区间小波数值方法对福克尔普朗克方程的非线性随机系统

文摘

Fokker-Planck-Kolmogorov的FPK方程支配的概率密度函数(p.d.f)动态响应的线性或非线性系统的一个特定的类随机激励。一个区间小波数值方法(IWNM)提出了非线性随机系统使用间隔Shannon-Gabor小波插值算子。FPK方程非线性振子和时间和实验所得到分数作为例子来说明其有效性和效率。与常见的搭配小波方法相比,IWNM可以大大减小边界效应。与有限差分法相比,和实验所得到分数,IWNM显然可以提高计算精度。

1。介绍

描述了时间演化和实验所得到的概率密度函数的粒子的速度,并且可以推广到其他可见。这是命名Adriaan福克和马克斯·普朗克,也被称为柯尔莫哥洛夫方程(扩散),命名安德烈柯尔莫哥洛夫,他首先介绍了它在1931年的一篇论文。当应用于粒子位置分布,最好称为Smoluchowski方程。零扩散的情况是在统计力学中称为刘维尔方程。为了描述subdiffusive行为的综合影响下的一个粒子外部非线性力场和玻尔兹曼热浴加热,麦茨勒等人介绍了分数(FFPE)和实验所得到了服从广义爱因斯坦关系,及其固定的解决方案是玻耳兹曼分布(1]。

许多非线性随机响应计算方法已经开发的很多学者在很长一段时间。一种类型的方法,这些方法是扩散过程理论和和实验所得到的主要方法。在实践中,使用方法和实验所得到的最困难的问题是如何解决方程。对于一般的非线性系统,很难获得精确解。各种数值方法被用来和实验所得到解决,如加权剩余法(2),有限元法(3),路径积分方法(4)等等。伽辽金法和实验所得到的数值解固定由班达里和谢勒是基于以多个埃尔米特多项式为联合概率密度,但该方法的收敛速度缓慢的强非线性系统。基于伽辽金法、有限元法是由兰利和实验所得到的;这个方法是更有效的比伽辽金方法计算。这三种方法的常见问题是错误的尾巴和峰值响应分布较大。数值方法方法,弯矩方程方法,包括非高斯moment-cutting非线性随机振动的方法,开发了(5]。

最近小波分析越来越高度重视许多作者对于非线性动态系统,不仅对信号分析,还对发展新的数值方法计算部分差分方程。Bertoluzza和Naldi提出了小波配置法求解偏微分方程(61996年)。在这种方法中,Daubechies扩展函数的自相关函数作为权函数。Daubechies小波函数的自相关函数具有插值性质由于Daubechies小波的正交性性质。因此,数值解偏微分方程的离散格式,通过小波配置法,是一个偏微分方程的近似解。这个方法并不是类似于小波伽辽金方法,需要来回在小波系数的空间和物理空间之间。另一方面,Daubechies缩放功能和相应的小波函数没有显式表达式,限制其应用范围。Cattani Shannon小波函数的性质,研究具有正交性等许多优点,在连续的,和可微的。它也有优势的埃尔米特来说,这是一个插值函数,生成矩阵方程,有潜力成为相对稀疏。此外,一个C的二阶近似²函数,小波函数,基于香农(7]。比较近似小波重建公式和近似误差是显式计算(8]。香农小波的优点已经说明在解决pd工程(9- - - - - -11]。坎迪娅·迈克威廉et al。12]介绍了香农小波和实验所得到固定的搭配方法。香农扩展函数作为权函数在这个方法中,可以避免的缺点Daubechies小波插值等属性。基于该方法的理论,具体过程和实验所得到求解静止,在这种方法中,存在的问题的分析,提出了问题的补救措施。但香农小波没有紧凑支持属性,可以降低效率和计算精度。与香农小波函数相比,Shannon-Gabor小波(13,14)具有更好的紧凑支持属性,已广泛用于各种机械分析领域(15)包括解决FPK方程(16]。此外,施et al。17)中定义的Shannon-Gabor小波构造间隔基于拉格朗日插值理论,可以有效减小边界效应。

梅提出了区间小波的一般施工方法基于广义变分原理(18),把Shannon-Gabor小波为例,说明其正确性,已用来消除边界效应在解决pd等图像处理(19,随机分析20.,21),期权定价22),流体动力学(23- - - - - -26),和图像分割27]。本文的目的是构建一个区间Shannon-Gabor搭配小波方法在解决非线性振子和一次和实验所得到部分描述subdiffusive粒子的行为和实验所得到的综合影响下外部非线性力场和玻尔兹曼热热浴(28]。

2。Shannon-Gabor小波配置方法

2.1。建设的基函数

考虑一个一维函数。为了以香农标度函数为基本功能,在术语的多分辨率分析理论,函数需要在一系列离散均匀[a, b],域的定义。离散点的数量,的定义,变量的离散点是 然后我们可以获得基本功能如下: 利用傅里叶变换理论,可以证明的基本功能满意的结论如下:

两个维度基本函数可以表示一维张量积的基本功能。在二维尺度函数空间,每一个,可以表示为,所以相应的基本功能 以类似的方式,的基本功能n维空间可以表示为 根据间隔插值基本功能,Shannon-Gabor区间小波可以获得如下: 和可以计算,分别是 在哪里是外部点的数量,和是支持域的小波函数,也就是说,。

很容易知道Shannon-Gabor区间小波是Shannon-Gabor扩展函数的线性组合。因此,Shannon-Gabor区间小波函数具有的属性Shannon-Gabor缩放功能。

应该注意的是,区间小波函数的施工方法揭示限制之间的密切关系变分原理和间隔插值小波。

2.2。福克尔普朗克方程的离散格式

考虑以下二维静止福克尔普朗克方程: 在哪里

未知的数量表示过渡概率密度函数,它可以表示为

一般来说,,,,,,上的已知函数是变量呢和。为了避免执行复杂的集成的搭配方法,上述的已知函数可以表达为一笔形状函数,这样 在哪里,。

搭配方法的理论,用(11)(8),我们可以获得方程组如下: 在哪里。

使用(3)和集成(12),这个方程组可以得到如下: 在那里,。

的基本功能是香农尺度函数具有显式表达式,所以很容易推断出第一和二阶导数的基本功能如下:

建立(14)和(15)(13),可以推导出一个齐次代数方程组,这样 这是固定在二分点和实验所得到的离散格式的域定义。

2.3。解决方案和实验所得到的离散格式

在系统(16),是一个方阵;向量包含的值j.p.d.f.二分的网格点。方程(16)可以通过处方的价值来解决在节点1是一个常数C,这导致 在哪里是矩阵没有第一行或列,从节点2节点值的向量开始,然后呢第一列的吗与第一项省略。这收益的价值在每个节点的C .最后,C可以评估实施规范化属性 在哪里,和,变量的数值区域吗和。所以我们应该首先评估的价值,和,。他们可以获得大约从随机振动微分方程的解决方案通过使用等效线性线性化方法。基于等效线性化的结果,数值的变量和可以被评估。

3所示。数值实验

例1。在本节中,该方法应用于随机振动的杜芬振荡器,的运动方程是2] 在哪里是高斯白噪声,在这里有一个谱密度的。把,,(19)推导出 所以我们获得福克尔普朗克方程如下: 的精确解析解(21)是 在哪里是选择满足归一化条件,(14)。

的情况下,,,r.m.s.值响应的位移和速度和,得到的等效线性线性化方法。基于这个结果,一个有限的地区,选择小波的搭配方法。

数值结果,确切的结果,绘制在图1。可以看出,该方法提供了优秀的协议的结果,在曲线的主体和尾巴。

小波和区间小波之间的对比搭配方法如图FPK方程2。很容易看到,区间小波配置方法的误差明显小于普通小波方法在解决FPK方程。不难理解,普通小波数值方法的边界效应扩大在整个域定义的错误。这说明区间小波数值方法的效果在某种程度上。

例2。时间部分福克尔普朗克方程最近被很多作家和被发现是一个有用的方法的描述交通动态复杂系统,由反常扩散和非指数的放松模式。部分衍生品发挥关键作用在反常扩散模型粒子运输。魏(14]介绍了一次部分的延伸FPK方程,即在time-fractional福克尔普朗克方程如下: 与初始条件 和边界条件 和实验所得到的解析解time-fractional可以表示为 正如上面提到的,解决方案(23大约可以表示为 用(27)(23),我们可以获得 在哪里。让 我们可以得到离散格式解决time-fractional FPK方程如下: 比较有限差分法和小波数值方法在解决部分FPK方程如图3。虽然迭代次数只有1000,数值解的误差通过有限差分法变得显然比一个小波数值方法获得的。应该注意到区间小波的效果是有限的,在本例中明确的边界条件。

4所示。结论

与有限差分法相比,Shannon-Gabor小波数值方法具有更优秀的解决FPK方程的数值属性,已示解决time-fractional FPK方程。基于插值Shannon-Gabor小波的特性,基于小波插值小波间隔搭配方法插值技术和实验所得到了解决二维在一个有限的领域。这种新方法可以减小边界效应明显,然后降低数值误差定义在整个域。我们认为,该方法可以很容易地推广到矩形更高维度的情况。其他数值算法的比较表明,该方法具有竞争力和效率。此外,需要注意的是,该方法还可以用于解决一般的偏微分方程。

引用

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