文摘

分形波方程与当地部分衍生品进行调查。分析解决方案通过使用本地分数傅里叶级数的方法。目前的方法是非常有效和准确的处理类地方分数微分方程。

1。介绍

分数微积分处理导数和积分的任意订单(1]。在过去的四十年里,分数微积分已经应用到几乎所有的科学和工程领域(2- - - - - -6]。近年来,出现了大量的兴趣分数微分方程(7]。因此,开发了各种分析方法(8- - - - - -18]。例如,有exp-function方法(8),变分迭代法(9,10),同伦摄动法(11),同伦分析方法(12),热平衡积分法(13),部分变分迭代法(14,15),分数差分法(16),有限元法(17),分数傅里叶和拉普拉斯变换18),等等。

最近,当地分数微积分nondifferentiable函数应用于处理问题;参见[19- - - - - -26)和引用。也有分析方法为解决当地的分数微分方程,这是指在27- - - - - -34]。当地部分系列方法(32- - - - - -34)是应用于处理当地的分数在分形振动波动方程32)和本地部分热传导方程(33]。

最近,波动方程在康托尔集被认为是(21,28] 当地的阻尼波动方程是书面形式30.] 在分形字符串和本地部分耗散波动方程(31日]

在本文中,我们调查当地部分系列的应用方法为解决当地部分波动方程如下: 初始和边界条件给出了在哪里 本文的组织如下。节2,当地的分数微积分的基本概念和当地部分介绍了傅里叶级数。节3,我们介绍当地的分数傅里叶级数解波动方程与当地分数导数。两个例子所示部分4。最后,部分5致力于我们的结论。

2。数学工具

在本节中,我们提出一些当地部分连续性的概念,地方分数导数,和地方分数傅里叶级数。

定义1(见[21,28,30.- - - - - -32])。假设有 与,因为,和,。然后被称为当地部分连续吗,在那里与。
假设函数满足上述性质当地部分的连续性。然后条件(6)表示为 在哪里。

定义2(见[19- - - - - -21])。让。当地的分数导数的订单在是由 在哪里。

定义3(见[19,20.,32- - - - - -34])。让,让是周期。为,当地的分数傅里叶级数被定义为 当地的分数傅里叶系数在哪里吗 与当地部分积分由(21,29日- - - - - -34] 在哪里,和,,,是一个分区的时间间隔。
鉴于(10),部分三角函数的权重表示如下:

引理4(见[21])。如果和常系数,那么当地的分数和常系数微分方程吗 有一个家庭的解决方案吗 有两个常量和。

证明。参见[21]。

3所示。与当地分数导数解波动方程

如果我们有特定的解决方案(4)的形式 然后我们得到了方程 与边界条件 方程(4)解决方案 在哪里和都是常数。

根据(19),和我们得到了 很明显否则,因为。

因此,我们到达 在哪里是一个整数。

我们注意到

为和后,(17)意味着 在哪里 因此, 我们现在假设一个本地的分数傅里叶级数解(4): 因此, 在哪里 与。

提交(26)(5),我们有 所以, 让 鉴于(30.)和(31日),我们重写 我们现在找到的地方分数傅里叶系数和分别 后(34),我们有 这样 因此,我们的解决方案(4): 在哪里 与 与

4所示。说明性的例子

为了说明上述结果在本节中,我们给出两个例子。

让我们考虑(4)受初始和边界条件 鉴于(40),我们有 这样 因此, 在哪里 鉴于(4),我们的第二个例子是初始和边界条件如下: 后(40),我们得到 因此,我们获得 所以, 与

我们注意到部分边界条件表示为一个Lebesgue-Cantor楼梯函数(21,32];也就是说, 在哪里是分形集的分形维数吗是。为Lebesgue-Cantor楼梯的图像函数(52)如图1当分形维数。

5。结论

目前的工作表达了当地的分数傅里叶级数解波动方程与当地分数导数。两个例子是给illustrat波方程近似解与当地产生的分数导数分数傅里叶级数的方法。当地部分分析获得的结果似乎一般自获得解决方案回到古典当分形维数;也就是说,它是一个过程从欧几里德几何分形几何。当地的分数傅里叶级数法是一种非常有效和强大的技术寻找当地的分数微分方程的解决方案。同样值得注意的是,当地的优势显示nondifferential分数微分方程的解决方案,显示时刻的分形和地方的行为。然而,经典的傅里叶级数用于处理连续函数。