复杂性和分数微积分

文摘

我们研究复杂过程的进化时间取决于一个随机数的发生的事件。连续两个关键事件之间的平均间隔时间是无限的,从而违反了遍历条件和激活同时支持的假设的随机中心极限定理的米塔格-莱弗勒函数是一个普遍的自然属性。这些复杂系统的时间演化生成正确的分数微分方程,从而导致部分轨迹的平均的解释许多随机轨迹都满足的条件随机中心极限定理和米塔格-莱弗勒普遍性。

1。介绍

分数微积分发展的许多重要方面在最近的过去。Sokolov et al。1]保持这个微积分是局限于数学领域直到20世纪的最后十年,当它变得非常流行在物理学家是一个强大的方法来描述各种复杂的物理现象的动力学。例如,描述了反常扩散使用部分扩散方程(2,3];粘弹性材料模型使用分数朗之万方程(4];而复杂的动态系统可以使用分级管理控制(5]。在过去的十年中部分动力学的概念得到了进一步关注统计和化学物理社区(6]。分数微分方程也被成功地应用于神经动力学(7,8和生态9)以及传统领域的工程(10,11]即[12,13]。

作者特别感兴趣的是文学日益扩展系统的非线性动态方程奇异吸引子解决部分非线性方程组。这样的扩展通常是由更换整数值部分衍生品衍生品;例如,在洛伦兹系统[14- - - - - -16),在陀螺的混乱的刚体运动17),在Hopfield-type神经网络(8),在艾滋病毒感染的免疫模型(18),等等。这些替代品在尝试将动态机制被认为是重要的,不能被传统的模型,例如,复杂的形式记忆在时间和空间中的非定域性。扩展这些非线性模型的结果是显然引入耗散动力学这样奇怪吸引子崩溃的解决方案的一个稳定的不动点。不动点的出现是解释一个诱导耗散的结果部分衍生品模拟建模的复杂性。

这里我们提供一个替代的解释这些扩展,涉及波动轨迹的概念和解释的部分模型作为平均超过一个奇怪吸引子轨迹。这种观点是一致的建议作为一个保守的哈密顿系统的扩展部分系统(19]。经典力学的泛化是基于随机化的先后顺序或时钟时间在传统的相空间使用操作时间和从属的概念。没有进入细节,汉密尔顿的运动方程的扩展部分形式只要注意部分衍生品在序时平均时间是解释为一个粒子的位移和动量的波动操作时间。因此,单个部分谐振子的动力学,例如,被认为是平均超过一个的谐振子。斯坦尼斯拉夫斯基(19)强调每一个振荡器略不同于其他振荡器的频率,因为下属的失败。相空间轨迹而不是水平能量曲线而不是螺旋的起源和部分振荡器”演示了一个耗散过程随机自然”。

对于更一般的动力系统考虑在此没有生成运动方程的哈密顿。回想一下,一个奇怪吸引子要求系统能量消散。因此本文采取的方法是随机而不是动态的和需要发展的一种新形式的中心极限定理(此时),一个兼容的分数微积分。部分2熟悉的米塔格-莱弗勒连接函数(MLF)解决卡普托分数微分方程(20.)我们叫随机中心极限定理(SCLT)。

在最基本的层面熟悉的弛豫速率方程是被其分数形式所取代 这里我们解释分数阶导数是卡普托的形式 上标是整数阶的导数在哪里这样由于我们有。的解决方案(1)是MLF [21,22] 麦茨勒和Klafter23)利用拉伸指数之间的这种联系和逆幂律(IPL)分布通过解释MLF的生存概率,从而建立这两种截然不同的形式的支持者之间的桥梁的生存概率复杂性的重要迹象。

我们表明,在材料和方法部分是普遍的,因为被Gorenflo提倡和曼拉德(24)和其他(25)在同样的意义上解释水平理论的极限分布的拉普拉斯(此时)和利维(广义解释水平理论),但这里所示的普遍性是SCLT的结果。节2。1SCLT的形式设置和在部分2。2定理证明使用缩放参数。因此SCLT我们展示的部分2。3通过引入波动轨迹,解释为一个适当的表示复杂的流程与记忆,MLF是普遍的。普遍性是一个从属的过程的结果。在结果与讨论部分之间的连接卡普托分数导数部分截面轨迹2通过从属导致分数阶导数被解读为平均在无限多的随机轨迹。节4我们得出一些结论。

2。材料和方法

在1980年代后期有非凡的活动随机理论发展的累加,即案例本身是一个随机变量的数量加式(26]。我们采用这个词随机极限定理而不是随机求和强调我们离开的模范泊松条件(26]。生成MLF波动的事件数量均值和波动大。传统和SCLT之间的主要区别是,前者是基于固定数量的总和的波动,用于重新调节过程。SCLT基于保持固定的概率检测一个事件,一个事件的概率是可见的一个实验。每个值的生成的序列小学层流区域只有一个可见的事件结束时最后的层流区域。SCLT关注可见连续两个事件之间的时间间隔,采用尺度改变过程,以弥补incomplete-measurement-induced生存概率增强[27]。我们表明,所有的等待时间的生成non-integrable生存概率的结果SCLT产量。这使我们认识到,证据是普遍存在的。

2.1。随机中心极限定理

生存概率的概念是连接到一个复杂的系统生成事件的随机的观点。连续两个事件之间的时间间隔(层流区域)分配值称,一枚硬币抛处方(28]。在时间系统准备通过选择所有的实现与一个事件发生当时,积极的层流区域也会随之而来。因此没有事件发生的概率,表示、正确地称为生存概率函数 是等待时间概率密度函数()。我们采用的符号和表示MLF生存概率和相应的等待时间,分别。物理的例子由许多单位的合作交流可以发现27,29日),与拉伸指数的重要观察政权变得更加扩展如果生成可见合作的概率事件减少部分中讨论2。2。

我们假设之间的时间间隔连续两个关键事件生成的复杂系统研究的等待时间 相应的累积分布的形式 这个条件的起源,通常解释为复杂性的表现,可以是动态的异常性质进行调查(30.,31日)或临界条件(32]。在前者情况下描述的属性(7),例如,是分子扩散的后果为长时间被困在井深处的随机分布。在后者的和鲜为人知的情况的出现时间复杂性是由于许多互动的合作行动单位。cooperation-induced相变的障碍发病的,平均场波动和不稳定的等待时间对应于一个联赛(33]。

我们采用时间函数的拉普拉斯变换以下符号: 重要的是要强调,满足长期限制(7)的拉普拉斯变换的函数形式 辅助函数的条件 因此,子公司函数必须更迅速消失作为。

注意的MLF的生存概率的拉普拉斯变换(3)(20.,22] 和等待时间的拉普拉斯变换的关系是 所以,我们获得代数 从而产生的附属功能(10) 满足的条件(11)。换句话说,属性(10)和(11满足所有的等待时间的无尺度的条件(7)。我们现在等待时间显示对应的和大量的时间都是由通用(7),不一定MLF的类型、MLF等待时间的年代。

2.2。不完美的事件的检测

做这个演示尽可能明确,同时提供一个直观的理解SCLT,让我们想象一下,探测器用于监控产生的事件(7)不是非常准确,感知这些事件的概率是 由于这个缺陷两个连续的可见的事件之间的总和小学时代来自条件 第一个的概率是哪一个事件在最初准备事件虽然是不可见的事件是可见的。为, 从而暗示标准差的顺序一样的意思 因此,条件 SCLT截然不同的条件高斯和利维此时此地,因为有非常大的波动在传统的观点。为了更好地理解新定理,我们注意到生成的概率一个事件,是最后的一个序列事件发生在更早的时期,,不满足的条件生成MLF稳定的形式。然而,等待时间可见事件之间的时间间隔,,。的找到一个可见的事件的时间间隔事件是由早期后可见 实现更新流程的众所周知的财产(22,28] 我们获得的拉普拉斯变换(21一个代数后)

使用的分区(10我们重写(23更方便的形式) 实现的限制条件(11最慢的贡献必须 与。重新调节拉普拉斯变量与检测概率 变换(24) ,对于减少到 事实上,新慢的贡献成正比从而做出的贡献消失的在分子和分母(27)。

我们看到,重新调节同时,(14),因此其逆变换 因此,可见事件MLF的生存概率。这是SCLT的本质。

2.3。波动的轨迹

使用SCLT解释部分轨迹平均在无穷多个随机实现,很方便生存概率的连续两个可见的事件之间的时间间隔。我们从(注意13), 这是简单的表明插入(23)(30.)收益率结果相当于 众所周知的Montroll-Weiss连续时间随机漫步(CTRW)结构34]。的拉普拉斯变换从(31日)读 在哪里的拉普拉斯变换Montroll-Weiss内存内核定义的 注意,通过使用拉普拉斯逆变换是简单的建立(31日)等价于 证明采用的卷积结构这个词吗内存的内核为。

由于之间的等价性(21)和(31日我们可以使用缩放参数立即得出结论 因此为什么示范MLF无处不在的分布的数据集,因为它是可见的,可衡量的事件。

将进一步揭示SCLT,让我们注意到条件转动的影响几乎连续时间,成和(31日)。因此,MLF的生存概率实时对应吗普通的指数函数, 和是次相应的连续时间。一个直接的方法推导(36)(31日)基于观察的拉普拉斯变换(31日),即(32),可以被视为一种双重拉普拉斯变换与。通过逆拉普拉斯转换关于我们获得(36按照()35- - - - - -37]。的时间可以解释为一个扩散的位置随机沃克,跳跃在同一个方向。事实上,非对称征收过程(35- - - - - -37]。我们因此导致解释SCLT由于征税的广义解释水平理论。的条件生成利维稳定和无限求和许多征收过程由指数函数加权生成MLF的生存概率,按照之前的结果(38,39]。

3所示。结果与讨论

本文的SCLT是第一个重要的结果。传统的解释水平理论收益率正态分布为极限。广义解释水平理论开发的税收收益稳定分布的极限。最后本文提供的SCLT收益率MLF的极限。SCLT我们的基础上建立了一个物理解释的部分轨迹之前没有被认为是在文献中对非保守党的动态系统。MLF生存概率可以解释为实现在连续时间传统的指数弛豫过程 在操作时间。的概率结构(36)代表了无限求和许多这样的随机的弛豫过程,这是相当于MLF的生存概率。以同样的方式部分轨迹,不一定耗散,是被证明是一个无限求和许多随机轨迹,由于历史原因我们称之为Montroll-Weiss轨迹。

3.1。从属和部分动力学

联系的物理解释建立在前一节中替代部分微分方程我们介绍部分轨迹的命名法。考虑操作时间的微分方程 在哪里是一个通用的多维向量和是一个通用的算子线性或非线性作用于向量的分量吗。这个简洁的符号,我们可能描述,例如,洛伦兹系统[14- - - - - -16),这是一个非凡的分数微积分的应用混乱, 。使用的所有研究分数微积分的符号可以表示为(38)。因此,在非线性系统的动力学展开一个奇怪吸引子我们遵循传统和替代整数阶导数卡普托分数阶导数的指数,,获得 我们把解决方案(39)作为部分轨迹,在解决方案的时间跟踪系统的相空间。在这里我们预期的第二个结果本文的时间演化平均分数轨迹,在无限多的随机Montroll-Weiss轨迹。

正确定义一个Montroll-Weiss轨迹,让我们回到(38),采用数值程序集成在操作时间和获得 数值过程取代了连续与离散时间会适当的数值算法。因此我们可以写th迭代方程,使用符号: 注意的数值解(38)意识到通过处方(41)是一个扩展的通用轨迹指数松弛。因为这个原因的条件完美集成对应于与SCLT,从而建立连接。

假设获得的一份随机Montroll-Weiss轨迹过渡是一个至关重要的事件发生吗,那里的是随机时间与等待时间吗(7),不一定相同。我们分配的值与满足的条件。

必须重申利维活体供体和SCLT之间的区别。所示(30.),是一个不对称的征收过程中,不应该被混淆的稳定生成的程序。平均在无穷多Montroll-Weiss轨迹收益率 的左手边42)是一个吉布斯系综平均在无限多的波动轨迹,应该用符号。然而强调它与分数阶导数形式我们继续使用的象征。的拉普拉斯变换是 SCLT的基础上,我们得出这样的结论:相应的,, 这允许我们替换的平均(42)的分数微分等价的 事实上,使用卡普托部分衍生品 拉普拉斯变换(45与这条规则产生的影响()44),从而建立的分数微分方程(39)相当于平均Montroll-Weiss轨迹(42)条件下。请注意,必须足够小,确保一个收敛的解(38)的可能影响如此之大,几乎取消拉伸指数MLF的政权。与有效利率由特征值决定的确定事件的密度,从而使拉伸指数成为表面密度非常低的事件,再次按财产的完整测量(27]。

4所示。结论

我们建立了MLF的普遍性使用SCLT生存概率。这个词随机在SCLT强调这一事实和生成的大量基本层流次连续两个可见的事件之间的时间间隔是一个广泛的数量与波动强度波动大如平均流程中涉及的事件数量。SCLT导致部分轨迹的新视角,产生一个新的物理解释他们的强大稳定的那些声称已经取代了整数与分数衍生品。的耗散特性部分轨迹必须被视为一种相位解相关过程而不是一个摩擦。生态生态动力学部分版本的受欢迎,例如,生成一个分数轨迹,是许多Montroll-Weiss轨迹对无限求和。每个Montroll-Weiss轨迹是一个普通的生态循环的操作时间。过渡的操作时间时间时间传播这些轨迹在整个生态循环从而产生错误的印象,结果平均轨迹通过耗散过程达到平衡。

确认

m·博洛尼亚承认金融支持从FONDECYT项目没有。1110231。作者热情地感谢韦尔奇和ARO金融支持这项工作通过批准号b - 1577和批准号分别W911NF1110478。

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