文摘
本文的主要目的是探讨亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集涉及当地分数微分算子。的Cantor-type圆柱坐标方法应用于处理相应的局部分数微分方程。亥姆霍兹和扩散方程的两个说明性的例子所示的康托尔集利用Cantorian和Cantor-type圆柱坐标。
1。介绍
欧几里得空间中,我们看到几个有趣的物理现象,利用微分方程的不同风格的平面、柱面、球面几何图形。有许多模型各向异性完全匹配层(1)、等离子体源离子注入(2在电磁学[],部分范例和中间区域3,4],融合[5),无反射海绵层(6],time-fractional热传导[7],奇异边值问题[8]等等(参见参考文献引用的这些作品)。
亥姆霍兹方程应用于处理问题等领域的电磁辐射,地震学、传输、和声学。Kreß和蟑螂9讨论了亥姆霍兹方程的传输问题。Kleinman和蟑螂10)研究三维亥姆霍兹方程的边界积分方程。卡拉吉奥吉斯(11提出了亥姆霍兹方程的特征值。Heikkola et al。12)考虑并行虚拟域三维亥姆霍兹方程的方法。傅和色差13)建议非齐次亥姆霍兹方程的体积积分。撒母耳和托马斯(14提出了分数亥姆霍兹方程。
扩散理论越来越有趣的和潜在的有用的固体(15,16]。一些应用程序的物理,如超导合金(17],晶格理论[18],并在浑浊的光扩散材料[19),被认为是。分数微积分理论(见[20.- - - - - -28])在工程应用于模型的扩散问题,和部分讨论了扩散方程(见,例如,(29日- - - - - -36])。
最近,当地的分数微积分理论被应用到流程在分形域nondifferentiable现象(见[37- - - - - -48)和引用文献在其中)。有一些地方分级模型,如当地和实验所得到分数(37),当地部分应力-应变关系38),当地部分热传导方程(45),波方程在康托尔集47),和当地部分拉普拉斯方程(48]。
本文的主要目的是在数学结构的亥姆霍兹和当地的分数导数和内扩散方程提出的形式Cantor-type圆柱坐标通过Cantor-type圆柱坐标方法(46]。
我们现在调查结构如下。节2亥姆霍兹方程,与当地研究分数阶导数的康托尔集。康托尔集上的扩散方程基于当地部分矢量计算的结构部分3。亥姆霍兹和扩散方程在Cantor-type圆柱坐标进行了研究4。最后,给出的结论部分5。
2。亥姆霍兹方程的康托尔集
为了推导出亥姆霍兹方程在康托尔集,如果当地的分数导数的定义是通过43- - - - - -46] 与 然后在康托尔集波动方程提出(44), 地方分数拉普拉斯算子是由(43,44,48] 在哪里是一个常数,当地部分连续条件(见[感到满意47])。
nondifferentiable函数使用分离变量,首先假设分形波函数可能是可分的,即 我们有 这样 在三维Cantorian坐标系,通过遵循(7),我们有 当地运营商是分数导数算子。
对二维Cantorian坐标系,当地部分给出了齐次亥姆霍兹方程 的分形维数,(9)成为 这是经典的亥姆霍兹方程(10]。
鉴于(9),非齐次亥姆霍兹方程读取如下: 在哪里是一个当地的分段连续函数。
在二维Cantorian坐标系统,(12),当地部分可以提出的非齐次亥姆霍兹方程 在哪里是一个当地的分段连续函数。
我们注意到部分亥姆霍兹方程应用于处理可微的波方程(14]。然而,亥姆霍兹方程与当地分数导数出现在物理问题等领域,例如,分形电磁辐射、地震学、和声学,因为他们的波函数是当地的分段连续函数(nondifferentiable功能)。因此,康托集的亥姆霍兹方程可以用来描述分形电磁辐射,分形地震学、分形音响、等等。
3所示。扩散方程在康托尔集
在本节中,我们推导出扩散方程在康托尔集与当地部分向量微积分(44]。
让我们回忆起菲克定律在当地的分数阶导数,提出 在哪里和是地方分段连续函数。
注意到,扩散通量的材料分形系统的任何部分当地部分密度梯度成正比。如果扩散系数是恒定的,当地部分菲克定律被认为是(44] 这是表示为(44] 在当地部分向量积分的定义是(44] 与元素的面积单位法当地部分向量,作为为,在当地传播材料的密度分级。
质量守恒定律在当地部分向量算子提出了(44] 当地部分体积积分是由(44] 与体积元素作为为。
后(18),并通过使用当地分数场的散度定理(44),我们有 在哪里扩散通量的材料在当地部分字段。
提交(14)(20.),我们得到 这是所谓的扩散方程在康托尔集。这个结果与部分扩散方程(29日- - - - - -36]。
的扩散系数,(21)成为 后的三维Cantorian坐标系(22),我们有 在二维Cantorian坐标系中,我们得到的 在一维Cantorian坐标系统,我们获得48] 我们注意到,当分形维数= 1,得到经典扩散方程(15,16]。然而,康托尔集上的扩散方程与当地分数导数是来自当地的部分领域,其数量是地方分段连续函数。
4所示。的Cantor-Type圆柱坐标方法对亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集
让我们考虑Cantor-type圆柱坐标,读起来如下: 与,,,。
我们现在有一个由当地部分向量 这样,46] 在哪里 提交(29日)(9)和(12),它的收益率 亥姆霍兹方程在Cantor-type圆柱坐标。
以类似的方式,从(23),我们得到 扩散方程在Cantor-type圆柱坐标。
5。结束语和观察
在目前的工作中,我们推导出亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集Cantorian坐标,这是基于当地的分数微分算子。通过应用Cantor-type圆柱坐标的方法,我们也调查了亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集Cantor-type圆柱坐标。此外,我们提出了两个实例说明相应的分数亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集使用Cantorian和Cantor-type圆柱坐标。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持的(没有。11102181)和部分由河北省自然科学基金(没有。A2012203117)。