斯普利特八元数的旋转空间GydF4y2Ba

摘要GydF4y2Ba

分八元数的几何应用被认为是。的octonionic有大卫的星形（而不是法诺三角形）分裂的基础单位产品的新代表提出。结果表明，在octonionic“八空间”坐标的主动和被动的转换是不等价的。该离开不变分裂八元数的伪范是本组的被动变革GydF4y2Ba，而主动旋转通过的直接产物进行GydF4y2Ba-boosts和特殊群体的实际非紧形式GydF4y2Ba。在经典极限中，这些变换简化为标准洛伦兹群。GydF4y2Ba

1.简介GydF4y2Ba

非结合代数当然可以称为美丽的数学实体。然而，它们从未被系统地应用到物理学中，只是朝着这个目标做了一些尝试。然而，有一些有趣的暗示，非结合代数可能发挥关键作用的最终理论，尚未发现。GydF4y2Ba

八元数是非结合代数的一个例子。已知它们是继实数、复数和四元数代数之后的最大赋范代数[GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba3GydF4y2Ba]。因为由格雷夫斯和凯莱他们一千八百四十五分之一千八百四十四发现有过各种尝试，以找到在物理八元数适当的用途（见评论[GydF4y2Ba4GydF4y2Ba-GydF4y2Ba7GydF4y2Ba])。我们可以指出八元离子对颜色对称的可能影响[GydF4y2Ba8GydF4y2Ba-GydF4y2Ba11GydF4y2Ba];勇气(GydF4y2Ba12GydF4y2Ba-GydF4y2Ba15GydF4y2Ba];克利福德代数的表示[GydF4y2Ba16GydF4y2Ba-GydF4y2Ba19GydF4y2Ba];量子力学(GydF4y2Ba20.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba24GydF4y2Ba];时空对称性(GydF4y2Ba25GydF4y2Ba，GydF4y2Ba26GydF4y2Ba];场论[GydF4y2Ba27GydF4y2Ba-GydF4y2Ba29GydF4y2Ba];波动方程的制剂GydF4y2Ba30.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba32GydF4y2Ba];量子霍尔效应[GydF4y2Ba33GydF4y2Ba];无额外维度的卡鲁扎-克莱恩程序[GydF4y2Ba34GydF4y2Ba-GydF4y2Ba36GydF4y2Ba];字符串和GydF4y2Ba- 理论[GydF4y2Ba37GydF4y2Ba-GydF4y2Ba40GydF4y2Ba];等等。GydF4y2Ba

在本文中，我们在模型中，其中几何形状由分割八元数描述研究转[GydF4y2Ba41GydF4y2Ba-GydF4y2Ba43GydF4y2Ba]。GydF4y2Ba

2. Octonionic几何GydF4y2Ba

让我们回顾一下我们之前的论文中提出的分裂八元离子的几何应用背后的主要思想[GydF4y2Ba41GydF4y2Ba-GydF4y2Ba43GydF4y2Ba]。在我们的模型中，物理世界的一些特征(如维数、因果关系、最大速度和量子行为)可以用分裂八元数的性质自然地描述。分裂八元离子的几何解释的一个有趣的特征是，它们的伪谱，加上一些其他的项，已经包含了普通的闵可夫斯基度规。这个性质等价于经典物理中局部洛伦兹不变性的存在。GydF4y2Ba

任何物理信号我们对应八维数，分割八元数的元件，GydF4y2Ba 在这里，我们有一个标量的基础单元（表示为GydF4y2Ba)，三个类似矢量的对象GydF4y2Ba，即三个类伪向量元素GydF4y2Ba和一个赝状部GydF4y2Ba。八个真正的参数乘法的基础元素，我们当作时间GydF4y2Ba，特殊坐标GydF4y2Ba一些数量GydF4y2Ba与尺寸GydF4y2Ba和数量GydF4y2Ba有尺寸GydF4y2Ba。我们也是（假设GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）包含物理的两个基本常数：光速GydF4y2Ba普朗克常数GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

的分裂八元数的基础单元的正方形是所得单元元件的内积，但具有相反的符号，GydF4y2Ba 不同超复数基础单元的乘法被定义为歪斜的产品GydF4y2Ba，GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba是完全反对称张量。GydF4y2Ba

从（GydF4y2Ba2.3GydF4y2Ba）我们注意到，产生分裂八元数的基础上完成的只有三个矢量相同的元件的繁殖和分布规律GydF4y2Ba是必要的。在几何应用这可以解释为什么经典的空间是三维的。三赝样的基础单位GydF4y2Ba可以被定义为二进制产物GydF4y2Ba 从而可以描述由两个类向量元素张成的有向正交平面GydF4y2Ba。第七基本单位GydF4y2Ba（取向体积）由所有三个基本基础元件的产品形成GydF4y2Ba有三个等价表示:GydF4y2Ba

八元离子单位的乘法表以图形形式最透明。为了使普通八元离子的乘积形象化，使用了范诺三角形[GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba3GydF4y2Ba]，其中第七个基本单位GydF4y2Ba位于图形的中心。在分裂八元离子的代数中，我们有较少的对称性，并且为了正确地描述产物(GydF4y2Ba2.3GydF4y2Ba)对范诺图进行移位修改GydF4y2Ba从法诺三角形的中心。同时，我们会使用三种等价表示GydF4y2Ba（GydF4y2Ba2.5GydF4y2Ba），并且，而不是法诺三角形，我们到达了大卫的星状二元平面分割octonionic基础元素的产品。GydF4y2Ba

在这个图中，两个基单位的乘积是由连接相应节点的定向实线确定的。与线的方向相反移动会给结果带来一个负号。虚线只是表示三角形的角与GydF4y2Ba节点标识。GydF4y2Ba

共轭，可以理解为类矢量基单位的反射GydF4y2Ba，则在任何给定表达式中颠倒八元离子基元素的顺序GydF4y2Ba 最后一个公式中没有求和。所以(的共轭GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）给出GydF4y2Ba 使用(GydF4y2Ba2.2GydF4y2Ba），可以发现的伪范（GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）GydF4y2Ba 有GydF4y2Ba签名。如果我们考虑GydF4y2Ba作为两个八元离子信号的间隔，我们可以看到(GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba）简化为的闵可夫斯基时空在极限古典式GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

使用基础元素的代数（GydF4y2Ba2.3GydF4y2Ba)八元离子(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）可以写在等效形式GydF4y2Ba 我们注意到伪卡拉元素GydF4y2Ba推出对应于某种时空坐标的不确定性的“量子”一词。为的微分形式（GydF4y2Ba2.9GydF4y2Ba)的不变性(GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba)给出关系:GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba表示在帧测量的3维速度（GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba)。广义洛仑兹因子（GydF4y2Ba2.10GydF4y2Ba)包含在限制中消失的额外条款GydF4y2Ba。因此，在我们的模型中的色散关系具有类似于双狭义相对论模型[形式GydF4y2Ba44GydF4y2Ba，GydF4y2Ba45GydF4y2Ba]。GydF4y2Ba

从需求有着积极的伪范（GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba）从（GydF4y2Ba2.10GydF4y2Ba我们得到了几个关系GydF4y2Ba 回顾GydF4y2Ba和GydF4y2Ba有尺寸GydF4y2Ba和GydF4y2Ba分别，我们得出结论，在我们的模型海森堡测不准原理具有相同的几何意义，在闵可夫斯基空间 - 时间的最大速度的存在。GydF4y2Ba

3.旋转GydF4y2Ba

描述八维八离子空间的旋转(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba)与间隔(GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba)我们需要为分裂八元数的基本单位定义指数映射。GydF4y2Ba

因为伪向量类元素的平方GydF4y2Ba是消极的,GydF4y2Ba，我们可以定义GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba还有一些实际的角度。GydF4y2Ba

同时，对其他基础元素GydF4y2Ba，其中有积极的正方形GydF4y2Ba,我们有GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba和GydF4y2Ba是实数。GydF4y2Ba

在8维octonionic“时空””（GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba不存在与给定轴线正交的唯一平面。因此，有关营办商(GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba）和（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba）它不足以指定单个旋转轴和旋转角度。可以看出的是，八元的左乘法GydF4y2Ba由运营商之一（GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba），（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba）（例如，GydF4y2Ba）产生四个相互正交的平面四个同时旋转。为简单起见，我们只考虑左侧的产品，因为众所周知，一面乘法生成全对称组叶片octonionic规范不变[GydF4y2Ba46GydF4y2Ba]。GydF4y2Ba

所以转自然提供了一个八元的分裂四个正交平面。要定义这些飞机注意，其中之一是由超复杂因素，我们选择定义旋转（形成GydF4y2Ba在我们的例子），与八元数的标量单元元件一起。其余正交平面由三对其它基础元件鉴于谎言与所考虑的基础单元（GydF4y2Ba在这个例子中)，它出现在David的星上(参见图)GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)。因此被转动到彼此的基础单元的对是形成与所考虑的基础单元相联的三元组对。例如，基础单元GydF4y2Ba，根据图GydF4y2Ba1GydF4y2Ba，先后在octonionic代数三种不同的表述：GydF4y2Ba 所以这个平面正交于GydF4y2Ba是GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。使用(GydF4y2Ba3.3GydF4y2Ba）和表示（GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba)可以“旋转”四个八元离子轴，以及(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）可以写在等效形式GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba 为四个正交八元离子平面的范数。同位角由GydF4y2Ba 分八元的这种分解是有效的只有在八元的全伪范（GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba）为正，即，GydF4y2Ba 类似于分解（GydF4y2Ba3.4GydF4y2Ba)存在，如果另一个伪向量基单位，GydF4y2Ba或GydF4y2Ba被固定。GydF4y2Ba

相对于由算符给出的均匀旋转GydF4y2Ba我们有限的旋转在垂直的平面。GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。不过，我们仍然可以执行类似于(GydF4y2Ba3.4GydF4y2Ba）的GydF4y2Ba使用指数映射的表达式(GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba)。但是现在，不像on (GydF4y2Ba3.5GydF4y2Ba），相应的平面的规范是不主动定义，代替条件（GydF4y2Ba3.7GydF4y2Ba），我们要求每四架飞机的规范积极性。例如，赝状基础部GydF4y2Ba有三种不同的表示（GydF4y2Ba2.5GydF4y2Ba)，并可提供双曲旋转(GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba）在正交平面GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。对于2个规范表达式（GydF4y2Ba3.5GydF4y2Ba)在这种情况下是:GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

现在让我们考虑信号8维空间中坐标的主动和被动变换(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba)。对于被动变换我们指的是坐标的变化GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba，相对于一个有效变换而改变的基础GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

八元离子坐标的被动变换GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba，使范数不变(GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba）形式GydF4y2Ba。我们可以表示(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）由左产品GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba是其中之一（GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba），（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba)。运营商GydF4y2Ba同时转换的四架飞机GydF4y2Ba。然而，在三个平面上GydF4y2Ba可以通过octonionic基础的适当的选择转动了。从而GydF4y2Ba可以以四个正交平面分别表示转GydF4y2Ba。类似地，我们有其他六个算子的四个角(GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba），（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba)，因此完全GydF4y2Ba对应于参数GydF4y2Ba一组被动坐标变换。例如，在分解(GydF4y2Ba3.4GydF4y2Ba我们可以引入四个任意角GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba和GydF4y2Ba 显然，在这些变换的伪范（GydF4y2Ba2.8GydF4y2Ba)是不变的。通过微调角度(GydF4y2Ba3.9GydF4y2Ba），我们可以在任何一个平面从四个定义旋转。GydF4y2Ba

现在，让我们考虑活跃的坐标变换，或基础单位转换GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba。对它们来说，由于非结合性，两种不同旋转的结果(GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba）和（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba)并不是唯一的。这意味着并非所有的活性八离子转换(GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba）和（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba)组成一个组，可以看作是一个真正的旋转。因此在八离子空间(GydF4y2Ba2.1GydF4y2Ba）不是所有的被动GydF4y2Ba-transformations我们可以作出相应的积极的，只有那些为联想乘法应该被认为是实现转换。据了解，联想转换可以通过特殊形式的联合旋转中形成的亚组2架octonionic飞机来完成GydF4y2Ba，称为分裂八元离子的自同构群GydF4y2Ba(卡坦例外李群的实非紧型GydF4y2Ba)。关于的一些一般结果GydF4y2Ba和其子群结构中可以找到[GydF4y2Ba47GydF4y2Ba，GydF4y2Ba16 bGydF4y2Ba]。GydF4y2Ba

让我们回顾一下，构GydF4y2Ba代数的定义为超复基单位的变换GydF4y2Ba和GydF4y2Ba根据该代数的乘法表是不变的，那就是，GydF4y2Ba 这些变换的关联性是显而易见的第二关系，和该组组合物代数的所有构的形成一个组。在四元数，因为关联性，主动和被动变革的情况下，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba，分别是同构和四元数是有用的描述三维空间的旋转。一个八元离子的情况不同。八元离子代数中的每个自同构完全由不构成四元子代数的三个元素的像定义，即它们都不在同一条大卫线上[GydF4y2Ba49GydF4y2Ba]。假设有一个这样的集合GydF4y2Ba。那么存在一个同构GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba和GydF4y2Ba是独立的实角。根据定义(GydF4y2Ba3.10GydF4y2Ba自同构不影响单位标量GydF4y2Ba。其它基础元件的下构（图像GydF4y2Ba3.11GydF4y2Ba）由条件决定GydF4y2Ba

它可以很容易地检查了转化基地GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba满足相同的乘法规则GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

具有固定的自同构GydF4y2Ba和GydF4y2Ba坐标轴是由角度产生的GydF4y2Ba，GydF4y2Ba和GydF4y2Ba，GydF4y2Ba，分别。GydF4y2Ba

我们也可以为类矢量单位定义双曲自同构GydF4y2Ba由角GydF4y2Ba。例如，对于固定GydF4y2Ba相似（GydF4y2Ba3.11GydF4y2Ba）和（GydF4y2Ba3.12GydF4y2Ba）转换是GydF4y2Ba 在类似的固定的情况下GydF4y2Ba我们发现GydF4y2Ba

因此，对于每个octonionic基础有七个独立构每个引入两个角度对应于GydF4y2Ba代数的产生者GydF4y2Ba。对于我们的选择依据的坐标的无限小的被动转型，对应于GydF4y2Ba，是否有表格GydF4y2Ba 在哪里GydF4y2Ba是对称矩阵GydF4y2Ba

在极限GydF4y2Ba该转换（GydF4y2Ba3.15GydF4y2Ba）减少到标准GydF4y2Ba由欧拉角的欧几里德3-空间转GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

公式(GydF4y2Ba3.15GydF4y2Ba）表示的（3,4-旋转）-sphere正交于时间坐标GydF4y2Ba。要定义提升注意的相互转换的是主动和被动两种形式GydF4y2Ba同GydF4y2Ba和GydF4y2Ba是同构的，可由七个算子(GydF4y2Ba3.1GydF4y2Ba）和（GydF4y2Ba3.2GydF4y2Ba）（例如，在第一项（GydF4y2Ba3.9GydF4y2Ba），其形成基团GydF4y2Ba。在的情况下GydF4y2Ba我们恢复了标准GydF4y2Ba洛伦兹提升在闵可夫斯基空间 - 时间由运营商管理GydF4y2Ba,在那里GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

4.结论GydF4y2Ba

摘要介绍了描述分裂八元离子基单位乘法表(代替普通八元离子的法诺三角)的大卫星二象面。在分裂八离子空间中考虑了不同类型的旋转。在八元离子空间中，坐标的主动和被动变换是不等价的。使分裂八元数的伪随机数保持不变的无源坐标变换为GydF4y2Ba，而主动旋转通过七的直接产物进行GydF4y2Ba促进和十四个GydF4y2Ba-rotations。在经典极限这些变换得到标准的6参数化Lorentz群。GydF4y2Ba

承认GydF4y2Ba

笔者想承认一个2008-2009富布赖特奖学金的支持。GydF4y2Ba

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