宽正弦依据量子力学问题的有效性维

文摘

所示,生成集合提供的形式粒子在一个盒子里的量子力学提供了一个非常有效的变分依据更一般的问题。是按比例缩小的基础,在那里和然后使用变分参数。可能是一个自然基础量子系统局限于一个球形盒子原来是适当的温柔局限的问题U型势,包括那些拥有强大的奇异点。详细讨论了具体的例子,还有一些玻色子系统。

1。介绍

我们对比两种封闭量子系统,也就是说,监禁在一个有限的密不透风的盒子和软约束的U形的潜力。举个最简单的例子是由两个不同尺寸的问题,即粒子在一个盒子里和谐振子。我们使用的是标准正交基盒子的问题近似的振荡器。我们会将此基础上称为自一个正弦基础按比例缩小的版本的形式转移吗单位盒。尽管盒子函数完成希尔伯特空间,他们不能代表振荡器的埃尔米特函数完全正确。然而,每一个希尔伯特空间也是一个成员。这个观察允许我们使用正弦函数作为振荡器变分试验功能。问题是什么盒子的大小使用。这是回答治疗作为一个变分参数和最小化能源估计对上。例如,我们在部分2通过使用一个正弦维度的基础,优化第一,我们可以估计特征值振荡器的为误差小于。

在本文中,我们表明,温柔的局限问题,或限于一盒的大小是大于或等于确实,正弦函数提供一个有效的变分的基础上。节2我们研究谐振子和四次非谐振荡器维度。节3我们看看球对称的有吸引力的潜力,如振荡器,原子,非常奇异的问题,在那里,。这里我们采用正弦基础上定义径向间隔,在那里和是这两个变分参数。节4我们研究的问题自己局限在一个有限的盒子(2- - - - - -12),如在振荡器(2,4,5和限制原子2,3,5,10]。节5我们应用变分分析两个特定many-boson系统受中央对势一个空间维度的吸引力。

2。中存在的问题

为了工作,我们首先考虑的解决方案particle-in-a-box问题局限于区间。通过应用转换,我们把盒子的时间间隔到一个新的时间间隔。这给了我们新的归一化波函数: 这一转变的一个特例给出当盒子的端点值和,。然后我们有明确的波函数:

我们注意到变化的基础是一个完整的空间的标准正交集合吗和一般的元素广义傅里叶级数可以写成: 在哪里,。这证明使用基础的变分分析箱端点使用变分参数。我们还应当使用一个有限的基础并包括一个规范化约束。这个约束最小化期望价值对系数相当于解决矩阵特征值问题,在那里 由Rayleigh-Ritz原则(13)的离散谱估算自伴的薛定谔有下界的运营商,如的特征值的一个一个已知上界吗的特征值。这些界限可以随后被进一步最小化对和,或对以防。

此外,为了简化变分分析我们使用的线性算子为了把矩阵在两个部分如下: 在哪里代表动能组件,代表了势能组件。动力组件将是相同的任何潜在的,事实上,我们选择的基础;非零元素的矩阵对角,严格依赖于变分参数和分析精确解;例如,如果我们使用一个盒子端点的对角元素是由,因为。这减少了总数的计算需要估计的特征值。

2.1。谐振子的

自然使用著名的振荡器作为我们的变分分析的测试问题,不仅仅由于振荡器是明确而且其特征函数。我们采取了一维谐振子与薛定谔运营商。这个问题的解决方案 为,在那里是相应的状态,的能量系统,波函数,埃尔米特多项式的秩序,归一化常数。对于本例,我们使用的基础(2),,,构建矩阵。在这里,被认为是一个变分参数。然后,我们执行一个变分分析使用一个矩阵的维度,最小特征值在。我们获得的结果见表1。我们注意到,绝对的近似误差小于第一11个特征值。此外,我们获得不到一个错误第一特征值。如果我们选择更大的尺寸的矩阵近似的误差比较小,我们可以计算为更高的价值,但这些结果有较高的计算成本,需要花很长时间。

我们可以考虑能级作为函数的参数和固定。图1代表了图像的特征值的与变分参数与固定第一州。我们可以看到这些图形状和平坦的最小值附近。如果足够大,是吗形图变得更平坦;这意味着,如果我们采取任何的价值在这平坦的地区,我们将得到很好的近似能级。

我们注意到所有的计算在这个工作中,我们使用计算机代数软件枫木。使用这样的一个程序的优点是,它的许多计算通过使用数学符号;它只是在最后诉诸数值算法来解决,例如,发现哈密顿矩阵的特征值问题。这样就减少了错误在这种计算获得。

2.2。四次非谐振荡器

量子力学的四次非谐振荡器是另一个问题引起了广泛的兴趣,因为海森堡1925年研究它。我们考虑到特殊情况由哈密顿。西蒙(14Banerjee)写了一个广泛的审查这个问题和et al。1)的特征值计算使用特定比例的基础上根据谐波对应的特征函数的性质。类似地,前一节中,我们已经进行了变分分析,在这种情况下,使用矩阵的维度和最小特征值在。结果展示在表2。

我们只注意基础的大小的顺序,近似误差第一五个州,然后它生长。这个问题是解决了通过一个更大的为了减少错误。

3所示。中存在的问题

为了工作在更高的维度,我们需要将问题从笛卡尔坐标转换为一个更合适的系统。这种方法已经被索姆费尔德(深度研究15]。我们让并将其转换成球坐标获取在哪里。现在将由波函数 与球对称因素,超球面的谐波系数,。

给定一个球对称的潜力在一个维空间,使用上述工具和追随者,例如,通过大厅et al。16),我们得到下面的径向薛定谔方程: 定义径向波函数 我们重写(8), 与有效的潜在 这种分析可以让我们工作在更高的维度每当我们考虑球对称势。

3.1。谐振子的

使用上面的转换,我们可以在更高的维度与谐振子,。径向薛定谔运营商现在,在那里被定义为(11),。值这一问题给出的能量 在哪里表示的角动量量子数维问题。有效的潜力这个问题有一个弱奇异点和我们发现的变分基础(1)适用于此类问题固定的,剩下的变分参数。然而,我们发现一些困难维度当:对于这个特定的案例中,我们获得有效的潜力。奇异项的潜在倾向当接近如图2。这不是一个固有特性的问题,但当表明有效的潜在的失败表示和:困难的解决方案就是使用(8)作为这种特殊情况下径向微分方程。

我们近似的能量价值的谐振子维度和量子数。我们用一个矩阵的维度和减少的特征值在。结果如表所示3。

如果我们增加矩阵的维数,我们可以看到,计算误差减少,虽然电脑时间大大增加。另一个例子是近似的谐振子的能量价值维度和量子数这一次更大的尺寸。我们用一个矩阵的维度和最小的特征值在。结果如表所示4。

3.2。水成的原子

我们现在考虑一种特殊情况类似氢的原子的维度,也就是说一个薛定谔运营商,在(11),。水成的原子模型的能量水平在本例中给出了 在哪里,。因为这个问题是弱奇异,我们在前面的示例中使用相同的基础。我们计算近似能量的值时的情况,使用一个矩阵的维度最小的特征值在。结果如表所示5。

我们在这里看到的近似误差大于。有两个问题出现在这个分析。首先,计算是非常缓慢的在这个问题由于其独特性质和计算需要的数量。第二,氢原子能级,挤在一起生长;与此同时它的波函数是非常广泛的,完全不同于那些particle-in-a-box问题。这证实了我们所期望的一般的理由是sin基础不适合无侧限原子问题。

3.3。一些非常奇异问题

问题涉及高度的奇异的潜力是很难解决,但他们经常提供软约束,可能会产生正弦变分分析的基础。quasiexactly提供的测试问题是可以解决的问题。这意味着可以找到能谱的一部分,提供了潜在的一些参数满足一定的条件。东和马17和大厅等。16)研究的潜力 在。这个工作我们假设的情况,和。然后,对于这个不和谐的奇异的问题我们已经定义的显式的哈密顿算符 给出了基态的精确解(16), 受约束。为了测试sin基础通过使用变分分析这一问题,我们考虑的解决方案在两个特定情况下基态能量:第一次当其次,当,。因为这些问题非常奇异,我们正在考虑径向函数,我们需要考虑两个变分参数,即基于区间的边界,。因此,我们使用的基础(1)获得矩阵。在这种情况下,我们需要减少特征值对和。为我们有潜力 是由基态能量。我们用一个矩阵的大小发现,最好的结果是近似,减少参数和。的情况和我们现在有潜力 是由基态能量。我们的近似是,在那里变分参数,给出最小值和。即使我们有一个奇异的问题,如果它的潜力形的,我们可以得到上界能级的一个小错误。正弦变分的基础上,获得的近似误差的上界小于一些准确的计算获得上面提到的引用。

4所示。在量子系统

我们可以认为这个变分方法是如果我们封闭系统我们希望学习在一个盒子里,事实上,相同的盒子particle-in-a-box问题产生的基础。我们只需要选择最佳大小找到最好的近似能级。这开辟了可能性研究承压系统本身提供了依据框的大小小于或等于大小封闭的盒子。这些封闭量子系统的研究近年来一直感兴趣的,例如,在早期的工作Aguilera-Navarro et al。2),米歇尔et al。6),汗·et al。10],烧烤着al - jaber [8),费尔南德斯和卡斯特罗(9]。sin基础收益率能量特征值的上界。然而,我们发现最好的结果。这是因为盒子监禁是主要研究的问题。显然,与潜在的监禁和一个非常大的,使用一个不到将是有利的,因为它是无侧限问题。

4.1。在振荡器

在振荡器研究Aguilera-Navarro et al。2]谁还用正弦基础,基础框围框的大小相等,。我们确认他们的结果,如表所示6一盒大小。

4.2。关正弦平方势

各种限制三角势研究前,例如,在[18,19]。我们发现这些问题可以非常有效地正弦变分分析的基础。我们考虑一个例子,即正弦平方势鉴于(19), 这种潜在的仅限于一盒大小的基础和高度的大小,如图3。

利用变分方法,我们立即获得能量特征值在表展出7这里,对应于表1的19]。对于一个维度的基础最多,结果不同。我们汇总了相关的结果。我们研究了两种哈密顿矩阵的维度和另一个维度:结果这两个变分基地之间的差异被发现最多的的订单最多的。

4.3。在原子

在无侧限氢原子的情况下,我们发现,我们需要更大的盒子为每个国家因为波函数是广泛的。然而,目前的变分基础非常适合在问题的分析。氢原子仅限于一个球形盒子已经被Varshni研究[7]·et al。10]。在[10),作者发现确切的解决方案限制问题由薛定谔方程给出: 与边界条件,。这些三维情况下的精确解是特殊的。为不同的量子数,有特定半径的精确解是已知的限制。这些问题提供了理想的正弦的有效性测试的基础。这些精确解的细节可能会发现在10]。我们获得的结果见表8为和半径所需的精确解。而不是我们发现的无侧限原子模型,很明显,sin基础非常适合相应的限制问题。

5。的身体的问题

在本节中,我们展示sin基础也可以有效的多体的问题。我们考虑一个系统相同的玻色子所绑定的吸引力对潜力在一个空间维度。在单位和的哈密顿对于这个系统,删除中心物质动能,可以写: 通过代数重排可能是写在紧凑的形式: 如果完全规范化系统基态的能量,那么玻色子对称允许减少(20.,21)的期望一个身体算子的谱,反过来,提供了一个能源下界。我们有一般 在哪里。因此对谐振子我们立即发现,结果一致与已知的(在这种情况下22,23)准确体解决方案。为了估计从上面基态能量,我们使用一个单一产品试验功能的形式 这波函数消失一盒外卷在。在我们优化对盒子的大小一般,我们有,在那里 如果我们申请(25谐振子),我们发现 也就是说, 另一个可溶玻色子问题是有吸引力的三角洲的潜力。精确的基态能量发现麦奎尔(24,25]给出的公式。与此同时我们获得的上下边界,分别从(23)和(25)是由 下界当然同意确切的解决方案。对于其他粒子的数量,估计,相应的库仑一个粒子问题一样,弱于那些紧密地绑定谐振子。也很好奇,无论是绑定管理复制正确的依赖McGuire的具体公式和马蒂斯展出。

6。结论

如果我们比较谐振子与水成的原子在三维空间中,我们看到两种不同系统的角度稳定和相应的波函数的空间分布。振荡器结合紧密,几乎不存在外球的半径,而原子是松散和必须考虑的半径或者更多。因此不足为奇局限问题越多,振荡器,收益率的变分分析正弦,但原子并非如此。粒子在一个盒子里是典型的限制问题。它生成的基础,乍一看可能会出现不合适的更普遍的问题。我们已经表明,它实际上是非常有效的问题,要么是在自然的潜力或在任何情况下在给定的边界条件。对系统的吸引力对势相同的玻色子相互作用的玻色子排列对称诱发行为接近一个按比例缩小的双体问题的高聚能导弹落项乘以和势能项乘以。我们表明,基态的多体的问题的产品可以有效地模拟particle-in-a-box波函数优化在盒子的大小。

确认

部分财政支持他的研究在批准号GP3438从加拿大自然科学和工程研究理事会是由r·l·霍尔欣然承认,和a·l·罗德里格斯感谢博士奖学金从CONACyT (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia、墨西哥)。

引用

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