功能，例如移动最小二乘（MLS）和加权最小二乘（WLS）方法。最受欢迎的方法是MLS。尽管MLPG方法和许多其他无网格方法已经逐渐应用于不同的领域，但由于难以实施一些基本边界条件，因此存在不便;由MLS近似构造的形状函数不满足Kronecker Delta函数属性。在该研究中，开发了基于移动Kriging近似的MLPG方法，以解决抛物线类型的两个非线性偏微分方程的系统。移动的克里格，由顾问提出[5.]为了构建形状功能，具有Kronecker Delta属性，该属性是构造形状功能的良好性质。这些系统通过局部积分方程配方和一步时间离散化方法解决。在每次步骤内迭代地处理非线性术语。使用SIMPSON和GAUSE-LEGENDRE正交规则计算边界和域积分。考虑两个数值示例以验证所提出的方法，以测试其准确性和收敛性。

2.管理方程式

耦合对非线性偏微分方程的数值模拟如下[4.]： 给定二维区域中的初始和dirichlet和/或neumann边界条件， 在哪里那那那， 和给予常数，和是字段变量的函数和， 和和被认为是规定的来源。在双组分反应系统的情况下，和代表浓度和那代表化学物质的扩散系数。

3.移动Kriging插值方法

Kriging插值是一种众所周知的地质和采矿空间插值的地质静压技术[5.]。通过移动Kriging（MK）内插通过移动Xriging（MK）插值的构造是简要介绍的。

类似于MLS近似，考虑该功能在域中定义由一组正确分散的节点离散化， 在哪里是整个域中的节点总数。假设只有节点周围点有效果。

子域名包含这些周围节点称为点的插值域。MK插值在定义如[6.]。因此，使用MK内插的无丝状形状函数的制剂 在哪里是域中函数的矢量值。是A.形状函数矢量，表示为 其中矩阵和被定义为 其中  是一个单位矩阵的大小和向量是 通常，二维空间中的线性基础是 如二次基础 和立方体是 对于矩阵大小，多项式基本函数的值（5.）收集给定的节点集，如下所示： 矩阵和向量由以下等式定义： 在哪里是位于的任何一对节点之间的相关函数和，代表现场价值的协方差;那是， 同样，协方差可以被替换。从上述配方可以看出矩阵的值和在计算中发挥重要角色。简单且经常使用的相关函数是高斯函数 在哪里和是用于适合模型的相关参数，并假设给出。

形状函数的一阶部分衍生物反对坐标那，可以很容易地从（3.） 作为 在哪里表示。

4.局部积分方程

局部积分制定（1）可以写成 在哪里是作为测试功能的沉重步骤： 和是试用函数，而不是整个域我们已经考虑了一个子域完全位于域名那。域名被封闭，带边界条件 在哪里是边界的向外单位正常矢量。状况 （16.）通常被称为Dirichlet边界条件和（17.）被称为Neumann边界条件。让和，替代品和分别是试用解决方案： 对于内部节点，来自本地积分方程（14.），并使用MK（2），我们有以下非线性方程式： 以下缩写已用于组成项： 使用SIMPSON和GAUSE-LEGENDRE正交规则计算边界和域积分。

我们可以重写（19.） 作为

4.1。时间离散化

等式（21.）可以重写为 同样，我们有 在哪里

（占）衍生物的有限差分近似（22.） 和 （23.）在Crank-Nicolson方法中如下： 因为和是非线性功能和，我们在每次使用替换时迭代地解决它们和经过和分别在零迭代。等式（25.）转换成一组非线性代数方程，用于未知数和。

5.数值实验

分析的域名是。错误的错误和在数值结果中呈现的是，由相对误差（RMSRE）的最大相对误差（MRE）和均方根表示和分别在哪里 和是精确和计算的值在分别和是节点的数量。

例1。该地区非线性PDES系统如下： 在哪里 选择初始和Dirichlet边界条件，以使确切的解决方案是 在该示例中，管理方程式类似于（1） 和和。已经使用所示的结果，81,256和441个节点点，以及在时间瞬间。数字1（a）和1（b）表明了和随着使用的节点数量的函数而增加;同时，使用10，MRE随着节点数量的函数而逐渐增加。数字2（a）和2（b）表明RMSRE和随着使用的节点点数的函数而降低，6和10.此外，误差和使用，10小于RMSRE和使用时。试验解决方案的简介和类似于精确解决方案的轮廓和（见数字3（a）那3（b）那3（c）， 和3（d））。数字3（e）和3（f）揭示相应的错误配置文件和。错误的错误和满足边界条件以及Kronecker Delta属性。

示例2（布鲁塞尔系统的应用）。该研究的开发配方可以解决现实世界的应用示例。让我们考虑二维区域中的非线性反应扩散布鲁塞尔系统[7.]，。考虑 和那那， 初始条件 和Neumann边界条件 确切的解决方案是未知的。对于扩散系数的小值， 如果然后，布鲁塞尔系统的数值解决方案会聚到平衡点（看 [7.]）。表中提出了确切解决方案的最大值和最小值的实验结果1。根据表格1，发现精确解决方案的值倾向于稳定状态值。数字4.显示解决方案如何从初始条件变为稳定状态倾向于无限。实验结果与先前报道的实验结果相似[7.那8.]。

6。结论

通过使用曲柄-Nicolson方法的时间离散化，已经提出了开发的制剂用于耦合非线性反应扩散方程。立方多项式基础是构建节点形状功能的最佳基础。鲁棒方法在准确性的情况下运行良好，满足边界条件。此外，通过Crank-Nicolson具有迭代方法的时间离散化的开发配方的解决方案是稳定的，更精确，所以增加可以选择进行学习。收敛性测试显示在所未知的布鲁塞尔模型中，表明所提出的方法在模拟耦合的非线性反应扩散问题中具有胜能。

利益冲突

提交人声明没有关于本文的出版物的利益冲突。

承认

该研究部分由Dhurakij Pundit University，泰国部分支持。

参考

1. A.“化学基础的形态发生，”皇家学会的哲学交易b，卷。237，pp。37-72,1952。查看在：谷歌学术
2. T.Leppänen，图灵系统模式形成的计算研究[PH.D.论文]，赫尔辛基理工大学，埃斯波，芬兰，2004。
3. I. Progogine，“Etude热力学DES挥手（研究不可逆转现象的热情），”提交了布鲁塞尔自由大学（1945年）的科学教师，邓德，巴黎，法国，1947年。查看在：谷歌学术
4. A. Shirzadi，V.Sladek和J. Sladek，“一种局部整体式公式，通过使用移动最小二乘近似来解决耦合非线性反应扩散方程”，“边界元素的工程分析，卷。37，不。1，pp。8-14,2013。查看在：出版商网站|谷歌学术
5. L.Gu，“移动Kriging插值和无元素Galerkin方法”，工程中的数值杂志，卷。56，没有。1，pp.1-11，2003。查看在：出版商网站|谷歌学术
6. L. Chen和K. M. Liew，“当地的Petrov-Galerkin方法，具有移动Kriging插值，以解决瞬态导热问题，”计算力学，卷。47，没有。4，pp。455-467，2011。查看在：出版商网站|谷歌学术
7. E. H. Twizell，A. B. Gumel和Q.Cao，“粉泽物”反应扩散系统的二阶计划，“数学化学杂志，卷。26，不。4，pp。297-316，1999。查看在：谷歌学术
8. Siraj-Ul-Islam，A. Ali和S. Haq，“二维反应扩散布鲁塞尔系统的行为的计算建模”应用数学建模，卷。34，不。12，pp。3896-3909,2010。查看在：出版商网站|谷歌学术

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