任意Okamoto泛化的方程施莱辛格系统

文摘

的施莱辛格系统的四个常规奇点相当于Painleve VI方程。Painleve VI方程可以被重写Okamoto方程的对称形式;冈本的因变量的元太方程形式是(稍微转换)的对数导数Jimbo-Miwa tau-function施莱辛格系统。这个报告的目的是双重的。首先,我们找到一个任意施莱辛格系统的通用公式与普通奇点的适当定义维拉宿发电机。第二,我们发现类似Okamoto的方程的情况下施莱辛格系统任意数量的两极。一套新的标量方程的对数导数Jimbo-Miwa tau-function派生的维拉宿代数的发电机;这些发电机用导数来表示施莱辛格系统的奇点。

1。介绍

施莱辛格系统以下非自治微分方程组未知矩阵根据变量: 系统(1.1)确定isomonodromic变形的解决方案与亚纯系数矩阵的颂歌 如果一个假设,也就是说,是一个普通的函数,函数是归一化条件。这个函数解决了矩阵Riemann-Hilbert问题与一些单值矩阵奇异性。

施莱辛格方程被发现近100年前(1];然而,他们继续发挥关键作用在数学物理的许多领域如随机矩阵理论,可积系统和弗罗贝尼乌斯流形的理论。系统(1.1)是一个时滞哈密顿系统关于泊松括号 在哪里的结构常数;与发电机;克罗内克符号(假设总和重复指数)。显然,痕迹施莱辛格的积分系统的价值吗。通勤汉密尔顿定义演化的时间是由 生成函数汉密尔顿的,定义为 介绍了吉米et al。2,3];它被称为施莱辛格系统的功能。的功能中扮演着重要角色在施莱辛格的理论方程;特别是,除数的0函数的同时,奇点的除数施莱辛格系统的解决方案。

在最简单的非平凡的情况下当矩阵维数=和奇异点的数量=施莱辛格系统同样可以重写为一个标量微分方程的阶两家——Painleve VI方程: 在哪里四个奇点的交比吗。解决方案定义如下。一个地图的两极来通过一个莫比乌斯变换,然后繁殖从左边的一个常数矩阵,这样成为对角线。然后正值的位置(独特的)右上角的零元素的转换矩阵。

让我们表示矩阵的特征值通过和。然后常量,从第六Painleve方程(1.6)相关的常数如下:

它是由Okamoto[进一步观察4,5),Painleve VI(,因此,原始方程施莱辛格系统有四个奇异点)可以改写或者一个简单的形式而言,所谓的辅助哈密顿函数。定义这个函数,我们需要介绍前四个常量,表示矩阵的特征值如下: 辅助哈密顿函数定义的解决方案吗(1.6)和常量如下: 在哪里 的函数Painleve方程(1.6)可以在一个非常对称的形式如下:

冈本的形式(1.11Painleve VI的方程是非常富有成果的隐藏的对称性建立方程(所谓的对称性Okamoto)。这些对称性看起来非常简单的辅助哈密顿函数但解决方案的水平是非常重要的Painleve VI的方程,相应的单值组和富克斯系统相关的解决方案(6,7]。

本文的目的是双重的。首先,我们展示了如何重新施莱辛格系统在任意矩阵维度对称的普遍形式。其次,我们使用这个Okamoto方程的对称形式找到天然类似物(1.11)施莱辛格系统与任意数量的简单的两极。我们的方法使用的方法类似于Harnad Okamoto方程的获得类似物施莱辛格系统对应于高阶极点(nonfuchsian系统)(8]。

即引入下列微分算子(满足维拉宿的变换关系代数): 和以下相关的变量: 一个可以表明,施莱辛格系统(1.1)意味着 对所有和。无限的(1.14)当然是对于任何给定的依赖。获得原始施莱辛格系统(1.1)(1.14)是足够的(1.14)和。系统的优势1.14)在其普遍性。它的形式是独立于两极的数量;波兰人的位置只输入微分算子的定义。

考虑现在的情况矩阵。制定Okamoto方程的模拟的情况下任意数量的波兰人我们介绍以下“汉密尔顿”:

这可以视为symmetrised汉密尔顿的类似物(1.4);他们配合一个基本转换。最简单的方程满足在的情况下系统是由 我们将显示在下面。

自本身是组合的一阶导数tau-function,这个方程是三阶;它也有立方非线性。在的情况下,(1.16冈本)归结为标准方程(1.11)。

本文组织如下。节2我们推导出symmetrised形式的施莱辛格系统。节3我们推导出广义Okamoto方程。节4我们展示通常Okamoto方程得到的广义方程(1.16)的情况下。节5我们讨论一些问题。

2。普遍形式的施莱辛格系统的维拉宿发电机

考虑微分算子(1.12);这些操作符满足维拉宿代数变换关系:

代表施莱辛格方程的普遍形式我们也介绍了对称因变量由(1.13)。新变量 扮演一个突出的作用;它消失了以壳(即。,on solutions of the Schlesinger system); however, off-shell plays the role of a generator (with respect to the Poisson bracket (1.3规的转换(即)的常数。,constant simultaneous similarity transformations of all matrices)。

描述动力学微分算子的作用下我们介绍symmetrised汉密尔顿: 这些汉密尔顿可以表示的变量如下: 在修改后的汉密尔顿是由 和。特别是,(考虑到),前三个symmetrised汉密尔顿形式

维拉宿的发电机,(1.5)Jimbo-Miwa函数看起来如下: 它也方便介绍修改函数,莫比乌斯变换下不变。

引理2.1。修改后的函数定义为 由前三维拉宿湮灭发电机:

证明。通过一个简单的计算。

的新变量(1.13)、施莱辛格系统(1.1)一个非常紧凑的形式。

定理2.2。微分运算符作用于symmetrised变量如下: 为,。

证明。使用施莱辛格方程(1.1),我们有 扩大 我们进一步重写这个表达式作为 正值的右边(2.10)。

2.3的话。系统(2.10)可以等同于改写如下: 也就是说,右边的2.10如果上限)不会改变被替换的。

系统的(2.10),或(2.14),可以被视为普遍形式的施莱辛格系统;正式的波兰人不进入系统。每个施莱辛格系统写在标准形式(1.1可以获得)(2.10)如果一个拟设(1.13)为变量。使用(2.14我们可以表达换向片如下: 根据修改后的汉密尔顿的运营商,我们得到以下方程: 特别是,我们有 相同的方程适用于汉密尔顿可积性的推论(2.7)。

泊松括号(1.3)诱发以下泊松括号之间的变量,:

然后(2.10)可以写成以下形式: 我们注意到正式第二项可以吸收辛行动在扩展仿射泊松结构(2.18中央扩展)的标准。

2.4的话。让我们简要讨论的几何起源维拉宿发电机。向量跨度切线空间的空间戳破了球体与穿刺。另一方面,存在几种普遍的方式来改变一个给定的黎曼曲面的模。例如,一个可以改变模通过向量场选择封闭的轮廓(见[9])。对于我们的刺穿了球体的轮廓可以选择一个圈包含所有奇点;然后变化模的向量场在圆恰逢变异的发电机。之间的变换关系然后,继承了变换关系圈上的向量场。

3所示。广义Okamoto方程

在这里我们将使用对称形式(2.10)的施莱辛格方程推导出一个模拟Okamoto方程(1.11)一个任意施莱辛格系统。事实上,你可以写一个全家的标量微分方程tau-function维拉宿的发电机。在接下来的定理我们证明这样的两个方程。

定理3.1。的函数(1.5)的任意施莱辛格系统满足以下两个微分方程。(我)立方非线性的三阶方程: (2)与二次非线性四阶方程: 根据(2.4),(2.7),

证明。反相的系统(2.16),我们可以表达的汉密尔顿如下: 从施莱辛格系统(2.10),我们另外得到的 反相这个关系,我们获得的 结合方程(3.4我们也可以这样表达完全的运营商的作用在汉密尔顿,可以进一步简化使用交换关系(2.1)和(2.17)。这导致了封闭表达式 特别是,最低的值我们获得 获得期望的结果从这些关系,我们使用以下代数标识: 有效的任意设置的六个矩阵,点右边表示完整的表达对antisymmetrisation指数。的结构常数,这身份读取 在伴随指数提高和降低Cartan-Killing形式。设置(3.9),,和使用(3.4),(3.8),我们到达(后计算)(3.1)。
方程(3.2从另一个代数)下降的身份 四是有效的价值矩阵。的结构常数,这身份读取 并通过收缩(3.10)。我们认为的作用(3.8),收益率 这个方程的左边可以减少(3.6),而第一项r.h.s.减少通过代数的关系(3.11)和(3.4)。因此我们获得(3.2)。

4所示。四个简单的两极:繁殖Okamoto方程

正如之前说的,微分方程的显式形式(3.1),(3.2)函数在表达修改汉密尔顿获得吗而言,由于(2.4),(2.7)。作为一个例子,我们将解决这些方程施莱辛格系统有四个奇异点和显示他们繁殖精确Okamoto方程(1.11)。为,修改后的函数从(2.8)只取决于重比 我们另外定义辅助函数 然后(3.1)的经过漫长的但是简单计算产生的二阶微分方程 在哪里初等对称多项式的吗的

最后,它是简单的验证,(4.3)相当于Okamoto方程(1.11)。

反过来,(3.2)会导致下面的二次函数的三阶微分方程: 事实上,这个方程也可以通过简单的分化(4.3)对。的函数,(4.5)以下形式: Okamoto同样通过导数的方程(1.11)。

5。讨论和展望

我们展示了本文的对称形式(2.10),(2.14施莱辛格系统的)产生一个简单的算法,允许把代数身份(3.10),(3.12)的微分方程施莱辛格系统的功能。在最简单的情况下的四个奇异点,得到的方程已知的繁殖Okamoto方程(1.11)。对于更多的奇异点,相同的方程(3.1),(3.2)产生的重要的微分方程是满意的函数。

除了这个Okamoto方程的直接延伸,代数结构之间的联系和施莱辛格系统的函数产生进一步的概括。注意,在定理的证明3.1,(3.7),我们已经考虑到模拟(3.8)的任意值。这个方程结合身份(3.9)从而引起整个层次结构的三阶方程推广(3.1)。同样,施工导致四阶方程(3.2)可以直接推广应用(3.11三次方程的其他维拉宿的后代。

作为一个例子,我们给第一个层次结构的三个方程推广(3.2):

显然,这些方程并非都是独立的,但相关的行动维拉宿最低的发电机使用, 等等,。独立的数量和结构方程在这个层次结构组织的结构表征的维拉宿代数。的情况下奇点,层次结构的所有方程的显式形式减少等价形式的(1.11)和(4.6)。与越来越多的简单的两极,层次结构引发的独立微分方程的数量增加。

因此,我们到达一个自然的问题:这组导出方程tau-function相当于原来的施莱辛格系统?我们强调的是微分方程的tau-function PDE的变量。然而,如果一个人足够高数量的独立方程,一个可以来tau-function一组常微分方程。这种情况类似的情况与原形式施莱辛格系统(1.1):如果一个忽略了第二组方程(1.1);一个系统pd的残留物;只有在添加的方程一个人一个常微分方程对每一个系统(对不同的流动上班)。

让我们最后指出,建设我们提出了为了推导出微分方程(3.1),(3.2)表明许多有趣的进一步推广,值得进一步研究。

(我)在原点的推导计算代数身份(3.10),(3.12),我们已经翻译成微分方程。类似的身份也存在更高的等级组织(例如,施莱辛格系统正交,辛,异常组),独立的张量的数量可能会更大。这将是非常有趣的理解如果方程类似于(3.1),(3.2)可以来源于这样的高阶代数恒等式。的身份将会由更多的张量不变量(结构常数等),相应的高阶微分方程是在衍生品。(2)是否可以结合我们目前建设适用于施莱辛格系统与简单的两极只有建设(8这需要高阶的存在波兰人吗?的全套tau-function对方程的变形参数的全套在存在高阶波兰人吗?(3)施莱辛格系统(1.1)也被构造为各种高属黎曼面(10- - - - - -13]。会很有趣,首先找到恰当的泛化的对称形式(2.10),(2.14)的施莱辛格系统更高的属表面反过来应该允许获得一个类似的建筑相关的重要的微分方程满足函数。我们猜想,在某种意义上形式(2.10)应该普遍;它应该保持不变,尽管维拉宿发电机的定义和变量可能会发生变化。(iv)正如我们上面提到的,额外的术语的哈密顿动力学symmetrised施莱辛格系统(2.19)可以吸收辛行动在更换标准仿射Lie-Poisson支架(2.18)通过集中其扩展的版本。然而,这中央扩展在任何有限,未见施莱辛格系统。这似乎表明,系统(2.10)应考虑不仅仅是一种对称的有限数量的波兰人的通常的施莱辛格系统,但作为一个“通用”施莱辛格系统包括无限的独立变量。据推测,这全系统涉及到发电机和系数不仅为正数,也为负。在这种背景下,中央扩展版的支架(2.18)应该显得自然。最有趣的问题是找到这样一个广义系统的几何的起源;一个可能的候选人可以isomonodromic高等属变形曲线。

确认

h . Samtleben的工作由国家支持的部分de la矫揉造作的(ANR)。d . Korotkin的工作被NSERC支持,NATEQ,康科迪亚大学研究椅子格兰特。