中性温和解半线性随机功能动态系统与当地Non-Lipschitz系数

文摘

半线性随机动态系统通常可分希尔伯特空间模型中的一些进化现象出现在物理和工程。在本文中,我们研究中性温和解的存在性和唯一性半线性随机功能动态系统在当地non-Lipschitz条件下的系数通过停止时间的技术。我们特别推广和改进的结果出现在Govinadan(2005),包和侯(2010),江和沈(2011)。

1。介绍

半线性随机动态系统通常可分希尔伯特空间模型中的一些进化现象产生的物理、生物工程、等等(1]。最近,情况系数满足全局李普希兹条件和线性增长条件,许多已知结果(1- - - - - -3]。不过,全球李普希兹条件,甚至局部李普希兹条件,似乎相当强大当一个讨论变量在现实世界中的应用。文献[4]讨论了温和解的存在与non-Lipschitz系数中立的半线性随机功能系统。文献[5]讨论了解决方案的存在性和唯一性一类具有无穷时滞中立型随机功能局部李普希兹条件下在欧几里得空间。

我们专注于中性半线性随机功能动态系统的情况下,系数不一定满足全局李普希兹条件。因此我们研究中性温和解的存在性和唯一性半线性随机功能系统的条件下,由[调查6- - - - - -8]随着Caratheodory-type条件强大的解决方案。出于以上的论文,在这篇文章中,我们将扩展温和解的存在性和唯一性(2)向当地non-Lipschitz non-Lipschitz条件下条件。

本文的其余部分组织如下。节2,我们介绍一些开场白。节3我们证明温和解的存在性和唯一性。

2。预赛

在本文,我们是一个完整的概率空间正常过滤令人满意的(即通常的条件。,it is increasing and right continuous while包含所有空集)。此外,让是两个真正的分离希尔伯特空间,我们表示内心的产品他们的向量规范,分别。我们表示,表示所有有界的线性算子的空间成,配备通常的操作规范。在本文中,我们总是使用相同的符号运营商不管空间的表示规范可能涉及在没有可能出现混乱。让和表示所有连续的家庭价值函数从来与规范。在这里让几乎是所有的家庭肯定有界,可衡量的、连续的随机变量来。

让表示重视维纳过程概率空间上定义与协方差算子;也就是说,,尽管,在那里是一个积极的、自伴的跟踪类操作符。特别是,我们表示一个有价值的维纳过程有关。定义随机积分的维纳过程,我们介绍了子空间的赋予了内积是哪一个,是希尔伯特空间。我们假设存在一个完整的正交系统在有界序列的非负实数这样,一个序列独立的布朗运动等 和,在那里是代数生成的。让是所有Hilbert-Schmidt运营商的空间来。原来是一个可分离的希尔伯特空间配备标准对于任何。显然,对于任何有界的运营商这个标准降低了。

假设是一个解析半群的无穷小发电机吗;与半群理论相关的文献,我们建议Pazy [9]。我们假设溶剂的。对于任何,可以定义部分权力这是一个封闭的线性算子及其域。

考虑下面的中性半线性随机功能系统: 在哪里可以视为一个有价值的随机过程;都是波莱尔可测;是一个解析半群的无穷小发生器有界的线性算子,在。

定义1。一个过程,称为一个温和的解决方案(2)如果(我) 是适应与其子as。(2) cadlag路径在其子as。:为每个满足的积分方程, 对于任何。

为了保证温和解的存在性和唯一性(2),在较弱的条件下,而不是non-Lipschitz条件,。(H1) 是一个解析半群的无穷小发生器有界的线性算子,在,是一致有界的,对于一些常数。(H2)(一)存在一个函数这样局部可积的对于任何固定连续的单调不减少的和凹对于任何固定。此外,对于任何固定的和,下面的不平等是满足: 为任意常数(b)微分动力系统 全球解决方案有一个初始值吗。(H3)(一)存在一个函数这样局部可积的对于任何固定连续的单调不减少的和凹对于任何固定。对于任何固定。此外,对于任何固定的和,下面的不平等是满足: 为任意常数(b)如果一个非负函数满足, 然后适用于任何。(H4)存在很多和积极的这样,对于任何和和 此外,我们假设。

备注2。让,在那里局部可积,是一个凹不减少的函数来这样为,。然后比较定理的微分动力系统,我们知道假设(- b)。

现在让我们给出一些具体的例子的函数。让,让是足够小。定义 在哪里表示函数的导数。他们都是凹不减少的功能满意。特别是,我们发现李普希兹条件(3)和non-Lipschitz条件(4)特殊情况我们提出的条件。

为了显示我们的主要结果,我们需要下面的引理。

引理3(见[9])。如果(H1)持有那么,对于任何(我)为每一个, (2)存在积极的常量和这样

3所示。温和解的存在性和唯一性

在本节中,我们将建立温和解的存在性和唯一性。当系数和满足全球李普希兹条件和线性增长条件,(7,8]讨论了温和解的存在性和唯一性随机微分动力系统。在[10的存在性和唯一性,温和的解决方案(2)non-Lipschitz条件下给出如下。

定理4。如果(H1)- - - - - -(H4)坚持一些,那么存在一个独特的温和的解决方案(2),提供 在哪里定义在引理3。

备注5。如果为一个常数,那么条件(H3)意味着一个全局李普希茨条件,这是研究[3]。在备注2,如果,它是研究(4]。因此,有些结果(3,4改进和推广。

现在,我们将取代(H3)由以下本地non-Lipschitz条件。 (一)任何整数存在一个函数这样局部可积的对于任何固定连续的单调不减少的和凹与。此外,对于任何固定的和与,下面的不平等是满足: (b)为任意常数如果一个非负函数满足, 然后适用于任何。

注6。方程(13)是一个泛化的局部李普希兹条件。是这种类型的本地non-Lipschitz条件的更广泛的应用。

定理7。如果(H1), (H2), ,和(H4)坚持一些,那么存在一个独特的温和的解决方案(2),提供 在哪里定义在引理3。

证明。对于任何定义截断函数和如下: 然后是函数和满足(H2)和
由定理4,存在独特的温和的解决方案和以下分别随机系统:
定义的停止时间。回想一下,,,。因此,对于一些,
我们从(H4),
应用持有人不平等,(H4)和引理3,我们有
为,我们看到,和。因此,通过()和詹森不等式,我们获得
由(),刘1,定理页面14]和詹森不等式,存在一个正的常数这样
从(19)- (23),选择我们有
由(22)和Gronwall不平等,存在一个常数这样
由(- b),我们有 这意味着这,我们获得
为每一个存在一个这样。定义通过。自,那么我们就有
让,
因此我们有是一个温和的解决方案(2)。证明已经完成。

4所示。结束语

摘要通过停止时间的技术,存在唯一性的条件,以确保温和中立的半线性随机功能动态系统的解决方案在当地non-Lipschitz条件下,这是一个泛化的局部李普希兹条件。分市场的结果(8,10]。

确认

基础研究基金支持的工作是中央大学拨款2722013 jc080之下,中国博士后科学基金资助项目资助2012 m511615,中国湖北省自然科学基金和中国的国家科学基金会。