三次费雪方程的一般行波解

摘要

我们采用复杂的方法来研究Fisher方程与三级的完整性。我们获得了具有三级和三个具有三级的第三学位的Fisher方程的完全和必要条件，具有三级的可集中渔业方程式的一般纯溶解，这提高了冯和李（2006），郭和陈（1991年）获得的相应结果），Angaırseven和Öziş（2010年）。而且，所有是具有三级的Fisher方程的新一般亚纯解决方案．结果表明，复变方法为求解数学物理中大量的非线性偏微分方程提供了有力的数学工具。

1.介绍及主要结果

考虑Fisher方程 哪一个是作为具有优势选择强度的突变基因传播模型的非线性扩散方程．渔民建议是1936年人口中群体中受欢迎基因空间传播的时机模式的确定性版本。

放和去掉质数;（1)成为 替代行驶波变换那到(2），它给出了非线性常微分方程 在哪里是一个常数。

求解非线性模型是一项艰巨而富有挑战性的任务。

2005年和2009年，冯等人。[1那2]提出了一种构造非线性发展方程显式精确近似解的解析方法。利用这种方法，显式地得到了Kuramoto-Sivashinsky方程和Benny方程的一些新的行波解。这些解包括孤立波解、奇异行波解和周期波解。这些结果表明，在某些情况下，它们的解析方法是获得各种非线性发展方程行孤立波解的有效方法。它也可以应用于一些相关的非线性动力系统。

2010年和2011年，Demina等人[3.-5.]研究了自治非线性常微分方程的亚纯解。提出了一种构造显式亚纯解的算法。研究了一类自治非线性常微分方程的亚纯解(包括有理解、周期解、椭圆解)的一般表达式。

近年来，复合法被Yuan等人引入[6.-8.］．

最近，袁等人[9.]采用复形法求得(3.）。为了说明我们的结果，我们需要一些概念和符号。

纯粹的函数意思是在复平面上是全纯的吗除了两极。表示由Weierstrass椭圆函数与不变和．我们说一个纯粹的函数属于这个类如果是椭圆函数，还是有理函数那，或合理的功能．

定理1。方程(3.)是可积的当且仅当．此外，(3.)有下列形式。(我)(见[6.),当，椭圆通用解决方案（3.） 在那里,那那和是任意的。特别是，它退化了简单的定期解决方案 在哪里那．(2)(见[10.),当，（3.） 这两个和任意常数。特别地，它退化了解的一个参数族 在哪里．(3)(见[9.),当，（3.） 这两个和任意常数。特别地，它退化了解的一个参数族 在哪里．

备注2。费雪方程是非线性反应-扩散方程的一个经典和最简单的例子，但它有许多应用，许多作者一直在研究它(cf. [11.])。Ablowitz和Zeppetella得到了Fisher方程行波解的第一个显式形式[10.使用Painleve分析。

本文考虑了具有三次的Fisher方程 在哪里是一个常数。

我们的主要结果是下面的定理。

定理3。方程(10.)是可积的当且仅当那．此外，(10.)的形式如下。(我)(见[12.),当，椭圆通用解决方案（10.） 在哪里和是任意的。特别是，它退化了简单的定期解决方案 在哪里．(2)当，（10.） 在哪里维尔斯特拉斯是椭圆函数吗和任意常数。特别是,退化解的一个参数族 在哪里．

备注4。费雪方程是非线性反应-扩散方程的一个经典和最简单的例子，但它有许多应用，许多作者一直在研究它(cf. [13.])。许多作者只获得通过使用其他方法（CF. [13.])。而且，所有是具有三级的Fisher方程的新一般亚纯解决方案．

备注5。每个的生长顺序是无限的。

本文的组织结构如下。节2，给出了初步引理和复形方法。定理的证明3.的一般亚纯解10.）通过部分中的复杂方法衍生3.．最后给出了一些结论和讨论。

2.初步引理与复形法

为了给我们的复杂方法和定理证明1，我们需要一些符号和结果。

放那那那．我们定义一个微分单项，用 和叫度．微分多项式的定义是 在哪里是常数,是一个有限指标集。总度定义为．

我们将考虑下列复常微分方程: 在哪里那是常数,．

让．假设(17.）有一个纯粹的解决方案至少一根杆;我们说（17.)满足弱条件if通过替换Laurent级数 到(17.），我们可以确定下面的独特奖项奇异部分

为了给出椭圆解的表示，我们需要一些关于椭圆函数的符号和结果[14.］．

让那是两个给定的复数那是离散的子集，它同构于．的判别和

Weierstrass椭圆函数是一个双倍时期的亚纯函数那满足方程 在哪里那和．

引理6（见[14.那15.])。Weierstrass椭圆函数有两个逐次简并和加法公式。(我)简并到简周期函数(即单指数有理函数))根据 如果一个根是双人间．(2)有理函数的简并性根据 如果一个根是三倍．（iii）加法公式

在证明主要结果的过程中，下列引理是非常有用的，它们可以由[12.］．

引理7(参见[12.])。微分方程 有带极点的椭圆解和简周期解吗 分别在哪里维尔斯特拉斯椭圆函数具有和任意的。

LEMMA 8（见[12.])。微分方程 有带极点的椭圆解吗 在哪里维尔斯特拉斯椭圆函数具有和任意的。

根据上述引理和结果，我们可以给出一个求解偏微分方程精确解的新方法，即复变法。

步骤1。替换变换那进入给定的PDE给出非线性常微分方程（17.）。

步骤2。替代(18.) (17.）确定弱者条件保持并通过Painlevé测试(17.）。

第3步。找到纯粹的解决方案的 （17.)用杆子,积分常数。

第四步。通过引理的加法公式6.我们得到了一般的亚纯解．

第5步。代入逆变换进入这些纯粹的解决方案，然后我们得到了所有精确的解决方案原给定偏微分方程的。

3.定理的证明3.

证明。用(18.) (10.)我们有那那那那那,
劳伦扩张（18.)有效满足这个方程是任意常数。因此,．对于他人有必要在展开中加上对数项，从而得到一个分支点而不是极点。
为了,(10.）通过标准技术完全可集成，并且解决方案在椭圆函数方面是表示的（CF. [12.])。也就是引理马斯6.和7.，椭圆通用解决方案（10.） 在哪里和是任意的。特别是，它退化了简单的定期解决方案 在哪里．
为了，我们转换(10.)，代入第二个Painlevé类型方程。这样我们就得到了通解。
设置那代入费雪方程(10.），我们获得了方程式是 如果我们把和这样 然后(32.） 为了可积。由(33.),一个人和 在哪里那．
因此,(32.)减少
两个前题6.和8.给予（35.）是表单 在哪里Weierstrass是椭圆函数吗和是两个任意常数。
因此,当通过引理6.，（10.） 这两个和任意常数。特别是，通过引理6.和那退化解的一个参数族 在哪里．

4。结论

复杂的方法是找到非线性演化方程的精确解的一个非常重要的工具，并且通用FISH方程是非线性反应扩散方程的最简单情况。在本文中，我们采用复杂的方法来研究三级Fisher方程的完整性。我们获得了具有三级的渔民方程的完全和必要条件，以及具有三级的可集成的Fisher方程的一般纯溶液，其提高了冯和李获得的相应结果[11.，郭和陈[16.，以及Ağırseven和Öziş [13.］．而且，所有是具有三级的Fisher方程的新一般亚纯解决方案．结果表明，复变方法为求解数学物理中大量的非线性偏微分方程提供了有力的数学工具。

致谢

作者在南开大学陈数学研究所作访问学者时，获南开大学陈数学研究所访问学者资助。国家自然科学基金项目(11271090,11101048,11171184)，广东省自然科学基金项目(S2012010010121)，上海大学青年教师培养计划项目(ZZSDJ12020)，上海电子科技大学重点学科项目(10XKJ01, 12C401, 12C104)资助。

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