时空交叉点和崩溃黑洞在更高的维度

文摘

我们回顾最近的结果黑洞引力坍缩的造型到更高的维度。构造模型通过连接两个爱因斯坦场方程的精确解:一个内部崩溃的流体解决方案和真空外部解决方案。真空外部解决方案要么是静态或包含引力波。然后我们回顾全球几何属性的匹配方案,除了黑洞,可能包括裸奇点和虫洞的存在。在辐射表面的情况下,我们可以选择显示边界的数据,在某种意义上,任意接近Schwarzschild-Tangherlini的数据解决方案。

1。介绍

高维黑洞最近越来越多的研究作品的主题(见[1)审查)和理论物理学中发挥重要作用,特别是在弦理论。然而,崩溃的实际动态过程的研究导致了黑洞的形成几乎没有应得的注意力从数学的角度来看。

数学,黑洞的形成可以通过构造适当的匹配分析时空安定下来通过引力坍缩黑洞的解决方案。两个时空的结(或匹配)要求平等的第一和第二基本形式在一些匹配边界超曲面。这些条件的一组微分方程的时空度规函数需要满足匹配的边界。这通常不是一个简单的问题,满足所需的度量函数也各自爱因斯坦场方程(斯)两岸的配合面。在下面,我们回顾一些关于黑洞形成的模型的结果与强调模型的时空匹配一个外部真空或宇宙背景。

宇宙常数为零有众所周知的球对称的例子,最简单的是Oppenheimer-Snyder模型结果的匹配Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW)尘埃度规史瓦西外。为球的情况下,结果是不知名的:匹配的-FLRW与史瓦西的解决方案(也称为Kottler解决方案)调查了Balbinot et al。2),中(3],·马尔科维奇和夏皮罗(4),其-Lemaitre-Tolman-Bondi对应的湖(5]。匹配的灰尘-Szekeres解决方案Kottler最近研究了Debnath et al。6Bonnor[](后工作7]),而匹配的流体切向压力和崩溃Kottler已经调查Madhav等人。8]。上面的示例产生黑洞的解决方案在球对称。

崩溃nonspherical黑洞研究。史密斯和曼(9显示一个可以匹配一个崩溃FLRW一渐近反德西特时空(广告)外,引力坍缩到更高的模型属渐近广告黑洞。在一个相关的工作,就业10]匹配平面FLRW度量辐射Vaidya外的崩溃导致一个环形的黑洞。随后,有相当大的兴趣模型的环形和更高的属黑洞(也称为拓扑黑洞),贝壳,和视野,看到的,例如,11- - - - - -14),部分原因是真空状态的“景观”的存在在弦理论积极的,消极的,零(见,例如,15])。最近,(16)全面崩溃的早期研究和构建模型的非均匀和各向异性流体在平面拓扑渐近广告黑洞,双曲对称。

还有一个巨大的文学形成的黑洞在宇宙模型。本质上,有三种类型的不同几何模型,即模型(i)连接没有壳,两个指标,例如,swiss-cheese-type模型(见,例如,(17)和引用其中);(2)与外壳连接(这些可以薄或厚),例如,模型与域壁和泡沫上文中提到的;(3)没有连接,一个指标是参与的问题,例如,在宇宙学模型扰动造成的崩溃比密度背景。

的原始黑洞(PBH)形成,由于一阶密度扰动引力坍缩FLRW早期宇宙辐射的模型阶段首次研究了Zeldovich,诺维科夫先生(18)以及霍金(19]。这些作品被普遍(20.,21尤其是],包括黑洞形成宇宙弦的崩溃产生的相变与对称破坏(22]。泡沫在相变墙形成的碰撞也视为PBHs来源(23- - - - - -25]。不同的场景随后被研究和审查(26]。最近,宇宙黑洞的形成由于量子色和电弱相变进行了研究,例如,(27)后早期作品的28)和泡沫碰撞已经详细调查(各种潜力和使用平面、双曲线和球形对称dS和广告阶段),例如,(11,29日]。此外,PBH形成宇宙学模型最近一直在分析(30.),其中包含一个有趣的评论的数值结果2011年(审查情况下看到31日])。反过来,黑洞的崩溃FLRW模型也被调查了使用非线性标量度量干扰辐射(32)和标量场背景(33),与那些近期作品建立有趣的观察宇宙光谱nongaussianity界限。

在这篇文章中,我们将最感兴趣的情况下涉及时空连接没有壳,特别是,我们将关注nonspherical包含一个非零的时空。我们先来回顾一下时空理论的连接然后我们总结最近的结果关于黑洞的引力坍缩高维(34),概括的结果(16]。我们首先考虑一个家庭的解决方案真空爱因斯坦方程维度包含黑洞的解决方案。我们发现一些可能的内部崩溃的解决方案与尘源和研究相应的匹配问题。然后我们分析全球几何属性匹配的时空,找到条件的时空没有裸奇点。

我们还审查的有趣的案例辐射引力坍缩的典范。特别是,我们将各向异性Bizoń-Chmaj-Schmidt (BCS)的解决方案维度和证明它可以匹配一些灰尘内部崩溃。BCS解是已知的(35)通过辐射到Schwarzschild-Tangherlini安定下来(SchT)解决方案。反过来,后者被认为是稳定的(35,36),我们表明,对于一些内部,数据匹配的表面可以选择任意接近SchT外部的数据(34]。所以,由此产生的时空模型流体在五维空间的引力坍缩的外部发出引力波落定SchT解决方案。

2。时空的几何理论在短暂的连接

让和是两个维空间面向空间时间的界限和这样分别和diffeomorphic。匹配的时空不相交的联盟吗与分确定这样满足连接条件(以色列[37[],克拉克和降阻38火星和Senovilla]和[39])。自然后diffeomorphic,一个可以查看这些边界为面向三维流形diffeomorphic可以嵌入在吗和。让和在坐标系统和分别在哪里和。这两个嵌入由以下给出地图: 这样。的微分同胚映射来是。

考虑到基础切平面的在一些向前,推地图为三个线性无关的向量由: 另一方面,使用拉的地图的指标可以映射到给定两个对称2-covariant张量和在基础的组件是的第一个匹配条件有平等的第一基本形式(以色列(37]) 的基地和可以确认, 因为可以超曲面,所以今后我们代表通过。

我们现在定义一个1,正常的超曲面,因为向量在切线空间构成的基础在。自第一结条件允许的识别与,我们只需要确保这两个基地的方向相同为了满足识别整个四维切空间的在,。

第二基本形式给出和第二个匹配条件为null的表面,第二基本形式的平等我们注意到这些匹配条件并不取决于法向量的选择。第一个匹配的条件下保证度规的连续性而第二个条件防止无限跳不连续爱因斯坦场方程的黎曼张量,这样分配意义上的定义。

这个理论也充分发展的情况下,匹配的边界是null或改变性格。在这种情况下,正常的向量由所谓的替代吗操纵向量,向量nonwhere切线用于定义普遍第二基本形式,参见[39)的细节。

我们感兴趣的特定情况下配合面继承一个对称的两个空间。据说这样的匹配保持对称。在实践中匹配超曲面的一个要求是相切的轨道对称群保存下来,看到40]。

我们注意,如果外部真空时空,内部包含一个流体的正常压力流体边界的消失。这是一个事实的结果意味着匹配条件我们还要注意,如果内部包含灰尘然后边界受测地线,我们将探讨这一事实来解决匹配问题在下面。

3所示。黑洞在更高的维度

一个维洛伦兹流形的解决方案爱因斯坦方程,宇宙常数 和能量-动量张量 如果它的里奇张量满足在哪里是一个常数,和指数。我们将考虑高维黑洞的家庭中给出下列命题(参见[41,42])。

命题3.1。让是一个爱因斯坦维黎曼流形与里奇标量,让 在哪里,是常数。如果是一个开区间在哪里定义良好的,不消失,那么维洛伦兹流形给出的和 是一种与宇宙常数真空爱因斯坦方程的解决方案。

很容易看到,上述指标对Kottler度量任意一维度。然而,黑洞与上述指标不立即融入平时的直觉在四维黑洞。例如,自度规零部分的无穷不需要常曲率度量,时空不是渐近平(也渐近德西特(dS),分别地。反德西特(广告)的情况分别地,);然而,通过分析零测地线的方程和,一个人可以表明,时空是弱渐近简单(34]。

命题3.2。指标(3所示。3)形compactifiable在无穷远处,弱asymptotically-simple。

因此,相比之下,四维的情况(16),以下属性。(我)与,和,只有一个零,对应于一个视界,并得到一个积极的恒大。这是一个黑洞的解决方案,它可以被认为是史瓦西度规的通性。(退化)指标在地平线上,这也是保形度量未来零无穷。(2)与,足够大的积极,两个0之间是正的,对应于一个黑洞视界和宇宙视界。解决方案对渐近dS Kottler一解决方案。(3)与和,又有一个零,对应于一个视界,解难题Kottler渐近广告解决方案。(iv)在前面的类的解决方案可能没有全球对称性除了staticity杀死向量。这是因为紧凑,负曲率标量爱因斯坦流形没有全球性的对称性,也没有,例如,里奇平坦度规(一个例子和)。

3.1。普遍Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker内饰

我们将填写解决方案(内部)的前一节崩溃尘埃的解决方案,这样生成的全球时空是一个模型与黑洞引力坍缩的结束状态。为了做到这一点,我们采取以下类别的普遍FLRW时空。

命题3.3。的维洛伦兹度规, 与宇宙常数是爱因斯坦方程的解决方案和能量-动量张量,对应于尘流体密度和速度,当且仅当和满足守恒方程: 为常数,弗里德曼的眼里是方程:

我们考虑内部指标的匹配(3所示。4)静态外观(3所示。3在超曲面受径向类时测地线(3所示。3),也就是说,一个表面的常数(说)(3所示。4)。然后我们解决匹配条件(2.5)和(2.9)与斯(3所示。6)得到以下结果34]。

定理3.4。指标(3所示。3)可以匹配FLRW-like指标(3所示。4)前提是和。

匹配的边界comoving崩溃的流体动力学是由(3所示。6)。我们所说的时空匹配之前的定理FLRW-Kottler时空。现在我们总结的一些性质的FLRW-Kottler时空三个案例,,:当爱因斯坦流形不是一个点cobordant(例如,)我们发现的解决方案不能有规律的起源,虽然他们可以定期与时空虫洞或“尖端”在原点。当有一个奇点在原点,这可能是也可能不是从无穷。如果奇点是可见的裸奇点因为它不是隐藏的地平线。接下来的三个命题利用这些方面,和数字1,2,3彭罗斯展示图,代表了全球时空结构的匹配情况,,(34]。特别是,通过对比正形FLRW宇宙的生命周期可能值的上确界我们显示34)以下。

(一)

(b)

(一)

(b)

(c)

(一)

(b)

命题3.5。如果(因此),不是一个球体的局部裸奇点FLRW-Kottler时空总是可见的从未来空无穷为,但可以被隐藏和(时空维度)。

有趣的是,(43]研究了高维尘埃时空与崩溃同时也发现,维度最后中央奇点总是隐藏的地平线,而为裸奇点可能出现,因此宇宙审查猜想是违反了。通过建设、内部崩溃是球形的,而在这里我们允许内部时空与其他拓扑。

命题3.6。如果(因此),不是一个球体的局部裸奇点FLRW-Kottler时空可以总是隐藏除了如果宇宙FLRW recollapsing(因此),。

这个案子虫洞的解决方案可能有因果关系曲线,从一个其他和可能违反因果关系。下一个命题,特别是州这种可以避免的条件(参见Galloway的结果(44])。通过这些条件(分别地显示,未来。,past) horizons hit the matching surfaces at marginally outer trapped (resp., antitrapped) surfaces which are spacelike and, in turn, that these two curves touch at。

命题3.7。为FLRW-Kottler时空满足以下。(1)如果和不是一个球体的局部裸奇点FLRW-Kottler时空总是可以隐藏的。(2)如果然后尖端裸奇点不是本地的。(3)如果然后没有因果关系曲线可以从一个穿越虫洞到另一个。

3.2。普遍Lemaitre-Tolman-Bondi内饰

我们现在考虑高维版本的非齐次Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB)解决方案,总结这些的45]。

命题3.8。的维洛伦兹度规, 与宇宙常数是爱因斯坦方程的解决方案和能量-动量张量,对应于尘流体密度和速度,当且仅当,和满足 对于一些功能和, (点和总理表示分化和)。

这个指标有三个免费的功能,即,,,其中一个可以被协调的自由。我们寻求匹配所代表的内部指标(3所示。7)静态指标所代表的外部(3所示。3在表面受径向类时测地线(3所示。3),也就是说,一个表面的常数(说)(3所示。7)。匹配条件的解决方案(2.5)和(2.9)让我们证明34]。

定理3.9。指标(3所示。3)可以匹配LTB-like指标(3所示。7)前提是和。

再次注意,匹配边界comoving崩溃不均匀流体及其动力学现在是由(3所示。9)。我们将使用术语LTB-Kottler时空匹配的解决方案。LTB-Kottler时空中获得的全球性质定理3所示。9比我们发现更加多样化的FLRW-Kottler时空。例如,可以很容易的找到一个例子里面有虫洞的黑洞形成了积极的和,34)(类似的结果在4维空间中(46])。

4所示。崩溃与辐射表面

在本节中,我们考虑的模型与重力波的外部引力坍缩,这样外部指标将时间一概而论的3所示。3)。这是一个特别有趣的问题的观察和实验的目的(36]。我们把Bizoń-Chmaj-Schmidt (BCS)指标尺寸(36),虽然在其他维度ansetz相似(见[47])。然后我们考虑三种不同的内部与外部,即各向异性一概而论FLRW模型(34]。考虑指标: 在哪里,是函数的和。一个形式是左不变的标准李群结构并且可以作为在哪里在欧拉角与,,。的时空被解释为包含纯引力波与径向对称(36]和Schwarzschild-Tangherlini (SchT)限制了。有一个剩余协调自由;在(4所示。1),可以使用哪一个任意一个类时曲线。的维真空斯给(36] 在一起的准线性波动方程在[36),作者解决这个系统数值和在与。在BCS类,它们提供的数值证明线性扰动SchT衰变时间以便SchT线性稳定的,在这个意义上。内的非线性稳定性SchT BCS类后来成立于(35]。

我们会给数据,和法向导数在类时边界内部崩溃的评估选择。独特性和当地存在遵循标准。从[35),人知道,如果数据接近SchT给出一个渐近平超曲面,那么解决方案将永远存在,保持接近SchT解决方案。正如我们将看到的,在我们的一些情况下,数据可以选择任意接近SchT数据。

4.1。普遍FLRW内饰

作为内部指标,我们将考虑三类FLRW-like解决方案基于黎曼Bianchi-IX空间指标,分别Eguchi-Hanson度量(),-Eguchi-Hanson指标(不包括的),-Taub-NUT指标(,包括作为一个特定的情况下)。

现在我们总结我们的主要结果和离开的细节证据接下来的三个部分(参见[34])。

定理4.1。在每种情况下,内部度量度量提供一致的数据(4所示。1)comoving类时超曲面。当地存在的辐射表面附近的配合面然后得到保证。对于Eguchi-Hanson和-Taub-NUT与,数据可以选择接近Schwarzschild-Tangherlini的数据解决方案。

以下4.4.1。Eguchi-Hanson度量

江口和汉森发现一类自对偶解的欧几里得爱因斯坦方程与度量(48] 与由(4所示。2),是一个真正的常数。全面FLRW度量建立在这个黎曼度量斯这样的粉尘来源减少我们比赛这parameterised由。第一和第二基本形式的平等然后给了我们计算的,,在从内部的数量。在这一点上,我们有,,在,我们使用规自由设置在。由(4.10),我们有说数据是接近SchT数据,我们希望这些小。第一项是小。第二项没有绑定将会增加减少为零。如果我们限制由其价值时略微外困表面形式然后,从弗里德曼方程,这当这样我们控制在通过控制。因此,通过选择的位置,在,选择,我们可以选择数据接近SchT。

4.1.2。的-Eguchi-Hanson规

的-Eguchi-Hanson指标是由(49] 在哪里。这个指标完成和,,在那里在一个整数。自有关一个完整的解决方案,我们不能从这里通过获得之前的情况。然而,匹配公式做正式允许这个极限。全面FLRW度量这个指标是建立在和各自的斯源减少灰尘匹配的条件给我们可以计算内部数据而言,像以前,检查,这是符合斯(4所示。3)和(4所示。4)。然而,在这种情况下,它是不清楚,我们可以选择数据接近的法向导数SchT数据是这是小的,我们需要上大略微困外表面。很难看到如何安排,所以虽然表面存在局部的解决方案,我们没有理由认为它将SchT安定下来。

4.1.3。-Taub-NUT

我们认为黎曼Taub-NUT度量宇宙学常数(而不是与我们的约定)50,51] 在哪里,使用它来构建内部: 尘源再次斯(4.13)。从匹配第一基本形式读第二匹配条件之前的表达式在是一致的计算(4所示。3)和(4所示。4)。现在注意,如果然后度规(4.16)正是四维双曲度量。在这种情况下,和消失在的值是什么,所以外观指标正是SchT:这是一个案例从一节内部现在是标准FLRW宇宙学。因此,如果我们把接近我们获得的数据接近SchT数据。看到这,集。然后,所以和数据根据需要可以选择小通过选择大吗和小。

确认

本文的工作总结与何塞Natario和保罗·托德合作完成的。作者支持FCT项目PTDC /垫/ 108921/2008,欧洲核子研究中心/ FP / 116377/2010,和Est-C /垫/ UI0013/2011 CMAT,米尼奥大学做,通过FCT plurianual费德基金”项目危险Operacional Competitividade竞争。”

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