递归运算符和本地和外地新修改KdV方程的对称性

文摘

新的修改KdV方程的递归运算符及其逆明确。表演简单的递归算子及其逆对称0与恒等变换,无限多的本地和外地的对称性。使用一个封闭的有限维对称代数与本地和外地原始模型的对称性,对称性的降低和确切的解决方案。

1。介绍

对称性的研究起着重要的作用在几乎所有的科学领域,特别是在数学物理。找到无穷多对称性给定的可积模型,最好的方法之一是构建研究模型的递归运算符。最近,卢指出,无数外地对称性可以简单地通过代理上的递归逆算子构造恒等变换(1],无限多的松懈对[2),达布变换(3],Backlund变换[4),保角变换(5),等等。

mKdV方程, 是最重要的一个非线性系统和非线性物理现象的多样性可以先后用这个简单的模型来解释6]。研究不同的物理现象,存在不同版本的修改KdV方程模型如加德纳(KdV的结合和mKdV系统)和Wadati方程。最近,描述KdV孤子之间的相互作用和cnoidal周期波,卢提出了一种新的修改KdV方程(NMKdV) (7), 这是一个组合的潜在mKdV方程(没有第二项(2))和Schwarzian KdV方程(没有第三项(2))。

在本文中,我们研究一些可积性质和NMKdV方程的精确解(2)。mKdV方程(之间的转换关系1)和NMKdV (2)提出了部分2。节3使用分解过程和转换定理,给出的递归算子及其逆明确。应用递归和递归逆算子等一些琐碎的种子恒等变换和缩放变换,无限多的本地和外地的对称性。节4对称削减和精确解,通过使用一个封闭的有限维对称代数。最后一部分是总结和讨论。

2。mKdV和NMKdV之间的关系

找到之间的关系mKdV方程(1)和NMKdV (2),我们研究通过广义mKdV方程的精确解双曲正切函数展开法提出的角8]。mKdV方程(1),广义截断双曲正切函数扩张可以有以下形式: 在哪里,,是任意的函数以后,应该确定。

通常的双曲正切函数展开法,和常数和,用于发现单一mKdV方程的扭结孤子解。

用(3)(1),我们有 消失的系数为,我们有 用(5),(6)和(7)(4),剩余的物品 这显然是正确的,因为(7), 用(5)和(6)(3),我们有 实际上,转换关系(10)与mKdV (1)和NMKdV如下: 因此,担保的可积性的NMKdV mKdV方程的可积性,因为无穷多的对称性和递归运算符(然后bi-Hamiltonian松懈对)mKdV可以转换的NMKdV与操作员的帮助和它的逆矩阵。在下一节中,我们研究了无穷多的本地和外地的对称性NMKdV通过递归运算符和逆递归运算符。

3所示。递归和递归逆操作符

对称,,对于一个非线性系统 其线性化系统被定义为一个解决方案: mKdV方程(1)和NMKdV (2读),对称定义方程 和 分别。

从转换关系(10),mKdV之间的对称关系(1)和NMKdV (2)的形式

众所周知,对于一个(维可积系统,存在一个递归运算符,,这样一组无穷多的对称性可以通过代理递归种子对称算子如下:

从对称转换关系(17),我们可以发现递归运营商之间的关系(mKdV方程的递归运算符)(NMKdV的递归运算符):

一个递归的运营商mKdV也已在文献[9]: 为方便计算,我们首先给出了形式的因素和: 在哪里。

使用上面的结果,我们得到了递归运算符 和递归逆算子 NMKdV (2)。

给了一些组无穷多对称性(2),有发现一些种子对称性可能发现通过某些类型的简单方法。例如,使用标准的经典李群方法(10)或标准的经典谎言对称方法(11),可以发现,唯一可能的谎言点对称NMKdV (2翻译)相关的对称空间, 时间翻译, 标度不变性, 指数函数的转换, 很明显,可以获得利用离散不变的变换(2),可以重组下列种子: 对称有关翻译的不变性(2)。

应用递归运算符的种子,,,我们可以找到五套无穷一般对称,对称, 对称, 和对称, 为对称,因为是递归操作符的内核。同样的,为对称,因为都是逆递归操作符的内核。

不难发现对称的,,对称的是当地的对称性而其他人都是外地的。

4所示。群不变解

在本节中,我们将讨论可能的集团不变的解决方案通过对称性减少通过使用谎言点对称代数 NMKdV方程(2)。

寻找对称代数下不变的解决方案,我们必须解决以下对称约束条件: 与任意常数,。

解决对称约束条件(31日),我们有两个重要的情况下。

情况下我。 。为的通解对称约束条件(31日)具有以下形式: 在哪里, ,,,,任意常数,是一个函数的。
用(32)(2),它是容易找到的相似减少待定不变函数组: 这是一个变体形式的Painleve二世超验这意味着解决方案(32)是一个孤子之间交互的解决方案和Painleve NMKdV第二波(2)。

案例二世。 。在这种情况下,群体的通解不变的条件(31日)读 在哪里和 与任意常数,,,。
集团不变的解决方案可以替换后(35)(2)。结果读取 与被任意积分常数。
显然,解决方案(37)可以表示通过雅可比椭圆函数,说, 在三个任意常数已经与别人通过 因此,第二减少解决方案(35)和(37)之间的交互解决方案与一个孤子周期波和椭圆。

5。总结和讨论

总之,我们已经研究了对称和对称还原解决方案提出的一个新的修改KdV方程卢。的模型是一个组合形式Schwarzian KdV KdV方程和潜在的修改。

递归运算符和逆递归运算符是显式地给出。应用递归算子及其逆微不足道的种子溶液,0,与恒等变换,我们发现当地的对称性(一半)之一,和非局部对称三组(一半),,,,,或等价。应用递归运营商缩放不变性,一套完整的时间依赖的非局部对称,可以获得。

通常KdV和修改KdV方程,找到一个孤子之间的互动解决方案和另一种电波,如椭圆周期波,必须使用相关的非局部对称性达布变换(12)和/或Backlund变换(13]。有趣的是,NMKdV方程,发现孤子之间的相互作用的解决方案和其他波,我们可以只使用本地的点对称模型没有任何非局部对称。

确认

工作专项资金支持的中国国家自然科学基金(批准号11141003)。作者感谢郑胜耀卢教授对他有益的讨论。

引用

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