文摘

最近,我们介绍了一种自相关函数(ACF)来描述远程依赖(上)过程与两个参数索引,以标准分数高斯噪声(简称fGn)作为一个特例。为简单起见,我们称之为广义fGn (GfGn)。这个简短的论文给出了功率谱密度(PSD)的GfGn函数。

1。介绍

上时间序列越来越收益应用科学和技术的许多领域;例如,看到曼德布洛特(1)和引用。在这方面,引入标准fGn曼德布洛特和van洛克是一个广泛使用的工具上时间序列建模;见,例如,Beran [2),Abuzeid et al。3,4],廖et al。5]。后(1,H11], [2),它的ACF是由 在哪里 赫斯特参数和吗 。这意味着时间系列的三个家庭。在的情况下 , nonintegrable,相应的系列上。为 , 是可积的,相应的系列短程(阶跃恢复二极管)的依赖。的情况下 对应于白噪声。注意,统计上大大不同于阶跃恢复二极管系列。从实践来看,阶跃恢复二极管fGn可能不太有趣的应用程序可以从1,2]。本文只考虑LRD系列,除非另有说明。

李(6)最近推出了ACF的形式是一种泛化fGn的ACF。由于ACF是偶函数,我们写的GfGn ACF 在哪里 和 。我们称这一过程的ACF (2)GfGn为简单起见,因为它需要fGn的一个特例 。不失一般性,以下考虑规范化ACF让 。本文旨在给GfGn PSD。傅里叶变换(FT) 被视为一个广义函数Schwartz以来的测试函数空间 nonintegrable。

2。PSD的GfGn

表示 在哪里 , , 。表示 ,在那里 英国《金融时报》和 。然后,英国《金融时报》的 是由

引理1(见[7]或Gelfand Vilenkin [8第二章])。英国《金融时报》的 表达的是 在哪里 。

推论2。 = 。

证明。请注意 。因此,做 (5)收益率必然2。

引理3(二项系列)。 和 可以扩展为 在哪里 和 是实数, 二项式系数(9]。

推论4。 和 为 可以扩展为

证明。这个推论是直接从引理3。

推论5。为 , 和 可以扩展为

证明。自 ,根据 , 结果。同样的, 之前由于 和 。

推论6。为 和 是由(6),分别

证明。做 逐项进行 和 与引理1收益率(6),分别。

推论7。为 和 是由(7),分别

证明。做罚球 和 根据引理1结果(7)。

以下命题推论的结果2,6,7。

8号提案。PSD GfGn给出的

考虑的主要术语(8)导致下面的命题。

9号提案。PSD的GfGn具有以下近似值:

从(9),我们可以很容易的得到下面的两个音符。

注1。 不同起源的吗 上条件。这是上的基本功能的过程。

注2。回忆 。然后,的情况下 和 暗示 。这个解释的范围 从一个视图在频域中GfGn。

3所示。结论

我们有派生GfGn PSD。它的近似表达式。的范围 已经从光谱解释道。

确认

这部分工作是支持下由中国国家自然科学基金项目批准号。61272402,61070214,60873264,973年计划在项目批准号2011 cb302800。