周期输入分数阶振荡方程的周期解

摘要

研究了具有周期输入的分数阶振动方程的周期解。取分数阶导数算子为，初始时间是；因此，在当前分数振荡方程的模型中不需要初始条件。随着谐波振荡的输入，求出的解决方案是时间的周期性函数T.具有与输入相同的圆形频率，解决方案的频率不受系统频率的影响C正如整数案例中受影响。这些结果类似于在整数案例中具有定期输入的阻尼振荡的情况。讨论了周期性解决方案的性质，并引入了分数谐振频率。

1.介绍

分数微积分已经用于不同科学领域出现的真正问题的数学描述。它涵盖了粘弹性，异常扩散，反馈放大器分析，电容器理论，断裂，广义分压器，电极电解质界面模型，分数多元化器，实验数据的拟合等，以及[1-5.］．科学家和工程师意识到一些现象的描述在使用分数衍生物时更准确。近年来，甚至甚至是幸福的分数级型号[6.] 和爱 [7.]已经开发出来，他们被声称提供比整数动态系统方法更好的代表性。

分数差分和整体运算符已广泛应用于粘弹性领域[8.］．使用分数微积分对粘弹性材料的数学建模是非常自然的。理论开发的主要原因是各种工程领域的聚合物广泛使用。

分数微分方程解决方案的存在性和唯一性的定理已经介绍在[1那2那9.那10.］．分数微分方程的理论和应用很大程度上[1-5.那11.-17.］．Caputo引入并讨论了分数阶振荡方程[18.Pagley和Torvik [19.]，Beyer和Kempfle [20.凯马岛[21.]，gorenflo和mainardi [22.]，和别的。

研究了分数振荡器和分数动力系统23.-28.］．Achar等人。[23.和al -rabtah等人[24.]研究了分数振荡器的响应特性。李等人[25.]考虑了一类分数振荡器的脉冲响应和稳定性行为。Lim等人。[26.]建立了分数振子过程与相应的分数布朗运动过程之间的关系。林志荣及张志贤[27.[将分数振荡器工艺作为具有两个分数令的随机微分方程的解决方案。李[28.[提出了一种通过使用分数顺序的频率响应来近似理想滤波器的方法。

让在上分段连续并在任何Subinterval上排列．的黎曼-刘维尔分数积分被定义为[1-4.] 在哪里是欧拉函数。

让在上分段连续并在任何Subinterval上排列．的Caputo分数阶导数订单那，被定义为[1-4.]

众所周知，分数振荡方程没有定期解决方案[21.那22.那29.那30.］．周期性解决方案的存在通常是动态系统中的所需性质，构成动态系统理论中最重要的研究方向之一。在[中的分数级微分方程的加权伪周期性解的存在已经研究过[31.］．

在这项工作中，我们考虑使用分数衍生算子的周期性输入的分数振荡方程．我们将获得此等方程式的定期解决方案并讨论其属性。由于我们不考虑初始值的影响，因此可以将周期性解决方案视为具有初始条件的分数振荡的渐近稳态解决方案。

对于具有周期输入的经典无阻尼振荡我们如下清单解决方案。(我)如果那（ii）如果那

在下一节，作为比较，我们用分数阶导数算子解分数阶振荡方程具有定期输入和初始条件。在部分3.，我们用分数阶导数算子考虑分数阶振荡方程使用周期输入。

研究了线性分数阶微分系统的周期问题。对于非线性分数阶微分系统，这一问题更加具有挑战性，并作出了一些贡献。例如，李和马[32.]给出了非线性分数阶系统的线性化和稳定性定理。

2.具有周期性输入和初始条件的分数振荡方程

在本节中，我们用周期性输入和初始条件解决了分数振荡方程的拉普拉斯变换7.）给予在哪里表示拉普拉斯变换解收益率应用拉普拉斯逆变换，我们得到在哪里表示mittag-leffler函数[1那21.那22.] 和表示拉普拉斯卷积拉普拉斯变换公式[1] 用来。自从卷积在（14.）也可以表示为以下逆拉普拉斯变换：

在图中1，的曲线相对在间隔为了，和被绘制了。为了与之比较在（5.），我们也绘制了曲线相对和相对为了和在图1．我们观察到越来越多，分数振荡更相对于功能而不是函数．这意味着在分数案例中，自然频率的效果系统的流逝消失，它显示了一个阻尼特征并且与整数案例不同（5.)．

在图中2，的曲线相对在间隔为了和被绘制了。为了与之比较在（6.），我们也绘制了曲线相对为了在图2．

mittag-leffler在（12.）具有以下渐近行为[1]：

三个Mittag-Leffler函数中没有一个（12.）是定期的。数值模拟显示卷积在（17.）也是没有定期的。

如果，mittag-leffler在（12.）变得

在这种情况下，计算卷积对于这两种情况和，我们获得古典结果（5.）和（6.）从（12.)．

但对于分数案，，mittag-leffler函数在（17.）渐近地接近作为,所以以占领子为主作为．

我们注意到，在正确的时刻选择正确的脉冲是有可能得到脉冲分数阶动力系统的精确周期解的[29.］．

3.分数振荡方程的周期解衍生

我们考虑使用分数衍生算子的分数振荡方程：方程(20.）不需要遵守初始条件，其解决方案是稳态的。

我们使用以下傅里叶变换及其逆：和傅里叶变换公式[1那33.] 在哪里是狄拉克函数。

我们重写了（20.）作为复杂的指数函数并首先解决方程解决方案的真实部分（23.）是（20.)．将傅里叶变换应用于(23.）我们获得我们解出那计算逆傅里叶变换引线然后取(的实部)26.）并获得（20.）：

明显地，（27.）表示具有与输入相同的圆形频率的周期性解决方案．此外，（27.）可以作为表格重写相位角在哪里幅度是

曲线相对为了，和不同和曲线相对为了和不同的在图中绘制3.和4.，分别。

订单的影响输入圆频率在幅度上很有意思。曲线相对为了而且，不同和曲线相对为了，和不同在图中绘制5.和6.，分别。

类似于在整数案例中具有周期性输入的阻尼振荡，我们观察到曲线相对有一个峰值。此外，幅值对频率的导数计算为卖，我们获得对于每个指定的那,振幅最大限度，什么时候．我们称之为分数谐振频率。从（32.)共振频率从0单调地增加到增加的从1到2.曲线相对为了在图中绘制7.．

计算最大幅度它遵循（33.）那振幅的表面为了如图所示8.．

4。结论

具有谐波周期性输入的分数振荡方程被认为是分数衍生算子和，分别。对于后一种分数振荡方程，导出了具有与输入功能相同的圆频的周期性解决方案。该解决方案类似于在整数箱中的周期性输入的阻尼振荡的情况，并且发生分数谐振频率。分数振荡方程的解决方案的频率不受系统频率的影响．结果表明，分数振荡方程代表阻尼特征。我们对订单的影响进行了详细的分析输入圆频率在振荡幅度上．可以将周期性溶液视为具有初始条件的分数振荡的渐近稳态解决方案。

承认

该工作得到了中国国家自然科学基金（第11201308号）和上海市教育委员会的创新计划（第161号）的创新计划。

参考

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数学物理进展

分数顺序的动态过程和系统

摘要

1.介绍

2.具有周期性输入和初始条件的分数振荡方程

3.分数振荡方程的周期解衍生

4。结论

承认

参考

版权

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