一种具有各向同性坐标的相对论算法

摘要

我们研究了具有各向同性压力的物质分布的球形对称的空间。我们为Einstein现场方程生成新的精确解决方案，该方程也包含各向同性压力。我们开发一种算法，如果已知特定解决方案，则产生新的解决方案。该算法导致非线性Bernoulli等式，其可以以任意函数而集成。我们使用一个共形的扁平度量来表明积分可以以基本功能表示。重要的是要注意，我们利用不同于其他治疗的各向同性坐标。

1.介绍

我们考虑静态完美流体球体的内部，以各向同性压力相对性。已经证明了一般相对性的预测与相对论天体物理学和宇宙学中的观察数据一致。对于对引力模型的物理特征的讨论，我们需要精确解决爱因斯坦场方程。精确的解决方案在密集的相对论天体物理问题的描述中至关重要。过去已经发现了许多解决方案。对于现场方程的一些已知解决方案的一些全面列表，请参阅Delgaty和Lake [1，芬奇和斯凯[2]和Stephani等人。[3.］．许多这些解决方案都没有身体合理。为了物理合理性，我们要求引力电位和物质变量是规律的并且表现良好，保持时空歧管的因果关系，并且物理量的值与观察一致。

过去已经在过去发现了解决方案，使得对重力电位，物质分布或施加状态方程的假设。这些特定方法确实具有有趣性质的屈服模型。然而，原则上，希望具有一种通过系统方式产生精确解决方案的一般方法。过去产生的一些系统方法是Rahman和Visser的系统[4.]， 湖 [5.Martin和Wisser [6.]，Boonserm等人。[7.]，Herrera等人。[8.， Chaisi和Maharaj [9.， Maharaj和Chaisi [10.］．在一般相对性中，我们具有使用任何明确定义的坐标系的自由度。上述参考文献主要使用规范坐标。各向同性坐标的使用可能提供新的见解，并且可能导致新的解决方案。这是我们在本文中遵循的方法。我们生成了一种新的解决方案的新算法，到各向同性坐标中的Einstein场方程。从给定的解决方案，我们可以找到具有各向同性压力的新解决方案。

本文的目的是寻找具有来自给定种子指标的无充电的各向同性物质分布的Einstein场方程的新类精确解决方案。在部分2，推导了静态球对称时空中中性完美流体的爱因斯坦场方程。我们引入了Kustaanheimo和Qvist的新变量[11.]将场方程和压力各向同性条件改写为等效形式。在部分3.，我们介绍了包含两个任意函数的算法和主非线性二阶微分方程，必须解决。在部分4.，我们在任意功能方面提出了新的精确解决方案。在部分5.，我们举例说明一个符合扁平度量的示例，显示部分生成的积分4.可以明确评估。在部分6.，总结了本文得到的结果。

2.该模型

我们正在强引力场中建立高密度相对论恒星内部的模型。各向同性坐标下的内部时空线元有如下形式: 在哪里和是表示重力势的任意函数。天体物理学中的中子星等相对论性致密物体就是用这种线元来描述的。恒星内部的能量动量张量具有完美流体的形式 在哪里是能量密度和为各向同性压力。这些量是相对于类时间单位四速度来测量的（)．

Einstein字段方程（1） 和 （2）有表单 在各向同性的坐标。素数表示对径向坐标的微分．等同于等同（3B.） 和 （3C)，得到了压力各向同性的条件 这是主方程需要积分才能得到场方程的精确解。

可以写出系统(3A） - （3C）通过引入新的变量以等同的形式。我们利用了一项经证实的转型，这些转变在相对论的恒星物理中有所帮助。我们介绍了新的变量

上述转换首先是由Kustaanheimo和Qvist提出的[11.］．在施加转变时（5.）在（3A） - （3C)，得到等效方程组

我们注意到（6A） - （6C.)都是高度非线性的和．在该系统中，有三个独立的方程和四个未知数那那,．所以我们需要选择功能形式或为了整合和获得精确的解决方案。转换的价值（5.）在减少压力各向同性的情况下突出显示。等同于等同（6B.） 和 （6C.),我们得到 这就是压强各向同性的新条件它有一个更简单的紧凑形式。

3.算法

可以从给定的种子指标找到Einstein方程的新解决方案。该过程的实例是在Chaisi和Maharaj的处理中给出的[9.]和Maharaj和Chaisi [10.］．他们从给定的种子各向同性度规在史瓦西坐标中发现了具有各向异性压力的新模型。我们的目的是根据各向同性线元(1)．

我们可以通过生成一个从给定解生成模型的新算法来为爱因斯坦场方程提供一些新的精确解。我们假设已知这种形式的解， 以便 持有。我们寻求一个新的解决方案给予 在哪里和是任意的函数。用(9.) (7.）， 我们获得 它是由两个任意函数给出的和．然后意识到是（7.)及使用(8.），我们获得降低的结果

我们需要展示功能的存在和满足(11.)．一般来说，难以整合（11.），因为它以两个是非线性的任意函数给出。

4.新的解决方案

我们考虑了几例（11.）我们能够完成整合。

4.1。被指定了

我们可以整合（11.） 如果都是确定的。举个简单的例子．然后 （11.)成为 这是非线性的．这是一个第一阶Bernoulli方程．我们可以改写(12.）在表格中

可以将(13.，因为它是线性的获得

我们可以正式整合（14.)获取函数作为 在哪里和是任意常量。

那么新的解决方案(7.）有表单 因此，我们已经表明，如果一个解决方案对于已知的场方程，则有新的解是（谁）给的 （16A） 和 （16B.)．

4.2。被指定了

我们也可以整合（11.） 如果都是确定的。作为另一个简单的例子，我们采取了．然后 （11.)成为 这是非线性的．这是一个第一阶Bernoulli方程．微分方程(17.）有类似的形式（12.节)4.1．按照相同的程序，我们得到 在哪里和是任意常量。

然后另一个新的解决方案(7.） 是（谁）给的 因此，我们已经确定了一个解决方案对于已知的场方程，则有新的解是（谁）给的 （19A） 和 （19B.)．注意(19A） 和 （19B.）与（16A） 和 （16B.)．

4.3。

我们可以整合（11.）如果功能之间的关系和存在。我们假设这一点说明了这个特征 在哪里是一个任意常数。然后 （11.)成为 这是一个第一个订单Bernoulli方程．为了方便，我们让 所以我们可以写（21.), 这是线性的．我们整合（23.)获得

我们现在正式整合（24.)获得 在哪里和是常数。

我们现在有一个新的解决方案（7.）给出 在哪里和给出（22.)．因此，我们已经证明了，如果解决方案指定了字段方程，然后是新解决方案由（26A） 和 （26B.)．

一些与（26A） 和 （26B.）应该指出。这些涉及那那．我们依次考虑。

案例I. ．和，我们发现(26A） 和 （26B.） 变得 这是一个简单的形式。

案例二世 ．如果我们设置， 然后 （26A） 和 （26B.） 变得 这是另一个简单的案例。

案例3 ．如果， 然后 （26A） 和 （26B.）无效。对于这种情况，（11.)成为 什么时候那是恒定的，然后也是不变的（20.）;然后， （7.)不能产生新的解决方案，因为(9.)．什么时候不是恒定的，然后我们可以集成（29.）生产解决方案 在哪里是一个常数。因此生成另一个新解决方案(11.)．

5.例子

我们通过一个具体示例来显示一节中生成的积分4.可以用初等函数求出场方程的一个新的精确解。在我们的例子中，我们选择 则相应的线素由 这是一个圆形的平面。度量的能量密度（32.)是常数，所以我们得到了各向同性坐标下的史瓦西内解。

在一般相对论的环境中，共形平坦的度量在引力物理学中是重要的。例如，它们出现在辐射星的引力塌陷中，如Herrera等人的治疗所示。[12.， Maharaj和Govender [13.]，Misthry等人。[14.和abebe等。[15.］．供选择(31个） 和 （31 b），我们发现（27A） 和 （27B.） 变得

积分（33A） 和 （33B.）可以评估并获得 在哪里和我们已经设置了 因此已知的解决方案在(31个） 和 （31 b）产生新的解决方案在(34A） 和 （34B.)．新解决方案的线元素具有以下形式 在哪里是（谁）给的 （35.)．因此，我们的算法产生了一个新的(非保角平坦)解爱因斯坦场方程。这是由种子共形平面模型生成的。

6.结论

我们现在评论了示例的物理属性。我们已经为能量密度产生了绘图， 压力以及《人物》中的声速1那2,3.， 分别。这些图形图表明了和是积极的，表现良好。声音的速度小于因果关系所需的光速。因此，本文呈现的算法产生了物理上合理的新解决方案。

我们生成了一个算法，从给定的种子度量产生一个新的解的爱因斯坦场方程。我们观察到结果模型包含各向同性压力，这与Chaisi和Maharaj的方法不同[9.]和Maharaj和Chaisi [10.];在治疗中，新模型具有各向异性压力。我们方法的另一个优点是在配方中使用各向同性坐标，所述压力各向同性的条件。由于以前的治疗主要利用规范坐标，这可能导致对重力行为的新见解。该算法在包含任意功能的积分方面产生了新的解决方案。我们已经示出了借鉴了扁平度量，可以根据基本功能来评估这些积分。此示例表明我们的方法可以扩展到其他物理相关的指标。

致谢

S. A. Ngubelanga感谢国家研究基金会和Kwazulu-Natal大学进行财政支持。S. D. Maharaj承认这项工作基于科学技术部和国家研究基金会南非研究主席倡议的研究。

参考文献

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