在分数阶非线性动力学和混乱Hopfield神经网络延迟

文摘

与延迟一个分数阶two-neuron Hopfield神经网络,提出了基于经典知名Hopfield神经网络的复杂动力学行为,并进一步研究了这样一个网络。各种各样的有趣的动力学现象,包括single-periodic、多周期和混沌运动,发现存在。混沌吸引子的存在,验证了分岔图和相图。

1。介绍

微分和积分分数微积分,主要处理任意的顺序,首先介绍了300年前。然而,直到最近几十年,分数微积分应用于物理学和工程(1- - - - - -3]。分数阶模型的主要优势与integer-order同行相比,部分衍生品提供一个很好的工具在内存和遗传特性的描述各种流程。广义分数微积分,电容器,称为“fractance”,通常被认为是主要的运营商。它实际上是一个电路中电压和电流有关,分数阶微分方程4]。

混沌理论在各领域进行了广泛的调查研究后第一次观察到洛伦兹系统的混沌吸引子。最近,研究分数阶系统的复杂动力学行为已成为一个热门研究课题由于分数阶系统显示更高的非线性和多自由度模型,因此分数阶混沌系统被认为有潜力的能力提高混沌通信系统的安全(5]。已经知道混乱在许多知名integer-order混沌系统仍将当订单部分,和大量的分数阶混沌系统提出了结果(6- - - - - -14]。此外,混乱的行为也被发现存在于一些不连续系统与部分衍生品(15]。然而,值得注意的是,上述分数阶混沌系统是时滞系统。

另一方面,延迟的动态神经网络(款)与传统integer-order衍生品在理论和应用中都已经被广泛地研究过了。(16- - - - - -25]。据报道,款可以显示相当丰富的动力学行为。陆为例,研究了复杂动力学Hopfield-type款的两个神经元和得出的结论是,对于一个特定的系统参数,这样一个网络的确显示出混沌吸引子(23]。的复杂动力学delay-free Hopfield-type有四个神经元的神经网络进行了调查(24,发现现有超混沌吸引子的存在对一些特定的权重矩阵。混沌吸引子也存在延时细胞神经网络(25]。

然而,分数阶神经网络的动力学分析是一个非常最近的和有前途的研究课题。实际上,如果我们取代普通电容器integer-order Hopfield神经网络(HNNs)上述fractance,“我们获得的分数阶模型HNNs。把部分衍生品到网络建模是一个很好的提高。已经指出,部分分化为神经元提供了一个基本的和一般计算,有助于高效的信息处理26]。最近,一直在努力研究分数阶神经网络的复杂的动态。在[27),舞台等人首先介绍了细胞与分数阶细胞神经网络(CNN)。在[28),Petraš提出了一个分3个手机CNN展品极限环和稳定轨道不同的参数值。部分因子混乱CNN报道(29日)和相应的奇怪吸引子了。在[30.),一个分数阶4个CNN提出了显示和超混沌吸引子。在[31日),分数阶动力学delay-free HNNs,包括稳定和多稳定性、分岔,和混乱,进行了调查。

时滞是普遍存在在物理系统、控制系统和生物系统由于放大器的开关速度有限,有限的信号传播时间在生物网络,等等。混沌吸引子在分数阶时滞CNN分数阶时曾被观察到(32]。延迟动力学的分析取得了网络化控制系统(33]。不幸的是,小的努力一直致力于延迟分数阶神经网络的复杂动力学Hopfield-type迄今为止。这是一个新的课题,需要深入探讨。本文的主要目的是探讨复杂的分数阶动力学HNNs延时;各种各样的有趣的动力学行为,如周期和混沌将观察和时间延迟的影响也将被发现。混沌吸引子的存在,验证了分岔图和相图,分别。

本文的其余部分组织如下。节2部分衍生品、定义和修改数值算法求解延迟分数阶微分方程。节3与两个神经元,推迟了分数阶HNN算法。分岔分析部分4。最低的订单,以及最高秩序,混乱存在决定和时间延迟的影响。最后,一些结论报告部分5。

2。预赛和符号

有三种最常用的定义部分衍生品,也就是说,Riemann-Liouville Grunwald-Letnikov,卡普托的定义。卡普托定义的主要优势是,分数阶微分方程的初始条件与卡普托衍生品承担相同的形式对于integer-order微分方程(1]。因此,本文是基于人的定义。

定义1(见[1])。卡普托分数阶导数的秩序的连续函数定义如下: 在哪里是函数,

分数阶微分方程的数值计算(fd)不是这么简单的常微分方程(常微分方程)。由于分数导数算子的非局部特征,数值方法求解常微分方程满足解决fd必须修改。在[34,35),数值解fd方法提出了基于Adams-Bashforth-Moulton预估。此外,一个算法求解分数阶延迟微分方程(fdd)的形式提出了在36]。我们修改预估算法(36),这样它是适当的解决fdd的形式(3)如下。

考虑到fdd描述

应该注意的是,假设满足李普希兹条件对其第二和第三变量,分别和被认为是连续的(3),以确保解决方案的存在。更多细节,读者可以参考(37)和参考引用。

应用部分集成双方(3),我们得到

离散化(4)统一的网格,,在这和是整数,满足和。让 和表示

假设我们已获得的近似 ,现在我们希望计算通过使用

我们使用近似为在(7)。因此,修改后的预估算法可以提出如下: 在哪里 和的预测价值吗可由吗 在哪里

备注2。应该注意到的算法(36)可以用来计算fdd的形式,变量不显式地出现在右边函数。然而,当也是一个功能,即fdd所描述的,该算法提出了(36在这种情况下)无法使用。由于这个原因,我们修改算法,使其适用于解决fdd的形式(3)。请注意,(10)是必不可少地用来预测的价值作为。这是修改后的算法之间的主要区别,提出的算法在36]。

3所示。延迟的描述分数阶HNNs

在本文中,我们考虑到分数阶HNNs延时所描述的

在哪里表示卡普托分数导数的秩序,,和是实数,代表了时间延迟是外部输入。激活函数被选为,,是初始条件。

应该注意的是,什么时候,(12)是减少到古典integer-order HNNs推迟。这样一个网络的复杂动力学行为与两个神经元研究[23)和single-periodic、多周期和混沌运动已揭晓。在本文中,我们研究了分数阶的情况下,也就是说,复杂的动力学系统(12),两个神经元。

重写(12)成一个紧凑的形式 在哪里,,,,,

应该注意到,我们总是假设在本文的其余部分。

4所示。分岔和混沌在延迟分数阶HNN

我们首先解决系统参数的值(13), 和时间延迟。初始条件总是选为常数函数。平衡分计算数值,。在本节中,我们采用数值方法提出了部分2解决(13)。步长被选为和仿真时间选为1000。

当分数阶,图1(一)显示了两个不同的周期轨道初始条件的两组,和,为,分别。它可以很容易地发现从图1(一)一个周期轨道震荡平衡点;另一个平衡点附近振荡。与导数订单的增加,周期2轨道和第四期轨道出现。图1 (b)显示了两个不同时期二轨道与秩序和图1 (c)显示了两个单独的第四期轨道与秩序。如果我们继续增加导数的顺序,那么系统(13)开始表现出混沌行为。图1 (d)显示了两个单独的共存single-scroll混沌吸引子与秩序。应该注意的是,数字1 (b),1 (c),1 (d)承担相同的初始值,这些图1(一)。

如果我们进一步提高导数为0.92,两个独立single-scroll混沌吸引子合并成一个double-scroll混沌吸引子。图2(一个)显示了一个发育完全的double-scroll混沌吸引子与秩序并设置为初始条件,为。当导数订单增加,图2 (b)显示一个周期轨道的初始条件,为。也就是说,分数阶非线性系统的时间延迟,有可能是周期后,已经进入了混乱的领域。

我们总结认为病例数据1和2在表1。我们从表可以找到1当的值和固定的,系统(13)首先经历的过程增加了倍周期分岔在某种程度上,然后从障碍往往订购时的价值继续增加。这表明分数阶非线性系统的动态特性与延迟是完全不同于分数阶非线性系统没有延迟。

备注3。通常知道分数阶非线性系统混沌行为没有时间延迟是保存当阶导数大于某个值(称为最低订单)。然而,一个有趣的现象,延迟分数阶非线性系统中观察到的仿真;不同于分数阶系统没有延时,混乱的现象只存在一定间隔的导数顺序,也就是说,最高最低订单以及订单已发现存在,以确保发生混乱。只要阶导数是超越这两个界限,混沌吸引子将会消失。

为了证实的倍周期分岔过程,我们画的分岔图对导数的秩序。图3显示了分岔过程范围从来与。它可以从图确定3一个周期窗口时发现是关于。它证实了我们所观察到的数据1和2。

接下来,我们只修改的值和成调查的动力系统(13)。显然,平衡的系统(13)不改变。它可以很容易地看到系统订单的增加,系统(13倍周期分岔的经历类似的过程。

当系统订单,图4(一)显示了两个不同的周期轨道初始条件的两组,和,为,分别。数据4 (b)和4 (c)显示两个不同时期二和第四期轨道系统的订单和,分别。图4 (d)显示了两个单独的single-scroll混沌吸引子与导数秩序。应该注意的是,数字4 (b),4 (c),4 (d)承担相同的初始值,这些图4(一)。

还应该指出的是,另一个有趣的现象就是观察;,即使系统进入混沌的领域,如果我们继续增加分数阶,现在混沌吸引子的系统会表现出不同的模式。图5显示不同的充分发展double-scroll混沌吸引子与参数,当系统订单进一步增加。图5(一个)显示了一个double-scroll与分数阶混沌吸引子和初始条件,为。数据5 (b)和5 (c)显示两个混沌吸引子与分数阶关于原点对称的和初始条件,和,为,分别。图5 (d)显示另一个发育完全的double-scroll与分数阶混沌吸引子和初始条件,为。

同样的,我们总结认为病例数据4和5在表2。我们可以看到从表2当的值和固定的,系统(13)发生倍周期分岔和增加的过程然后是混乱的行为是保存虽然混沌吸引子的图案是不同的。

同样,为了证实的倍周期分岔过程,我们画的分岔图对衍生品订单。图6显示分岔过程当范围从来与,,这证实了我们所观察到的数据4和5。

5。结论

摘要复杂动力学行为的延迟分数阶Hopfield-type与两个神经元的神经网络详细调查借助数值模拟。不同种类的有趣的动力学行为,包括single-periodic、多周期,和double-scroll混沌吸引子,被发现。应该指出,不同于分数阶非线性系统没有延时,最高最低订单以及订单已发现存在,以确保出现的混乱。混沌吸引子的存在与分岔图和相图验证。分数阶混沌的小说提供了一种新的混沌发生器,可以应用在许多工程应用中,特别是在安全通信。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(61004078和61004078号),中国博士后科学基金资助的项目,为山东省博士后创新项目专项资金。

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