提出的修改后的刘系统具有分数顺序

抽象的

研究了一个新系统中的混乱。我们已经表明，当系统的顺序小于3时，这种混沌系统再次混乱。广义Adams-Bashforth算法已被用于研究固定点的稳定性和混沌的存在。

1.介绍

众所周知，具有特殊条件的动态系统的非线性方程具有混沌行为[1]。随后，对混沌和混沌系统进行额外的研究。因此，不同系统的解决方案显示了它们的混乱行为，如陈氏系统，Chua的动态系统，双摆的运动，以及其他人之间的rossler系统。首先，据认为只有在微分方程系统的顺序完全3的时候存在。当差分方程系统由三个第一阶微分方程组成时，系统的顺序是订单的总和。但后来，一个非常有趣的事情就实现了;也就是说，也可以在分数阶系统中观察混沌行为。该系统由具有分数阶衍生物的微分方程组成[1-28.]。例如，Sheu等人。用分数秩序审查了牛顿 - 莱比克系统的混沌行为[10.]。分数阶系统研究中的重要事项是系统仍然混乱的系统的最小有效维度。对于不同的系统，该数量已经数量计算，包括分数阶lorenz系统[11.]，分数秩序Chua的系统[12.和分数秩序rössler系统[13.]。最近，已经在分数有序的刘系统中研究了混乱，其中已经进行了对该系统的动态的数值调查，并且通过Lyapunov指数进行了分析了系统的性质[14.]。在本文中，我们研究了小数秩序的刘系统概括的混沌行为。

纸张的框架如下。

在部分2，我们研究了一种新的分数阶系统（刘系统的修改）的行为，我们研究了相称和不计的有序系统，并找到了数值实验存在混乱的最低顺序。我们已经调查了固定点的不稳定性，并使用Lyapunov指数来存在混乱。在部分3.，我们说明了主要结论。

建议修改的刘系统

在本节中，我们审查了相应和不计的分数有序系统的渐近稳定性的条件。我们建议读者看到[15.-21.]对于以下部分。

2.1。相应的分数有序系统的渐近稳定性

让我们考虑相应的分数有序动态系统方程式 均衡点（1） 是这是那，并且来自固定点的小扰动。因此，我们有 在矩阵形式中写下系统 在哪里 在哪里是系统的雅各主义矩阵，如果没有纯粹的虚构特征值，因此平衡点附近的非线性系统的轨迹具有与线性系统的轨迹相同的形式[18.]。所以我们到达以下线性自治系统： 在哪里是矩阵和。系统 （5.如果才能才能脱渐近稳定对于所有特征值的。所以在这种情况下解决方案的 （5.）倾向于作为。因此，均衡点系统的渐近稳定性，对于所有特征值的。例如，

2.2。不加密分数有序系统的渐近稳定性

考虑以下不计的分数有序动态系统[19.那20.]。现在假设相应的分数有序动态系统方程式 在哪里。一个人可以写它那， 所以那是正整数。常见倍数的定义是的。均衡点和系统的小扰动和分别如上所述。所以我们得到了 它可以写成的地方 在哪里是雅各比亚矩阵在点处进行评估。定义是 即，如果所有等式的根源满足条件[21.]，线性系统的溶液渐近稳定如下： 左侧的术语（11.）是分数有序系统（IMFOS）中的均衡点的不稳定度量。然后，分数阶级（7.）如果条件是[19.那20.]

2.3。修改刘系统

在本节中，我们介绍了以下系统，并显示系统是混乱的： 在哪里那那那， 和初始条件导致混沌轨迹。同时，我们想要展示（13.）涉及分数令。此外，我们将计算系统仍然混乱的最小有效维度。相应的分数阶系统是 在哪里。在 （14.）如果我们选择，该系统称为相称，否则它是不明的。现在，我们有四个真正的均衡点（13.）显示在表中1。在表格中1，我们看到了相应的雅比亚矩阵的均衡点和特征值 马鞍点如果雅各比矩阵具有至少一个具有负实部位的特征值，则是稳定的。否则，一个具有非负实际部分的特征值被称为不稳定。如果有一个或两个不稳定的特征值，则鞍点具有一个或两个，分别是一个或两个不稳定的特征值。它是在文献中建立的[22.-26.]仅在索引一或两个的鞍点周围生成滚动。索引指数的点是连接滚动。桌子1表明均衡点和是指数二的马鞍点;我们有两个滚动吸引子[22.]，在由（14.）。

2.4。相称的订购系统

考虑系统方程（14.）， 然后让，所以它被称为这种情况的相称顺序。在这种情况下，系统会满足常规行为，然后我们有[15.-21.] 从图中1我们可以看到Lyapunov指数为符合命令方程式的情况（14.如果是积极的话[27.那28.]。因此，我们可以意识到系统并不表示价值的混乱行为。这种推论已经通过数值结果计算出来。而且，数字2说明了相位肖像-Plane为。数值实验与数据3.和4.证明系统具有混沌行为。另外，数字5.和6.代表解决方案和为了， 分别。adams-bashforth预测器校正器算法用于阶梯尺寸的数值结果。

2.5。无疑有序系统

在本节中，我们表明在相应的情况下是混沌系统的条件是不允许的情况。让我们考虑分数阶系统方程（14.）。数字7.和8.显示Lyapunov指数是肯定的那，以及案件， 分别。现在，让我们考虑以下案件（14.）。

（1）在我们选择的第一个条件下。因此，人们可以获得= LCM.。自从我们有， 然后 分数有序系统（IMFOS）中的均衡点的不稳定度量将是系统 在图中9.，没有混乱，而imfos[15.-21.]。这种后果导致IMFOS不足以存在混乱。

（2）作为第二个案，假设，所以在这种情况下= LCM.。我们也有，以及我们获得的 因此，这种状态的系统的IMFO是 如果我们看看数字10.我们以所提到的病情结束了系统的混沌行为。在这里，我们备注了混乱的系统的最低维度（图11.）。

（3）作为第三案，让。所以有一些操作我们得到了= LCM.那 如果我们计算系统的IMFO，我们将到达 数字11.和 （22.）指出系统没有混乱的条件。

（4）对于第四种情况，我们考虑。因此，我们将获得= LCM.那 第四个案件的IMFOS是 数值结果和图12.表明系统是混乱的这种情况。

结论

研究了新系统的分数顺序。对分数顺序的不同值执行数值计算。Lyapunov指数和文献中给出的分析条件已被用来检查混乱的存在。为相应的分数顺序计算最小有效维度。Mathematica 7已被用于本文的计算。

参考

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