在半riemannian翘曲产品中的伯恩斯坦型定理

摘要

调查了沉浸在半riemannian翘曲产品中的完整空间的过度覆盖。通过使用根据yau（1976）的技术和对高度裂缝的平均曲率的合理限制，我们获得了一些新的伯尔尼斯坦型定理，其延长了Camargo等人证明的一些已知结果。（2011）和Colares和Lima（2012）。

1.介绍

本文研究了半黎曼弯曲积流形中的完全类空间超曲面，特别是稳态型时空和双曲型空间中的完全类空间超曲面。在给出我们的主要结果的细节之前，我们首先提出一个简短的大纲，一些最近的论文包含与我们有关的定理。

Caminha和de Lima [1[]分别得到了稳态空间和双曲空间中具有常平均曲率的完全类空间超曲面的唯一结果。

后来，albujer和alías[2事实证明，在完整的空间曲率上，恒定的平均曲率必须相同为1，只要这种超出表面被束缚在稳态空间的无限远离。对于一些关于恒定平均曲率的其他伯尔尼斯坦类型的结果，我们将读者推荐给Albujer等人的一些最近的论文。[3.那4.] Aquino和de lima [5.］．

此外，利用Yau [6.]，Camargo等人。在 [7.]在稳态型和双曲线型空间中获得了一些关于完整的空间过度缺陷的伯尔斯坦型结果。注意到，在纸张中，完整的空间的平均曲率不需要是恒定的。

德利马在[8.]获得了一个新的Bernstein型定理，了解了双曲线空间的完全空间的过度缺陷，其中有界曲线（不一定是恒定的）和对正常角度的限制。

在本文中，以下是[9.那10.我们将考虑翘曲函数积分的拉普拉斯算子。事实上，利用丘成桐在[6.[假设对平均曲率的适当限制，我们获得以下伯尔尼斯坦型定理。

定理1。让是纤维的广义罗伯逊步行者时空是一个完整的riemananian歧管。让具有平均曲率的完整和连接的空间静脉曲张满意 如果具有可叠加的规范， 然后是一片切片．

定理的黎曼版本1也呈现如下。

定理2。让为黎曼弯曲产物，其纤维是一个完整的riemananian歧管。让具有平均曲率的完整和连接的空间静脉曲张满意 如果具有可叠加的规范， 然后是一片切片．

假设翘曲功能在整理中1和2是由为了，则上述两个定理即为[7.］．最后，让翘曲函数在定理2是为了和纤维一个-维欧几里德空间，然后定理2给出伯尼斯坦型定理，用于沉浸在双曲线空间中的空间休（Spacelike Hypersurfaces）（参见部分4.详情)。

本文组织如下。我们首先会回忆起一些符号并在本节中给出了一些用于证明我们主要定理的关键lemmas。部分3.证明了半黎曼翘曲积中关于类空间超曲面的一些唯一定理。最后,在节4.，分别获得了我们在稳态型空间和双曲线型空间中的主要定理的一些应用。

2.预备

在本节中，源自[11.那12.]我们将记住一些基本的符号和事实，将出现在本文中。

让是一个连接,- 一维导向的riemannian流形，一个区间,积极的光滑功能。我们考虑产品差动歧管并表示由和在底面上的投影和纤维， 分别。特定类别的半riemananian歧管是通过装饰产品歧管而获得的类歧管使用指标 对于任何一个和任何,在那里．我们称这种空间为扭曲积流形被称为翘曲功能，我们表示空间．请注意,称为广义罗伯逊-沃克时空[11.]， 特别是，如果是纤维，被称为罗伯逊助行器时尚截面曲率恒定。从[13.我们知道一个广义的罗伯逊-沃克时空具有恒定的截面曲率当且仅当黎曼纤维截面曲率恒定和翘曲功能满足以下微分方程：

它源自[14.那15.这个向量场是共形和关闭的（从这个意义上是它的双重- Forms闭合），具有保形因子，其中质数表示对的微分．为，我们定向切片由单位正常矢量字段，然后来自[9.我们知道有常数Th均值曲率关于为了．

一个平滑的浸an维连接管汇如果诱导的公制通透过，则据说是一种空间的过度表面是一个riemananian公制．如果由单位矢量字段定向，一个显然有一个．

我们考虑自然附加的两个特定功能，以完成空间的超周围，即垂直（高度）功能和支持功能．我们表示和关于指标的梯度和， 分别。因此，通过简单的计算，我们呈现梯度上如下: 而且，梯度上是由 我们表示上向量场的范数，然后我们得到

根据 [2那16.]，一个类空间超曲面据说是无限远离未来的界限如果存在这样 类似地，薄片静脉曲张据说是远离过去无限的界限如果存在这样 最后，据说被偏离了无限的如果它既有偏离过去和未来无限的．

设置的引理4.1中9.[我们可以在广义罗伯逊沃克斯时代中获得翘曲功能积分的拉普拉斯。通过根据Alías和Colares使用该技术[9.，第二作者和王在[10.概括了这一结果，如下所示，这一结果是半riemannian翘曲的产品。

引理3(参见[9.那10.])。让是浸入半riemananian扭曲产品中的空间张开。如果 然后 在哪里表示拉普拉斯运营商和高函数是．

此外，我们还需要以下Yau提出的著名引理[6.］．

LEMMA 4（在第660页的推论[6.])。让豆角，扁豆- 一维完整的riemananian流形。如果是一个平滑的子发声或超高音功能，其梯度范围是可集成的， 然后一定是和声。

3.主要定理证明

基于上述章节的论证2，我们可以给出定理的证明1如下。

定理的证明1．自如果一个整体定义在环境时空上的酉时向量场，那么就存在一个唯一的酉时法向量场在空间上定义的空间这是相同的时间方向．利用柯西-施瓦茨不等式 卖，那么它遵循引理3.那 定理的假设1保证然后，它遵循（12.） 那 注意到翘曲功能是积极的然后，通过使用上述不等式和（1) (13.)，则有以下不等式: 这意味着有次谐波函数吗．
另一方面，由于空间般的超表面被束缚在无限远离，然后是高度函数是有界的．此外，我们有 自是可积的,从(16.） 我们知道也是可积的吗．上述论点确保了雷姆玛4.适用，然后申请lemma4.次谐波函数上我们有
将上式代入(15.)，并注意到翘曲函数是平滑的正函数吗， 我们获得因此，使用不等式（1） 和 （12.)在这个方程中
假设（1） 暗示上，则由上述不等式可知;与不平等相比，这种不平等（12.)，我们获得身份．最后,使用和在(7.)给 意思就是是一个不变的．然后我们证明了这一点是一片切片．

接下来我们给出定理的黎曼证明1在黎曼扭曲积空间上。

定理的证明2．在这方面，我们可以考虑是过度面的方向使其角函数满足 现在，放手，那么它遵循引理3.那 假设 （2） 暗示然后，来自（20.）我们有那个 注意到翘曲功能是积极的然后，使用上述不等式和（2) (21我们获得 这意味着有次谐波函数吗．
作为类空间超曲面被束缚在无限远离，然后是高度函数也是有界的．还， （16.）在这种情况下持有。作为是可积的， 然后 （16.）确保也可积。从上面的论证我们可以看出引理4.适用;申请lemma.4.次谐波函数我们获得(17.）.因此,把(17.) (23)，并注意到翘曲函数是积极的， 我们获得，使用不平等（2)在这个方程中得到
它遵循（24） 那，将这个不平等与不平等(20.）我们获得身份．最后,使用和在(7.）给予 意思就是是一个不变的．然后我们证明了这一点是一片切片．

备注5。值得指出Colares和De Lima [17.]在类似于我们的半riemananian翘曲产品中获得了一些刚性定理。但是，在图4.2和4.6的假设中[17.]，即翘曲函数假设具有凸起对数。另一方面，我们将读者提交给[12.那15.]对于一些翘曲功能不一定具有凸对数的半riemannian的一些例子。也就是说，不需要假设是凸的，我们的定理1和2得到与[中证明的相应结果相同的结论17.］．

4.应用程序

在本节中，我们在某些物理模型上应用了我们的主要定理，特别是稳态型空间时空和双曲线型空间。

根据 [2]，据说是一个稳定的状态型空间，在哪里是一个- 一维完成和连接的riemannian歧管。特别是，被称为- 二维稳态时空，其对De Satter空间的开放子集是等距．研究稳态时空的重要性来自于这样一个事实，在宇宙学中，是Bondi和Gold提出的宇宙稳态模型[18.，和霍伊尔[19.］．

假设翘曲函数由，然后以下结果从定理中遵循1．

推论6。让是稳定状态型空间的完整空间静脉曲张。假设被束缚在无限远离那是平均曲率满足．如果具有可叠加的规范， 然后和是一片切片．

我们评论了推论6.证明了[7.]通过使用来自我们的不同方法。

双曲型空间由,在那里是一个完整的riemananian歧管。调查双曲线型空间的动机来自这一事实维双曲空间是等距．注意到半空间模型和这种双曲型模型之间的显式等距已被Alías和Dajczer指出[20.］．

现在让翘曲功能是为了，然后以下结果从定理中遵循2．

推论7。让是双曲线型空间的完整空间。假设被束缚在无限远离那是平均曲率满足．如果具有可叠加的规范， 然后和是一片切片．

另外，让翘曲函数和一个-维欧几里德空间，则由推论得到以下结果7.．

推论8。让在双曲线空间中是一个完整的空间静脉曲张。假设被束缚在无限远离那是平均曲率满足．如果具有可叠加的规范， 然后和是一个钟摆．

备注9。de lima在[8.]证明了一个浸没在具有平均曲率的双曲空间中的完全类空间超曲面和是一个钟声，只要这一点是在双曲线空间的钟圈下，第二个基本的界限。

承认

该项目得到了中国自然科学基金的支持（第10931005号）和中国广东省自然科学基金（第4211000100471）。

参考文献

1. A. Caminha和H. F. de Lima，“半黎曼翘曲积中具有常平均曲率的完全垂直图”，比利时数学会的公报。西蒙斯蒂夫顿，第16卷，第2期。1，页91-105,2009。查看在：谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
2. A. L. Albujer和L.J.Alías，“稳定状态空间中恒定平均曲率的”Spacelike Hypersurface“，美国数学社会的诉讼程序，卷。137，没有。2，第711-721,2009。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
3. A. L. Albujer, F. E. C. Camargo，和H. F. de Lima，“完整的具有恒定平均曲率的空间超曲面$-ℝ\times {ℍ}^N$，“数学分析与应用杂志，卷。368，没有。2，pp。650-657，2010。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
4. A.L.Balujer，F. E. C. Camargo和H. F. de Lima，“罗伯逊步行者时尚的完整空间的超周围，”剑桥哲学学会数学学报第151卷，不。2，页271-282,2011。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
5. C. P. Aquino和H. F. de Lima，“关于翘曲产品恒定曲率曲率完整垂直图的刚性，”微分几何及其应用第29卷第2期。4，页590-596,2011。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
6. “完全黎曼流形的一些泛函性质及其在几何上的应用”，印第安纳大学数学学报第25卷，没有。7, 659-670页，1976。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
7. F. Camargo, A. Caminha, H. de Lima，“半黎曼翘曲积中的伯恩斯坦型定理”，美国数学社会的诉讼程序，卷。139，不。5，PP。1841-1850,2011。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
8. H. F. de Lima，“双曲线空间中的刚性定理”，韩国数学社会的公报，卷。50，不。1，pp。97-103，2013。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
9. L. J. Alías和A. G. Colares，“一类具有常高阶平均曲率的类空间超曲面的唯一性，”剑桥哲学学会数学学报，卷。143，不。3，pp。703-729,2007。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
10. Y. Wang和刘，“在半riemannian翘曲产品中完全的空间休息室，”应用数学学报，第750741条，8页，2013年。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
11. L.J.Alías，A. Romero和M.Sánchez，“普通罗伯逊沃克队的恒定平均曲率的完全清晰的超近的唯一性，”一般相对性和引力，第27卷，第2期。1，第71-84页，1995。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
12. B. o'neill，半riemannian几何与应用相对性北京:清华大学出版社，1983。查看在：MathSciNet
13. L. J. Alías, A. Romero，和M. Sánchez，“常平均曲率的类空间超曲面和Calabi-Bernstein型问题”，东北数学期刊，第49卷，第2期。3, 337-345页，1997。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
14. S. Montiel，“一些riemananian歧管中的恒定平均曲率过度的单位”，“印第安纳大学数学学报，卷。48，不。2，pp。711-748，1999。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
15. S. Montiel，“叶状时空中常平均曲率的类空间超曲面的唯一性”，Mathematische Annalen.，第314卷，第4期。3, 529-553页，1999。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
16. C. P. Aquino和H. F. de Lima，“半黎曼弯曲积中具有有界高阶平均曲率的完全超曲面的唯一性”，格拉斯哥数学杂志，卷。54，没有。1，pp。201-212，2012。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
17. A. G. Colares和H. F. de Lima，“半黎曼弯曲积的一些刚性定理”，Kodai数学杂志，卷。35，不。2，pp。268-282,2012。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
18. H. Bondi和T. Gold，《流体运动产生磁性》皇家天文社会。每月通知，卷。108，pp。252-270,1948。查看在：谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet
19. F. Hoyle，“扩大宇宙的新模式”皇家天文社会。每月通知，卷。108，pp。372-382,1948。查看在：谷歌学术搜索
20. L.J.Alías和M. dajczer，“恒定的弯曲表面的唯一性正确地浸入平板上”Commentarii更加Helvetici第81卷，没有。3, 653-663页，2006。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt Math.|MathSciNet

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