通过椭圆方程建模一个量子霍尔系统

文摘

量子霍尔系统是一个合适的主题一个案例研究在一般的纳米技术领域。特别是,它是一个很好的框架来寻找普遍原则与综合建模和nanosystem-specific信号处理。最近,我们已经能够构造一个偏微分量子霍尔的滤模型系统,它由薛定谔方程补充的特殊类型非线性反馈回路。这个结果来自一本小说理论的方法,特别是带来的量子信息的概念。这里我们进行修改原始模型用动力学基于狄拉克算子。这导致一个模型,该模型由三个非线性耦合系统的一阶椭圆方程在平面上。

1。量子纠缠的复合系统及其相关的哈密顿动力学

在本节中,我们作一个非常简短的概述的介观环模型作为开发背后的原则(1- - - - - -5]。量子信息的主题是非常适合我们的方法,但它有明确最近才揭发;深入讨论将出现在其他地方6,7]。

由于霍尔电阻的测量量子大厅系统结果在一个经典的信号,是很自然的问任何量子信息转导过程中经典的媒介。让我们开发这个观点为正式的讨论。假设电子固态系统和环境磁场是由两个希尔伯特空间;说和,分别。根据量子力学的原理8),然后结合系统由张量积空间。此外,复合系统承担的国家形式 我们将与每个州如上所述纠缠操作符(没有有意暗示复合状态(1.1)必然会纠缠于严格意义上的术语(8): 因此,如果一个电子系统中发现的状态,那么电磁系统将会崩溃 让我们定义系统的密度算符以通常的方式: 一个容易找到 这展示了一个复合的量子力学描述的词汇系统。接下来,我们假设一个模型相关具体量子霍尔系统。即,我们建议,在磁场的存在,电子系统的动力来源于能量函数的形式 在哪里是“常规”哈密顿管理的微观动态电子子系统。的目的,没有必要讨论常数超出了简单的语句,它是零磁场非零的。我们想指出,这种能量泛函,给出的功能是一个特例的形式,说,,在那里是一个合适的解析函数。的确,。粗略地说,函数描述了两个子系统之间的相互作用的复合量子系统。许多这类的一般模型的不同方面讨论了(6,7]。所示(4),再一次在这里,功能捕获一个量子霍尔系统的特点,这证明我们特殊的兴趣。也值得一提冯·诺依曼量子相对熵(8]。

从今以后我们假定为简单起见是对角化的基础组成的特征值: 现在,用分解(1.5)(1.6)收益率以下哈密顿: 这反过来会导致以下系统的哈密顿方程(见[1,2): (从这个角度,我们将集)。假设形成相应的特征值问题 方程(1.11)是一个模型的一部分量子霍尔在体内平衡系统。解决方案(1.10)发现假设表单(参见[1,2]) 在哪里是一个任意的幺正变换。

2。基于Dirac-Type Mesoscopic-Loop模型方程

这个模型我们将处理两种类型的粒子,这将被称为电子和空穴。他们两人会有相同的有效质量和电荷。当然,似乎适合强调的概念有效的质量取决于模型。所有的分析都将执行在一个二维平面。回想一下,霍奇明星在二维空间是一个线性操作微分形式决定的关系,。外导定义了coderivative。让矢势在局部坐标。特别是,,而 磁通密度。相应的薛定谔运营商作用于一个波函数如下: (的因素前面的源于一个事实,在采用单位动能是乘以一个系数)。薛定谔运营商可以成功地用于建设介观环模型(5]。在本文中,我们将考虑修改基于Dirac-type薛定谔算子的分解。为此,我们使用二维狄拉克算子(9)参数设置和。也就是说,让 在哪里 这 直接计算表明 在哪里是由通过(2。1)。观察不同的磁通密度的迹象。这需要两个波函数的解释定义状态向量 代表粒子相反pseudospins。在这一点上,我们公司来描述量子霍尔系统的方式在前一节中所讨论的,这让纠缠的概念。也就是说,我们认为以下方程组: 包括一个耦合通过纠缠变换实现吗。注意,这迫使一个适当的正常化以保证正确的电荷通量比。

3所示。量子化霍尔电阻的

注意,如果是一个解决方案(2。8),那么在特定的本征函数。我们现在要求是一个静止的解决方案如(1.11),,在那里 的特征向量是狄拉克哈密顿吗。在一般情况下,模型的属性依赖的选择。这个案子被解释为对应phase-correlated政权;参见[1)的更详细的讨论这一点。接下来,假设。不失一般性,我们也假设在相互正交的特征函数定义的列表吗通过(1.11)。(这总是可以即使安排多样性大于1)。因此,我们有 为一个常数。因此, 这意味着最后一个方程(2。8)相当于声明 请注意,是总通量的比值之间的总电荷数两种类型的粒子。特别是,由于量化的通量和电荷,是一个有理数表示在适当的单元。我们将证明这个模型的对称实现大厅阻力等于。我们进行分析与假设rectangular-domain设置周期性的波函数,同期;也就是说, 用(2。8),我们很容易获得 此外,让我们假设,。让我们也引入一个辅助变量。在这种情况下,(2。8系统)是等价的 通过差异化,我们很容易获得 这些是1 d静止的薛定谔方程与能量。请注意,潜在的影响,而潜在的影响。两个数量由于磁场的存在,因此他们代表了霍尔效应。有两个潜在的功能,通过修正项的符号不同,因为涉及到两种类型的航空公司负责运输。请注意, 接下来我们计算电流。回想一下, 直接计算说明,这两个形式, 总之, (我们提醒读者表示霍奇明星。)观察到的电流设在。因为这两种类型的运营商为当前,整个大厅潜力是两个独立的和潜力上面指出的那样,也就是说, 由此可见, 通过积分,然后我们获得这大厅的阻力。我们说,这是两次Schrodinger-type模型中获得的价值(cf。4,5])。回想一下,介绍了量子数的比值的磁场电荷的量子数这两种类型的粒子。如果粒子的类型,说,没有占在填充系数的计算,然后会有一个逆填充系数之间的差异和数量吗。

有趣的是问当电子和空穴在等量电荷载体。让我们板的边缘对称的位置设在,。注意,每个类型的航空公司的数量成正比 现在假设的最后两个方程,并考虑(3所示。7)。在这种情况下,你可以找到一个解决方案满足条件。在这个解决方案中,粒子的每种类型发生在平等的数字。

4所示。椭圆系统在平面上

节3,我们证明了霍尔电阻是量子化的对称在某些假设减少问题常微分方程组。我们强调,大厅潜力和霍尔电阻可以定义并讨论了一般二维设置(5]。事实上,二维,偏微分方程(pde),设置无法避免如果我们想研究晶格势的影响等等。现在我们将简要讨论PDE的影响问题。考虑(2。8)会同假设在前一节中提出。在这种情况下,它相当于一阶偏微分方程组如下: 一个直接的计算表明,如果一个三联体是系统的一个解决方案,那么是什么对任意实函数。函数代表判断,因此并没有物理信息自由。特别是,只有相对的阶段身体是有意义的。接下来,观察,虽然系统(4.1)不是椭圆本身,它将成为严格与规范固定方程椭圆时修改 考虑一个系统,包括(4.1)和(4.2)。注意,非线性项(4.1)(真实)解析函数的因变量。因此,古典Cauchy-Kovalevskaya定理(10)保证当地的初值问题的解的存在也当边界条件分析。初值问题的本质有助于深入了解系统;获得一个解决方案的一个例子用有限差分数值方法显示在图1。自边值问题想到在这种背景下,一个人应该强调,针对椭圆率,自然环境是Riemann-Hilbert-type问题[11]。然而,我们希望信号简单,边值问题并不是唯一的方法适合研究mesoscopic-loop模型;有一个有前途的补充方法。也就是说,设置,我们可以代表(4.1)- (4.2)作为系统的三个非线性耦合方程: 这表明各种复杂方法的相关性(12),但这不会在本文讨论主题。

5。关闭评论

狄拉克方程正经历一场文艺复兴在凝聚态物理由于其相关性不寻常的二维晶体称为石墨烯(见,例如,13])。我强调的是,在本文中,我们没有解决任何的问题相关的研究。相反,我们使用了狄拉克方程作为分析替代Schrodiner方程。它帮助我们找到一个几乎相当于再形成的非相对论性的模型。

承认

作者感谢《裁判的深思熟虑的提问和评论帮助改善。

引用

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