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s . s . Motsa o . d . Makinde Shateyi, ”新的高阶Quasilinearization方法的非线性模型在扁平粒子催化反应”,数学物理的发展, 卷。2013年, 文章的ID350810年, 6 页面, 2013年。 https://doi.org/10.1155/2013/350810
新的高阶Quasilinearization方法的非线性模型在扁平粒子催化反应
美国美国Motsa
,1
o . d . Makinde,2
和
美国Shateyi3
1夸祖鲁-纳塔尔大学数学科学学院,私人包X01, Scottsville, 3209年彼得马里茨堡,南非
2Stellenbosch大学教员的军事科学、私人包X2,沙尔丹哈7395年,南非
3数学与应用数学,大学文达语,私人包X5050 Thohoyandou 0950年,南非
文摘
一种新的计算方法称为pseudospectral quasilinearization (SQLM)是用来解决两点边值问题描述多孔催化剂粒子的反应行为服从质量内部浓度梯度和温度梯度,在吸热或放热催化反应。数值结果的比较使用内置的MATLAB生成边界值解算器,bvp4c执政的物理参数,对不同的值和一个很好的协议执行。一个系统化的方法来提高收敛的SQLM。
1。介绍
在很多工程和工业应用,化学反应器中催化过程通常被认为是非常有用的。这引起特别注意研究催化反应在单粒子级别(1]。此外,intraparticle扩散的分子如何的问题修改多孔催化剂粒子的总反应行为研究了近四分之一个世纪(2- - - - - -4]。大多数化学反应都伴随着传热效果;他们要么释放或吸收的热量。这可能导致明显的增加(或减少)的温度对粒子中心(5- - - - - -7]。由于化学反应速率迅速(指数)和温度不同,这种效应可能会从根本上改变催化剂粒子的行为,否则我们将期望。分析化学动力学和扩散效应通常会导致解决高度非线性微分方程。数学模型描述的详细评论反应在多孔催化剂粒子可以在[8]。假设一个平面几何的粒子和传导传热可以忽略对流换热相比,Hlavacek et al。9)派生的一个无量纲非线性两点边值问题在扁平粒子催化反应 与边界条件 在哪里反应物的浓度,是一个沿着粒子坐标测量,蒂勒模数或反应速率参数,的活化能参数表示反应速率对温度的敏感性,然后呢是放热参数显示的最大温度变化可能存在于粒子相对于边界温度。当前研究的主要目的是解决非线性问题中描述(1)- (2)使用pseudospectral quasilinearization方法(SQLM)。这个方法是由混合pseudospectral方法(10- - - - - -12)成平方收敛更夫和Kallaba quasilinearization方法,(13]。我们也在场,第一次混合方案收敛比quasilinearization方法快得多。我们将演示的能力SQLM在解决高度非线性两点边值问题。数值和图形结果使用SQLM方法与数值结果验证通过比较使用内置的MATLAB生成边界值解算器,bvp4c执政的物理参数,对于不同的值。
2。解决方法
制定迭代计划,我们首先重写(1), 在哪里的非线性分量(1)。考虑到是初始近似的解决方案(3),我们引入耦合系统如下: 我们写(4), 在哪里
我们使用quasilinearization方法(QLM)更夫和Kalaba [13解决(6)。QLM决定th迭代近似微分方程的解 可以写成 受 我们假设得到线性部分的解决方案(6)由 收益率的迭代计划 这是标准的QLM迭代解决方案(1)。
当在(9),我们可以近似作为 因此,设置在(9),我们得到 收益率的迭代计划 在哪里的解决方案是
一般的迭代计划获得的设置()(9-),以下简称方案,是 在哪里得到的解决方案
迭代计划(12)和(17)可以很容易地解决使用数值方法(如有限的差异,有限元素,基于龙格-库塔的拍摄方法,或搭配方法。在这项工作中,我们采用切比雪夫谱配置方法。这个方法是基于切比雪夫逼近未知函数的插值多项式,这样他们在Gauss-Lobatto集中的点定义为 在哪里是搭配点的数量(见,例如,使用10,12])。为了实现该方法,物理区域转化为该地区吗使用映射 的二阶导数在搭配点表示为 在哪里切比雪夫光谱微分矩阵(见,例如,(10,12])。用(19)- (21)(12),例如,矩阵方程的结果 在这是方阵和和是列向量定义为 在上面的定义中,是一个对角矩阵的大小这是定义为 和评估搭配点。修改后的矩阵系统(21)吸收边界条件,得到的解决方案是解决(22迭代),从一个合适的初始近似值。
3所示。结果与讨论
在本节中,我们提出的解决方案的结果反应物浓度这是执政的非线性边值问题的解决方案(1)。为了评估的准确性提出了迭代方法,目前的数值结果比较反对使用MATLAB程序生成结果bvp4c。MATLAB程序bvp4c基于自适应Lobatto正交方案(14,15]。目前的结果也与其他文献的结果相比,使用其他方法生成。除非另有说明,搭配点这里给出计算结果中使用。出于演示目的,结果是前三个迭代计划获得的设置。
我们首先给出结果对应的scheme-0 pseudospectral quasilinearization方法(SQLM)。
表1给出了一个比较SQLM结果和林等人的结果。16),使用区间分析和参数的验证求解常微分方程(VSPODE)生产保证解决方案的范围(1不同的反应率参数值,当活化能参数和放热参数。这取决于的价值,存在不同的解决方案(1表所示)1。结果也与之相比bvp4c数值结果。从表可以看出1SQLM结果躺在区间内,真正的解决方案预计将被发现。我们也观察到SQLM迅速收敛的结果bvp4c结果。只需要四个迭代实现精确匹配是准确的为选定的参数。这证明了该SQLM方法的精度和效率。
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表2给出了目前SQLM结果的比较为,对bvp4c为不同值的数值结果。表2表明浓度逐渐随的增加而减小。从表中也可以看到,SQLM和有很好的协议bvp4c数值结果。SQLM结果收敛完全数值结果只在三阶近似解。再一次,这表明SQLM提出方法的效率。
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在表3,我们显示当前SQLM结果的比较为,对bvp4c为不同值的数值结果。表3表明浓度逐渐随的增加而减小。从表中也可以看到,SQLM和有很好的协议bvp4c数值结果。SQLM结果收敛完全数值结果只在三阶近似解。再一次,这表明SQLM提出方法的效率。表4给出了当前SQLM结果和对比bvp4c结果为固定值和和不同的价值观。这里必须指出,该方法的一个可能的优势bvp4c方法是,它产生精确的结果使用较少的网格点,迭代,和功能评价。高阶方案进一步提高的效率QLM要求更少的迭代来实现更好的精度。
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图1描述了在一片分岔图飞机对于一个给定的值。它展示了反应物种浓度的变化以及扁平粒子中心线与破坏性反应强度增加率()。这个结果与报道的是在完美的协议Hlavacek et al。9]。同时,可以看出该物种浓度沿中心线一般随粒子的增加反应速率参数,由于反应物消耗。值得一提的是,进一步减少物种浓度观察增加物种的反应活化能()。数据2,3,4说明了横向的变化反应物种跨扁平粒子浓度。看到浓度是最高的扁平粒子表面,减少横向沿着扁平粒子中心线与最小值。此外,值得注意的是反应物种的浓度随结合提高放热参数(),反应速率参数(),活化能参数()。
表5给出的值计算使用提出了高阶混合方案:scheme-0 scheme-1,方案②。从表可以看出5有一个改善收敛速度从scheme-0 scheme-1然后方案②。需要4迭代获得结果收敛完全18小数位数scheme-0相比1迭代当使用方案②。这演示了在使用提出了高阶计划中受益。
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4所示。结论
在这项研究中,一个高度精确的混合法,混合的pseudospectral方法提出了差异化和quasilinearization技术。解决方案的方法,命名为pseudospectral quasilinearization方法(SQLM),是用来解决两点边值问题描述多孔催化剂粒子的反应行为服从质量内部浓度梯度和温度梯度,在吸热或放热催化反应。SQLM成立的有效性通过比较计算结果生成使用内置的MATLAB解决边值,bvp4c执政的物理参数,对于不同的值。一个系统化的方法来提高收敛的SQLM也。从这个初步调查,将进行更多的数值实验的其他例子非线性BVPs科学和工程的其他应用程序。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
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