沃纳国家结构和纠缠的分类

文摘

我们目前应用李群表示论的分析结构和当地统一的分类标准沃纳州,有时也被称为decoherence-free州,州n量子位不变由当地转换每个粒子都是相同的。我们引入一个multiqubit泛化的单重态和施工组装这些量子位沃纳州。

1。介绍

量子纠缠,量子理论的一个特征被薛定谔(1)和受雇于贝尔(2,3)在当地现实主义的排斥,被视为一种资源包括计量量子计算,量子信息处理任务传送,一些形式的量子密码学。由应用程序来计算和通信,纠缠的复合系统量子比特或量子位,特别感兴趣。

纠缠的问题是了解外地的属性状态和回答操作问题例如当两个给定的状态可以通过本地互换操作单个子系统。这激发数学问题分类的轨道上的本地酉群的行动空间的状态。

本文的目的是解决这些问题的沃纳州,这定义这些状态不变的任何特定的作用下single-qubit酉算子作用于所有人量子位。沃纳州已经发现大量的使用在量子信息科学。最初在1989年推出的两个粒子(4)区分古典相关性和贝尔不等式的满意度,沃纳州发现使用在嘈杂的描述量子通道(5作为示例,在非加和性要求6和研究确定的净化7]。在什么可能是一个实际的应用程序来计算在嘈杂的环境中,沃纳州位于decoherence-free集体退相干子空间(8- - - - - -10]。最近的一个例子是如何分析的结构很有用的工作Migdał和Banaszek11在保护信息免受量子位使用沃纳州的损失。

我们应用李群的表象理论,尤其是Clebsch-Gordan分解表示的在张量产品和表示理论在三个变量的多项式,得到结构定理沃纳州和地方统一的分类。我们总结一下最近的结果的特殊情况纯沃纳州(12),对称的沃纳州(13节)3。我们现在新的结果一般情况下混合沃纳州的部分4。我们引入一个泛化的单重态和使用这些州建设沃纳州。

2。当地酉群行动

让表示本地酉(陆)组量子位。陆的运营商作用于一个量子位密度矩阵(即。,一个半正定矩阵与跟踪1) 在这个符号,沃纳州定义密度矩阵的集合这样对所有在。我们将编写表示该小组 陆集团的。

的集合量子位密度矩阵是一个凸集的向量空间,在那里四维的向量空间吗埃尔米特矩阵。一个方便的依据是,在那里是单位矩阵,,,是泡利矩阵。每一个元素(是否是正数或跟踪1)可以唯一地写在表格,在那里是一个多索引,为,表示 与真正的系数。

坐在里面是纯粹的空间状态,1级密度矩阵的形式,在那里是一个矢量希尔伯特空间的纯量子位。我们将使用计算基向量为,在那里是一个多索引,为。纯粹的状态向量的扩张在计算基础的形式的系数是复杂的。注意,我们使用相同的多索引符号“国防部4”multi-indices泡利矩阵的张量,“国防部2”multi-indices计算基向量。通过上下文将清楚的区别。

3所示。纯粹的和对称的沃纳州

在[12),我们证明的一个结构定理纯沃纳州基于以下几何结构。开始与一个圆一个偶数标记点,标记为1为了圆,说顺时针。让的分区成双元素子集。每个双元素子集决定一个和弦连接和。我们实施的条件,没有两个和弦可能相交。对于每一个和弦在,让是一个单重态在两个量子位元的,定义状态的产品 单线态的状态,在所有在。我们所说的表单“nonintersecting和弦图。“图14量子位的说明了两种可能性。

我们表明,任何和弦图的线性组合状态是沃纳状态,反之,任何纯粹的Werner状态可以写独特的线性组合nonintersecting和弦图。此外,这些线性组合是独一无二的LU等价类的代表,一个阶段因素。表征理论和组合输入的故事证明了nonintersecting和弦图状态跨越纯沃纳的空间。沃纳州是微不足道的被加数分解为不可约子的讨论。琐碎的被加数的维数等于加泰罗尼亚号码 当量子位的数量甚至,这个空间的维数是0时是奇数。nonintersecting和弦图节点是一个著名的集枚举的加泰罗尼亚数字(14]。连同一个论点nonintersecting和弦图州是线性无关的,事实上,这两个数字同意建立和弦图州是纯粹的空间构成一个线性基础沃纳州。

在[13),我们考虑的情况下纯和混合沃纳州不变的量子位元的排列下,也叫对称的州。鉴于非负整数,,与,我们确定单项三个变量的矩阵 在哪里,使对称操作符总结所有的产品的排列的副本为,是一个归一化的因素。这之间建立一个对应混合对称态(不一定是沃纳州)和现实三个变量的多项式。使用的表示理论,我们表明,对称的沃纳州对应于多项式的线性组合对于一些。此外,任何两个这样的国家是地方酉不相等。

现在我们转向混合沃纳州的一般情况。

4所示。一般情况下的混合沃纳州

我们开始建设密度矩阵的一个家庭推广了单重态。

给定一个量子位二进制串,让表示纯态 在哪里和循环排列的给出的,为,是一种规格化因素呢,每当(注意,所以不是一个状态)。例如, 让表示密度矩阵 在哪里是一种规格化因素呢。观察到是密度矩阵的单重态,所以州量子位单线态的概括。

接下来,我们的产品形式州沃纳州。(它可能是重要的展示和下面的图州由他们确实沃纳州。这可以用简单的计算,但技术开销为代价的。我们感兴趣的读者参考文献[15]给李代数的行动细节的地方酉群密度矩阵。可以表明,发电机的李代数Werner稳定器湮灭)。与纯沃纳州的情况一样,我们利用图。这一次我们考虑图组成的点标记一个圆,nonintersecting多边形顶点在给定的一组点。再次,加泰罗尼亚的号码这样的顶点图(14]。(之间存在一一对应这些“nonintersecting多边形图和“nonintersecting和弦图点在我们的纯沃纳州一节的分析。给定一个nonintersecting和弦图顶点,重命名的顶点然后胶每一对为)。

给定一个顶点nonintersecting多边形图,我们构造一个状态, 在张量元素指定位置的分区和表示状态在量子位的位置。图2显示了一个示例。

这是我们主要的猜想。

猜想
美国形式的空间的一组基沃纳州(在更大的空间真正的泡利张量)的线性组合。

再次表示理论认为,我们有正确的尺寸:1量子位密度矩阵表示空间分解成不可约子如下: 在哪里被加数同构伴随表示。的复杂性是同构的,这是2-qubit纯粹的状态空间。一般来说,复杂性的量子位密度矩阵空间是同构的量子位纯粹的状态空间,空间。因此,真正的琐碎的被加数的维度量子位密度矩阵等于复杂琐碎的被加数的维度量子位纯粹的州,这是加泰罗尼亚的数字。这建立,我们只需要表明,图州独立为了证明这个猜想。

我们得出猜想关于一个精确的语句对稳定器当地酉群的子群为我们构建了沃纳州。的全部稳定器Werner状态,即集 所有本地酉变换的修复可以大于子群酉群。例如,一个图的状态稳定的群吗 在哪里表示元素的子群,由在量子比特,和所有其他的坐标是身份。

在[12),我们给出一个标准的图出现在一个纯粹的扩张Werner状态时,稳定器纯Werner状态正是子群的子群当地的酉群,而不是更大。的标准是,量子位元的集合分为两部分,必须有一个图(非零系数)在给定的扩张状态有共鸣的一端在每一集的分区。我们最后的猜想是这个概念的泛化一般混合沃纳。

考虑一个偏序集晶格的分区(我们考虑所有分区,有或没有交叉多边形),在那里如果是一个细分的。的gon是最小的元素底部,顶部的all-singleton图是最大的元素的晶格。不相交的多边形图晶格子格。有一个相应的晶格当地酉群的子群,在那里小于或等于什么在偏序是一个群的。该小组底部是最小的元素和在顶部。一个图表对应的子群上面的定义。我们推测, “glb”表示的最大下界晶格。这将使一幅标准当维尔纳州的沃纳稳定器(而不是一个更大的一个)。

5。总结与展望

我们已知的结果调查当地酉等价分类结构和沃纳州的纯状态和对称状态的特殊情况。我们已经提出了一个基于图结构的一般情况下混合沃纳州,概括了“单线态的产品”的建设以纯粹的状态。最后,我们猜想,一般施工沃纳州将被证明是一个基础,这将导致当地统一的基础分类和稳定器的精确分析子组。

承认

这项工作已经由美国国家科学基金会支持批准号phy - 0903690。

引用

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