存在性和鲁棒性的稳定Position-Momentum时间二次系统的相关性

文摘

我们讨论条件导致固定position-momentum量子态之间的相关性在福克与自然相关的和连贯的基础不变的一维时间二次哈密顿运营商如Kanai-Caldirola哈密顿。我们还讨论的一些基本特性,比如量子退相干产生的波函数对应的量子动力学的系统表现出没有timedependence量子关联。特别是,稳定的统计平均动量是在定义的时间间隔的进化基础的线性叠加指数质量阻尼系统的修改。

1。介绍

时间二次汉密尔顿描述系统的几个杰出的领域相关的物理兴趣,从量子光学(1- - - - - -6]宇宙学(7- - - - - -14)和加速器物理学(15]。这些汉密尔顿基本上代表了一种范式至于方面相关的正规治疗非自治系统在经典和量子水平(见,例如。16- - - - - -24)和引用)。几项研究已经致力于提供丰富的相干分析的细节损失接受量子波包动力学受时间二次汉密尔顿。在这个沟通,我们现在连接参数方面要求波包演化经历时间二次哈密顿动力学展览没有时间依赖的量子关联(和/或海森堡不确定关系)之间的位置和动量。据我们所知,这种观点在设计波包之前从来没有满足这些需求。实际上,发现时间间隔的量子统计动量稳定可能被视为一种令人惊讶的结果。如果是这样,可能低估了一课来自一个基本的例子,即指数阻尼质量(或Kanai-Caldirola)系统(25,26]。

本文的目的是双重的。首先,通过采取简单的例子,我们证明上述特性兼容富人现象学来自这些时间二次系统。第二,我们明确细节的一些统计特性显示系统time-diffeomorphic Kanai-Caldirola系统。

论文的大纲如下。部分2回顾了福克州与谐振子哈密顿质量和频率随时间变化和相关的不变算子和创建/湮灭算符。这部分收益Lewis-Riesenfeld (LR)状态和质量和频率之间的关系产生了常数position-momentum相关性。部分3使用mass-frequency部分的关系2找到系数Bogolubov映射的薛定谔运营商到彼此,然后显示系统的演化在时间和频率质量。节4,LR几何阶段的基础状态系统,介绍了相关性和一致性进行了讨论。最后一部分然后讨论了一般非绝热的势头系统恒定的位置相关的性质。

2。福克,Coherent-Type州获得恒定的动量

正如在许多论文所讨论的,时间的量子动力学的描述二次哈密顿系统基本上可以基于采用一种模式压缩形式主义。结果,首次导出了刘易斯和Riesenfeld (18,极好地了(19),从对称性分析和不变量理论很好理解27]。在描述时滞系统在量子层面,它有助于知道不变的运营商(22]。光谱不变的问题一旦解决,由此产生的特征向量都配备适当的几何相因子来表示一个特定的含时薛定谔方程的解。特别是,考虑一个广义非自治二阶量子系统由哈密顿算符 在哪里的位置和动量哈密顿共轭运营商,分别和质量和频率参数是时间的函数。基本不变的操作符 然后发现系统,一个真正的正函数,微分方程的解的Ermakov类型 (见,例如。27,28])。这个函数有一个精确的含义。的数量扮演的角色(归一化)时间振幅的利用模式解决经典运动方程的经典对应系统(2.1)。分解表达式可以推导出,包括时间毁灭和创造运营商和, (和是运营商数量)。这些阶梯运营商与位置和动量运营商(27]。为以后方便,我们定义这些关系: 与 (电化学当量)。因此,Fock-type空间是在不同时间的态下定义的操作人员数量(因此),。这些空间被映射到另一个通过时间Bogolubov变换(29日]。

同样,coherent-like基地在不同时间可能态下的定义与时间算子的谱问题有关,也就是说,。这些都是所谓的LR相干态(18)(实际上挤压状态(30.])。number-type州,因此coherent-type状态一个拉Lewis-Riesenfeld,不要解薛定谔方程的哈密顿算符(2.1)。要实现这一目标,必须配备适当的阶段(Lewis-Riesenfeld几何阶段(18),看4.1)下面)。这在几个方面澄清为什么这些国家的利益。

时间下二次哈密顿动力学、物理状态(例如,那些可能表现出最小海森堡测不准在某些初始时间),一般松散一致性在时间演化结果的时间Bogolubov(挤压)转换。这会影响position-momentum相关性。特别是,事实证明前面介绍,(2.6),可以认为是两次position-momentum LR国家之间相关性因为(以下) (lower-scripts和意味着差异是一致的评估或者福克职责)。Position-momentum时间的特征向量之间的相关性和可以显式地连接到时间质量和频率。从(2.6)和(2.3),一般人能写 在哪里和。原则上,怀疑可能用途之一(2.8)(电化学当量(2.3)),单一类别的非自治二阶系统与期望的挤压状态和生产行为模式而发展。很明显,这可能不是这样一个简单的任务,虽然。我们认为尊重关注这件事的情况下产生的常量值position-momentum不确定性关系。提供的函数是常数,海森堡测不准关系(2.7)通常保存在动态演化。协方差的消失,因此最低不确定性,显然是微不足道的恒定振幅和关切利用模式对相关经典问题,说(电化学当量),是一个常数(29日]。特别是,当(例如,),态下的是真正的相干态,。不断的出现,非零的相关性,因此nonminimal静止的海森堡测不准关系2.7),而不是获得只要质量和频率约束的关系 (;看到(2.8))。在这种情况下,。换句话说,我们上课的时间二次汉密尔顿最简单的例子就是著名的Caldirola-Kanai哈密顿以一个恒定频率和质量指数衰减。这可能哈密顿代表了更自然的从物理的角度来看。然而,有趣的是,微分形式(2.9)只是一个时间Riccati-type方程,寻求一个解决方案在恒定的质量(而非恒定频率)产生一个真正的参量振荡器,和。事实上的另一种方式看方程(2.9)。的微分同胚映射产生一个时间二次系统与一个有效的固定频率和一个有效质量。没有理由限制Kanai-Caldirola系统观察常数海森堡测不准的产品。像人们预计的那样直观的理由以及通过初等数学,通过频率能量可以流入系统参数提供有相应质量参数的变化。系统所表现出的动态特征可能mass-frequency关系(2.9)从而只是继承那些恒定质量阻尼,区别的主要区别是在“实验室”时间的流逝和系统“合适的”时间。

3所示。态下的特性与常数相关

的描述量子系统的动力学描述的汉密尔顿(2.1)是采用隐含的时间压缩公式。事实上,薛定谔运营商实现瞬时对角化哈密顿算符的瞬间和时间依赖运营商通常可以被映射到另一个通过Bogolubov变换(27,29日), (在其他的暗示)。特别是,如果进化暗示了(2.9)发生时,我们很容易发现Bogolubov系数和根据不同

在这种背景下,受欢迎的平稳性的量子关联,在实践中,紧密联系的断言哈密顿和不变的运营商不能有共同的瞬时光谱分辨率的即时当“steady-behavior”开始。事实上,系数以上在初始时间不消失因为存在一个初始的挤压(在):在,梯子运营商和不能转变成梯子运营商和与质量标准的谐振子和频率。在时间产生的特征向量瞬时对角化不变的不能配合的哈密顿在同一时间()。

属性特征向量的模态福克在任意的时间是发达的维格纳函数低模式如图所示1。我们看到的状态展览挤压,不如相应的平滑过渡,从古典到nonclassicality态下的谐振子。维格纳函数演化的相空间,这些逐步分散和减少在大小,但收敛中心(如阻尼的作用)。

互补的角度提供的转移概率的状态对谐振子的状态。一旦常数动量拟设(2.9)进入考虑,这些概率通常可以显示频率作为时间的函数参数和它的时间积分通过调整公式推导(31日]。直观的检查显示功能,基本上可以总结如下():(i)这些都是不对称的钟形曲线,产生的衰减率小于最初的增长率;(2)只要动量的常数值增加,最大值是left-shifted(即。,为a monotonically increasing frequency parameter最大,投影一个初始时间福克状态更早时间的增加)和抑制率变得更大;和(iii)的函数,表现出一副极值,虽然作为一种非常边际效应(见图2和3)。

进一步了解了通过观察二阶相关函数

在最初的时候,这些假设值 它总是大于Poissonian价值不管具体的值和(单调增加和功能),见图4。在渐近极限,达到极限的值;一般来说,更大的大小迅速,越接近极限。

4所示。波包与规定的稳定的协方差矩阵的元素

上面的照片获得的单态下时间湮灭算符和显然靠引入几何阶段。因此,让我们描述静止的相关特性通过考虑解决方案的薛定谔方程一般略高于一个本征态配备了LR阶段。所需的几何相位酱线性组合(态下的复杂的常量)的这种方法解决了薛定谔方程显然从酉算子获得

也就是说,必须考虑叠加(18] position-momentum相关矩阵的条目相关的波包(4.2)来确定的 在时变系数假设明显的标准形式,取决于归一化常数和相位的正弦和余弦的差异。描述中出现的干扰模式的相关几何阶段获得的评价差异的阶段(4.2)。作为Lewis-Riesenfelds总几何相位可以与每一个本征态线性依赖于那么,无论具体的一个线性组合,干扰的时间依赖性基本上是由单相。尽管如此,了解所需的属性的数量(4.3)可能获得仍不明显:它通常需要解决高度非线性微分方程几个质量和频率时间参数。

让我们专注于如何获得振荡器参数,以及选择和体重的波包,产生规定的恒定值position-momentum的相关性在。我们从上一节的课是需要精确的质量和频率之间的关系来生成福克——或者coherent-type州挤压特征可以实施从头开始这些足够强劲的相关性。天真,我们可以说,哈密顿动能项和能量注入系统通过潜在的变化在进化过程中是这样,如果美国最初是适当的选择有一个有效的动态平衡,在连续的时间他们的角色。这句话我们做的是更一般的结构类型(4.2)的相关性是强劲的动力也可以确定如果质量和频率参数正确连接到另一个通过其他关系。识别的可能性非空集的状态享受财产会同相关的参数条件下,通过避免高度复杂的非线性微分方程而约束拓扑阶段,很简单支撑在非常基本的数学框架。需要专注于最简单的选择功能。它关心的是常数的年代,这只是质量参数特征的时间依赖性右边的身份(4.3)。反过来,这意味着Ermakov方程(2.3)实际上是相当于一个条件频率参数: 在哪里是一个常数,而遵循的条件开出一个祝愿。通过这种方式,质量和频率参数。海森堡的恒定值差异产品可以直接获得,我们通过例子说明的两个福克态下的不变算子, 如果常数和规范化的年代,它是非常见的恒常性协方差(以及海森堡的不确定性)被发现是恒定的。维格纳函数数据证实了6,7,8和9一般机制发生,往往使对称的形状在相空间维格纳函数和挑出不同的山峰出现挤压动力学相似描述福克态下。旋转干涉相空间由于挤压动量的方差,以及弱波动的背景水平以外的地区转换从古典到nonclassicality(反之亦然)有重大影响。这些都是一般特征。然而,如果量子数的模态态下进入线性组合(4.5)太近(例如,),那么初始干扰条件影响的属性太多,维格纳函数和初始值相关性并不健壮的时间演化。例如,查询恒定协方差就相当于有动力这样吗 与和

显然,要小心使用,因为术语。一个自然的时间窗口进入系统的描述,这基本上是定义的允许范围,()。一个非零的协方差将不连续的任期到质量/频率对应。如果一个人愿意承受的描述动态的不连续的参数,然后一个总是记住,每当出现不连续的情况和然后改变福克基础和一个匹配的Bogolubov系数通常是必需的。要求协方差应该消失会提供保护而不是从这样的不连续性。如果拟设和被认为是吗

反过来,质量/频率通信(4.4)最终收益率

的波函数,预计一个轻微的困难的存在 意味着正式的现实条件的函数功能只有在 这是可能的前提和小于(小,这是更广泛的余弦函数参数的范围)。

4.1。Lewis-Riesenfeld连贯和猫

在讨论国家扩大特征向量的线性组合对应时间湮灭算符,值得注意的是,它们不含时薛定谔方程的解。一套更有用的州比Lewis-Riesenfeld基础由让酉算子之一,占几何相位着装行为在它的每个元素与一个常数相关特征值,。自状态,因此,仍然态下的时间湮灭算符,但复杂的特征值,由两次真空几何相位相移对“裸”LR的特征值的状态。最重要的是,对于任何一个常数,矢量状态只是一个含时薛定谔方程的解决方案(与初始压缩连贯的形式固定在瞬时对角化之间的关系哈密顿(2.1)和不变的(2.2),也就是说,由Bogolubov关系(2.5)和(3所示。1))。这句话一样自然的关键应用程序有必要成分的组合的年代。例如,对于标准的薛定谔猫态,这意味着他们根据定义的一个实现 (常量)。有趣的概率可以很容易地计算;特别是, 一个恒定的协方差会因此获得前提是 是常数()。不同的工作假说分析允许的情况下可以考虑。但自假设不同,质量参数的不连续在进化过程中需要维持一个非零的常数协方差。这意味着可能打破与消失的协方差相关的质量参数曲线(图5)。稳定条件无法生存的损失一致性机制由动力学特征之外适当的时间窗口,除非是靠一个合适的瞬时质量参数的一阶导数跳到恢复可能初始配置(在一个典型的时期,同样的论点显然用)。特别是,辅助函数的恒常性的选择立即变成了大众的条件(因此频率(4.4)根据变化修改指数律在定义的时间间隔(图5)。

5。讨论

我们认为position-momentum协方差矩阵元素与薛定谔方程的解决方案的系统动力学是由二次哈密顿质量和频率随时间变化的参数。特别是,我们注意到国家规定的可能性常数可以构造相关性。事实证明,相关性可以相当强劲如果适当的能量流入系统动力学。起初,人们可能会错误地认为相关矩阵元素的恒常性是一种温和的影响反映的情况下绝热(或非常接近)政权必然发生。这个结论是不正确的,一般来说。的平稳性position-momentum海森堡不确定关系(2.7)所示,2.9)发生,事实上。可以很容易地推断通过引入参数与绝热性有关和慢变化时间作为惯例,对于所有二次汉密尔顿,mass-frequency关系与这样的演进,忽视和和寻找可能对频率的依赖。值得注意的是,这意味着和海森堡测不准的极小性LR状态。恒协方差相反意味着动力条件。的极限因此,促进平稳性nonminimality条件(2.9)国家(同样)的零协方差。同时,记住政权绝热几何相位而言仅仅是减少了一个积分时间频率参数(32),这个函数描述寻求动力机制是完全缺席。的速度指数项的右手边(2.9),因此,量化所需的绝热性偏差的过程从而保持稳定模态福克之间的协方差和Lewis-Riesenfeld广义相干态。细节,因此,提供了关于量子态显示的特性与非自治二次哈密顿动力学中隐含的平稳性海森堡不确定性和/或相关性。一旦在不变的框架内执行分析和利用Bogolubov映射,这样很自然了。在其最简单的形式,它可以正式接受初等代数数学。然而,分析意义在于它提供参数支持违反直觉的波包的例子非自治系统,不改变position-momentum相关性属性在进化过程中尽管这些(即。实际上,形状)散屑。关键仍在最初确定适当的能量流入和合适的挤压状态,表现出的性质保持稳定的相关性,至少每隔一段时间(见(4.6)和(4.15))。

引用

1. r·k·Colegrave和m . Sebawe阿布达拉”与质量指数衰减,谐振子”物理学杂志》的一个,14卷,不。9日,第2280 - 2269页,1981年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. c . k .法律有效哈密顿辐射腔和一个移动的镜子和时变电介质,”物理评论一个卷,49号1,第437 - 433页,1994。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. 中情局Pedrosa,“量子电磁波在非平稳的线性媒体”,物理评论一个,卷83,不。第三条ID 032108, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 中情局Pedrosa、c . Furtado和玫瑰花,”光传播:从电介质弯曲时空。”EPL,卷94,不。第三条ID 30002, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. d . f .墙壁和g·j·米尔本,量子光学斯普林格出版社,柏林,第二版,2008年版。视图:出版商的网站|Zentralblatt数学
6. n . c . Menicucci g·j·米尔本,“单一困离子含时谐振子,”物理评论一个,卷76,不。5、文章ID 052105, 2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. l . p . Grishchuk和y v Sidorov挤压的量子态重子遗迹和原始密度波动,”物理评论D,42卷,不。10日,3413 - 3421年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. a . Geralico g .血小板g .最近,g . Soliani”新方法研究早期宇宙的量子效应”物理评论D,卷69,不。4、文章ID 043504, 2004。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. g .血小板和g . Soliani nonlinear-dispersion宇宙论Trans-Planckian效应”,B物理快报,卷588,不。1 - 2、1 - 6,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. 卡瓦略·a . m . m . c . Furtado,中情局Pedrosa,“标量字段和精确不变量Friedmann-Robertson-Walker时空,“物理评论D,卷70,不。12篇文章ID 123523 2004。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. 中情局Pedrosa、c . Furtado和玫瑰花,“精确线性不变量和量子效应在宇宙早期,“B物理快报,卷651,不。5 - 6,384 - 387年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. c·e·f·洛佩斯中情局Pedrosa, c . Furtado和a . m . d。m .卡瓦略,”高斯波包的标量场在德西特宇宙,“数学物理学报,50卷,不。2009年8篇文章ID 083511。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. k·巴克,中情局Pedrosa, c . Furtado“几何阶段和挤压的量子态遗物引力子,“数学物理学报,50卷,不。11日,ID 113521条,2009年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. 中情局Pedrosa、k·巴克和c . Furtado“高斯波包的遗物引力子,“B物理快报,卷671,不。2、314 - 317年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. h .秦和r·c·戴维森”的对称性和不变量与时间频率振荡器和包络方程,”物理评论特别Topics-Accelerators和梁,9卷,不。5、文章ID 054001, 2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. j . Struckmeier“哈密顿动力学辛空间自治和非自治系统的扩展阶段,“物理学杂志》的一个,38卷,不。6,1257 - 1278年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
17. j . Struckmeier和c·里德尔”规范的转换和精确不变量对时间哈密顿系统,”尤其是物理学,11卷,不。1,15-38,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
18. h·r·刘易斯和w·b·Riesenfeld”一个含时谐振子的精确量子理论和时变电磁场中带电粒子,“数学物理学报,10卷,不。8,1458 - 1473年,1969页。视图:谷歌学术搜索
19. 诉诉Dodonov和v . i .男人'Ko相干态和量子阻尼振子的共振,”物理评论一个,20卷,不。2、550 - 560年,1979页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. 我。嗯,K.-H。研,t·f·乔治,“量子阻尼谐振子。”物理的报告,卷362,不。2 - 3、63 - 192年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
21. g .血小板”系列Weyl-ordered形成的角变量依赖于时间的振荡器,”物理学杂志》的一个第41卷。。18日,ID 185302条,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. 诉诉Dodonov诉我男人'ko,“不变量和不稳定的量子系统的演变列别捷夫物理研究所学报》上艾德·m·a·马尔可夫,183卷,Nova科学,Commack,纽约,美国,1989年。视图:谷歌学术搜索
23. f·哈斯,阻尼Pinney耗散量子力学方程及其应用,”自然史Scripta,卷81,不。2、文章ID 025004, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. m . Razavy经典和量子耗散系统英国伦敦帝国理工学院出版社,2005年。
25. e . Kanai“量子化的耗散系统,”理论物理的进展,3卷,不。4、440 - 442年,1948页。视图:谷歌学术搜索
26. p . Caldirola“非守恒的系统的量子理论,”诺沃Cimento。b .联赛11,卷77,不。2、241 - 262年,1983页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. g . Profilo和g . Soliana Group-theoretical方法经典和量子振子质量和频率随时间变化,“物理评论一个,44卷,不。3、2057 - 2065年,1991页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. s . k . Suslov“动态不变量的变量二次汉密尔顿,”自然史Scripta,卷81,不。5、文章ID 055006, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. g .血小板g .最近,g . Soliani“注意连贯性的损失在波包压缩系统,”国际期刊的量子信息,卷2,不。4、529 - 540年,2004页。视图:谷歌学术搜索
30. 中情局Pedrosa”,评论含时谐振子相干态,“物理评论D,36卷,不。4、1279 - 1280年,1987页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. 惠普袁,“双光子相干态辐射场,”物理评论一个,13卷,不。6,2226 - 2243年,1976页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
32. d·a·莫拉莱斯”对应贝瑞的二次汉密尔顿阶段和刘易斯的阶段,”物理学杂志》的一个,21卷,不。18日,L889-L892, 1988页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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