文摘
我们考虑一类复杂网络延迟和nondelayed耦合。特别是,我们认为情况的时间和时间时滞相关稳定性判据复杂动态网络和获得充分条件的渐近同步使用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理和线性矩阵不等式(LMI)。我们还将展示一些仿真结果来支持理论的有效性。
1。介绍
一个复杂动态网络是大量相互连接的节点代表系统的单个元素及其相互关系。由于各领域的巨大应用潜力,复杂网络已经深入研究在过去的十年里等众多领域的数学、物理、生物、工程、甚至社会科学(1- - - - - -3]。复杂网络的同步问题是由军刀和穆雷(首先提出的4,5)也引入了一个理论框架的调查通过查看他们的调整节奏的交互状态(6)和许多不同种类的同步现象和模型也被发现,如完成同步,同步阶段,滞后同步,antisynchronization,脉冲同步和投影同步。
时间延迟是复杂网络的一个重要考虑虽然这些通常被忽视在早期调查的同步和控制问题6- - - - - -11]。为了弥补这一缺陷,均匀分布时滞最近被纳入网络模型(12- - - - - -25和王et al。18]甚至考虑网络延迟和nondelayed联轴器和获得足够的渐近稳定性条件。同样,吴和陆19]调查一般加权的指数同步延迟和nondelay耦合的复杂动力网络与不同的拓扑结构。然而,仍有很多改进的空间在这两个系统的范围被王、徐以及在他们的证明方法。
本文的主要贡献是双重的。首先,我们提出一个更一般的网络延迟和nondelayed耦合模型和推导出标准的渐近线的同步。其次,我们应用Lyapunov-Krasovskii定理和lmi)以确保不可避免的成就所需的同步。
剩下的纸是组织如下。节2,我们现在一般复杂动态网络模型在考虑和国家一些初步定义和结果。节3,我们提出本文的主要结果。特别是,我们认为情况的时间和时间时滞相关稳定性判据复杂动态网络和得到充分条件的渐近同步使用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理和线性矩阵不等式(LMI)。节4我们提出一些数值模拟结果,验证我们的理论结果。本文的结论部分5。
2。预赛和模型描述
一般来说,一个线性耦合常微分方程系统(LCODES)可以描述如下: 自对所有我们可以选择任何值在上面的方程。因此,让和,上述方程可以改写如下: 在哪里节点的数量,的状态变量吗th节点,和是一个连续可微的函数。常数和(可能不同)耦合的优点,,(),inner-coupled矩阵,与零和耦合矩阵的行吗为确定网络的拓扑结构。我们假设和是对称的和不可约矩阵系统中没有孤立节点。
如果一个矩阵的所有特征值是真实的,那么我们表示它呢th特征值,和排序。一个真正对称矩阵是正定(半定)如果对于所有非零和用。最后,代表单位矩阵和向量和矩阵的维度应该清晰的上下文中。
定义2.1。一个复杂的网络延迟和nondelayed耦合(2.2)是实现渐近同步如果说 在哪里是一个孤立节点的局部动态的解决方案满意吗。
定义2.2。一个矩阵据说属于类,用如果(1) ,,,,(2)L是不可约。
如果是对称的,那么我们说属于类,用。
引理2.3(见[26])。如果,然后,0是一个特征值多重性1,和所有的非零特征值有积极的实部。
引理2.4 (Wang和陈11])。如果满足以上条件,那么存在一个酉矩阵这样 在哪里G的特征值。
引理2.5(舒尔补充(22])。线性矩阵不等式(LMI) 在哪里和是对称矩阵,是一个矩阵与合适的尺寸相当于下列条件之一:(我) ,;(2) ,。
引理2.6 ((Lyapunov-Krasovskii稳定性定理)。(Kolmanovskii和Myshkis,硬朗Verduyn卢奈尔[16)))。考虑到延迟微分方程 在哪里是连续的,(有界的子集有限的子集),让是连续的,严格单调不减少的功能,,为正和。如果存在一个连续的功能这样 在哪里的导数是沿着上面的延迟微分方程的解决方案,解决方案这个方程是一致渐近稳定。
2.7的话。的功能被称为Lyapunov-Krasovskii功能。
引理2.8(月球et al。22])。让,和被定义在一个时间间隔。然后,对任何矩阵,,,一个 在哪里
引理2.9。对于所有正定矩阵和向量和,一个
引理2.10(见[16])。考虑延迟动态网络(2.2)。让 outer-coupling矩阵的特征值和,分别。如果维线性时滞和nontime延迟系统 的微分方程是对他们的零解渐近稳定一些雅可比矩阵的在,然后同步状态(2.3渐近稳定。
3所示。渐近同步的标准
在本节中,我们推导出时滞耦合的动态网络的渐近同步条件时时间或长期有效。
3.1。案例1:时间判定稳定性判据
定理3.1。考虑时间延迟和本文的延迟复杂动力网络(2.2)。如果存在两个正定矩阵和这样 然后同步歧管(2.3)网络(2.2)可以渐近同步对所有固定的时间延迟。
证明。对于每一个固定,选择Lyapunov-Krasovskii功能 对于一些矩阵和有待确定。的导数沿着轨迹(3.2)是 ,在替换(2.12),给 现在,通过使用引理的不平等2.9,我们有 ,在用(3.5)(3.2),给 因此,遵循从舒尔补(引理2.5)和线性矩阵不等式(3.1),对所有的方程在一般时间延迟和本文的延迟系统(2.12),因此系统(2.12)是由Lyapunov-Krasovskii渐近同步的稳定性定理。因此,通过定理3.1同步歧管(2.3)网络(2.2)是渐近同步。这就完成了这个定理的证明。
以下推论遵循立即从上面的定理。
推论3.2。考虑一般本文延迟复杂动态网络 如果存在一个正定矩阵这样 然后同步歧管(2.3)网络(3.7)可以渐近同步。
证明。从引理2.10,我们有 通过选择李雅普诺夫函数,结果如下。
推论3.3。考虑时间延迟复杂动态网络 如果存在两个正定矩阵和这样 然后同步歧管(2.3)网络(3.10)可以渐近同步。
3.5的话。上面的分析适用于一般系统与任意的时间延迟。更简单的同步方案,然而,可以应用到系统时滞已知和价值很小。
3.2。案例2:时间时滞相关稳定的标准
定理3.6。考虑时间延迟和本文的延迟复杂动力网络(2.2)与一个固定的时间延迟对于一些小型。如果存在三个正定矩阵,这样 与 然后同步歧管(2.3)网络(2.2)可以渐近同步。
证明。对于每一个固定,选择Lyapunov-Krasovskii功能
对于一些矩阵待定,让
然后,因此这Newton-Leibniz方程
因此,(2.12可以转换成)
因此
因此,由引理2.9,我们有
所以
同样,我们有
所以
最后,我们有
在哪里
现在从引理2.5的条件定理是等价的由Lyapunov-Krasovskii稳定性定理,所有系统的节点(2.12)是渐近稳定时(3.12)和(3.13)坚持。这就完成了定理的证明3.6。
推论3.7。考虑一般的时间延迟复杂动力网络(3.10)与一个固定的时间延迟 对于一些。如果存在两个正定矩阵,,,,这样 在哪里,然后同步歧管(2.3)网络(3.10)是渐近同步。
3.8的话。证明可以在找到16]。这两个结果一般具有固定的定常时滞复杂动态网络对于一些;结论不太保守的比长期有效的延迟。时滞相关稳定性是另一种方法应用到延迟系统。它可以提供一个有用的和有意义的延迟上界,这将确保延迟系统达到渐近同步只有延时小于。
4所示。数值模拟
上述criteracould适用于网络与不同的拓扑结构和不同的大小。我们把两个例子来说明理论的有效性。
例4.1。我们使用一个三维稳定非线性系统作为一个例子来说明的主要结果,定理3.1我们的纸;这是时间判定的情况。模型可以描述如下: 三维稳定的解决非线性系统方程可以写成 这是在系统的平衡点渐近稳定吗,在那里和,,都是常数。很容易看到,雅可比矩阵。我们假设inner-coupling矩阵,都是单位矩阵,即和外部耦合配置矩阵 耦合矩阵的特征值。我们选择的耦合强度,。通过使用定理3.1和MATLAB LMI工具箱,我们得到了以下常见的两个正定矩阵: 根据定理的条件3.1,我们知道同步状态是全局渐近稳定的固定延迟。的数量 用于测量同步过程的质量。我们策划的进化在图的上方1。时间延迟我们的选择。较低的次要情节表明网络的同步结果。
(一)
(b)
例4.2。我们用4个节点网络模型作为另一个例子来说明定理3.6;这是时间时滞相关情况。模型可以描述如下: 我们选择相同的耦合强度,;耦合矩阵的特征值。通过使用定理3.6在MATLAB LMI工具箱,我们获得以下矩阵:
通过使用定理3.6本文发现的最大延迟绑定的复杂动力网络形式渐近同步。定义在这个例子中一样。我们策划的进化在图的上方2。较低的次要情节表明网络的同步结果。从这些数据可以看出,网络在这个例子中可以实现渐近同步。
(一)
(b)
5。结论
本文考虑一类复杂网络与时间延迟和本文的延迟耦合。我们推导,分别时间时滞相关的充分准则和时间的渐近稳定性判据同步比获得更普遍的在以前的作品。这些渐近同步结果通过使用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理和线性矩阵不等式。两个简单的例子也用于验证理论分析。
确认
作者感谢裁判和编辑他们的有价值的评论。这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号61273220),广东教育大学产业合作项目(批准号2009 b090300355),深圳市基础研究项目(JC201006010743A JC200903120040A)。