编码真正的空四动量为世界坐标表

抽象

最小化的动作的结果绳状上的单纯连接世界片系统被示出为实空动量四矢量的直角坐标分量编码为对世界片坐标。该鉴定不同的做法一致的问题出现。

1.重演

本文是基于由费尔利和Roberts [旧发布项目1]，其历史可以追溯到1972年大约上的模型由弦理论，或者说双谐振模式，因为它当时被称为建议的幅度。（本文中的结果记录在罗伯茨的博士论文[2]）。我被戈达德等人的著名论文的自明的真理不堪重负。quantising的玻色子串在26名维[3]，这是我所认为的弦理论的经典论文之一，我从来没有提交本文出版。然而，近段时间以来，有已出现由Sommerfield和索恩[文章4]，其中第四部分是密切相关的中提出的模型[1]，它可能是一个适当的时间，得到这些想法的播出。此外其他最近的事态发展引起的最大侵犯螺旋性的解释在杨米尔斯理论（MVH）振幅拓扑串振幅方面[五]。这是在的心脏空四载体和科巴 - 尼尔森变量之间的连接[1]未必完全巧合。其目的是构建生活在一个严格的四维时空颗粒可行的幅度，并与零和质量，而不是它的困扰玻色串双共振模式的超光速粒子基态。其中一个已经走到了干预的岁月更赞赏物理过程的易处理模型的特点是经常存在之间是什么听话的数学和一个想有什么不匹配;例如，潜在积超对称杨米尔斯作为对QCD的难解，或其中显示两个孤子和洛伦兹不变性，在两个维度的工作成本的正弦戈登模型。这里一个功能类似于自双杨 - 米尔斯理论，具备瞬即使签名的空间，存在;我已经意识到，提出的理论是，越来越引人注目的数学在签名的空间虽然洛伦兹解释绝不排除。这将在后面关系进行讨论Gross和芒德对高能量散射工作[6]。的出发点是著名的科巴 - 尼尔森式，它给出一个优雅表达为点树振幅与进入的动量粒子对于开弦的基态[7] （这种集成措施被引入作为共形不变性的结果;以考虑这样的性质沿其上执行积分实轴是下莫比乌斯组的变换下保持不变，条件是。）的映射下，这意味着不变性： 已经表明，这种公式产生作为来自简单地连接世界片串散射的贡献，由于共形不变性的性质。写的另一种方式（1.1）是作为一个指数： 在积的指数可以被解释为在动量在指定点进入上半平面的动作（欧几里得）贡献然后将其积分，得到给路径积分的贡献，用于从单纯连接世界片所引起的振幅。在一个主要的不足之处（1.1）是快子条件，即，该轻等。从下映射不变性其保持上半复平面这一要求如下。激进的想法背后[1]是给对于振幅不同的解释式;不整合，而是确定坐标通过最小化被积;这等于是，在第二版本使用最陡下坡的方法。要满足的方程，设置， 可以看出这些方程得到满足，前提是我们与签名4维空间与空四动量和坐标（这里的实际线）由下式给出 这样做是因为 第二个等式是通过使用的可选表达式获得。通过减去和合理化，我们有 求和所有颗粒归仓除并调用动量守恒，我们看到，（1.5）成立。如果不是真正的线，在整合（1.1）的单位圆的边界上进行的，其中所述动量输入的边界上的点可以通过parametrised 有一个莫比乌斯变换（1.3）连接两个表示，对于平面和光盘， 上的确复杂莫比乌斯变换相当于上转换。

2.另类视角

考虑嵌入在四维空间中的二维表面，并采取作为表面的四个矢量的参数表示哪里和与公制表面上固有的坐标： 哪里 （见[1]）。在南部，转到拉格朗日描述该领域的动态是世界片的面积的量度，并且是不变的reparameterisation形式 在另一方面，它是公知的，存在一个转变到所谓的等距坐标的坐标系统，其中，拉格朗日采取简单的二次形式 这是不变的只有在变量reparameterisations的子集其是共形的，即，那些满足柯西 - 黎曼方程变换。众所周知，坐标系统，其中，和是由下式定义参数等轴测。在该帧中，欧拉方程最小化（2.3）变为线性的和仅仅是 对于等距坐标系统中的条件可以被写成如下形式由于维尔斯特拉斯 哪里是的实部鉴于这一事实（2.5）成立提供是一个解析函数。在维尔斯特拉斯状态显示，坐标系的形映射保持等距性。我们可以用的Virasoro条件链接，闭弦[8，9]通过注意这其实就是模型的规范条件;写作 这也太严格，要求作为操作方程。相反，我们需要的矩阵元素（2.7）应该消失的所有， 那是， 满足该条件规定，这些条件与质量零个基态闭弦熟悉的Virasoro条件。的典型的溶液（2.5）与奇点的一个有限数量由下式给出 通过应用维尔斯特拉斯条件，我们有 这必须是所有真，这显然需要并且，与保护的四个动力，也需要同样的条件像之前一样。在四点功能的情况下，这些条件的溶液（1.5）可以在横比计迎刃而解给 哪里 此结果是，在交叉比计，是独立于度量的，所以也与签名洛伦兹度量工作。得到的幅度同可被评估以得到 如在固定，也就是说，它表现出雷吉渐近行为。高能串幅度的渐进性的主题是由Gross和闷得[检查，所有订单之后的某个时候6]谁发现了相同的连接（2.11）横比和曼德尔施塔姆变量之间。

3.洛伦兹签名

如已经说过，在四点功能的情况下的最小化条件可以在交比的角度来解决。这表明，条件可直接在变量的角度来解决无论度量。这的确是这样的;真正的四动量，该解决方案可表示为 不同的是，在签名的情况下，，四动量可以parametrised如，这意味着 所以变量趴在实际行。可替代地，一个三角参数化可以被使用，在这种情况下。然而，在签名的情况下，中，参数化是混合;，这意味着，所以没有明显的整合轮廓（1.1）。

4.极小曲面解读

进一步了解可通过嵌入的最小表面的参数化在四维欧几里得空间来获得，最初由于艾森哈特[10]，而是由邵氏[重新发现11]和在引用[1，12]。它由下式给出 其中一个主要是指相对于该参数的导数。假设我们寻求一个参数化，其中是的实部和是任意原点。然后，由于上述方程的线性度，我们可以分割和成独立的部件的总和，即，和演绎，直至产地转移， 如果一个公设，使用相同的关系作为之前获得，然后 这些方程具有形式的基本解决方案 哪里和和是一个真正的参数。如果实际参数化（1.8）采用，则趴在实轴 如从移动至通过跳跃在点，所以通过动量的部分和形成在所述歪斜多边形（在帐户动量守恒的闭合）被映射到在实线的间隔。

五，结论

本文的主要消息是要提请注意真实空四动量的直角坐标分量之间的链路在四维扁平空间和一个简单地连接世界片复数变量，以最小的表面相关联的，或串的形式演化。该组的四个动量也需要和为零，也就是说，动量在系统中保存。各个方面导致这种识别进行了探索。的科巴 - 尼尔森积函数的最小化，在向运动的自由方程的基本解的线性组合的维尔斯特拉斯条件的结果，以保证一个最小表面的解决方案，以及从所述艾森哈特直接测定此类最小表面溶液的参数设置都示出为意味着复变量的相同的识别中的一个空四维动量的组件的术语。在连签名的空间，在一个表示中，复数变量趴在实线;在另一圆上;在奇数签名（洛伦茨度量）的情况下，没有在其上的变量位于特定曲线。复杂的变量转换后实施的势头均匀洛仑兹变换。

在我们原来的纸，因为是标准的做法，这些想法进一步发展的乐观预期升温，但必须承认的是，无论笔者之所以能在其间35年实质上是新添加任何东西！然而，正如T.S.艾略特说，“一首诗可能有哪些是从它的作者隐藏的意义。”这可能是最初由艾森哈特提出的四维极小曲面方程解的进一步检查，就会有收获。本文的观点似乎根植于四个维度;古典弦乐解决方案的[提出的参数化12，13]基于除法代数可以包含线索以延伸到10个维度动量和世界坐标片之间的连接。最近Sommerfield和索恩[纸4]延伸他们的想法将广告空间 - 时间，并且世界片通过其上呈现在其中，也包含在空行的闭合多边形限定的图片[14]是基本上相同，在第4本纸。另外，高能量的字符串的治疗振幅由Gross和芒德[6]扩展了这种分析，以多重连接的世界片的某些方面。

本着这种精神，这种修改和重写[版本1]在希望动量空间和世界片之间的一些更深的联系将被发现提供。

参考

1. D. B.费尔利和D. E.·罗伯茨，“双模式没有超光速粒子，一种新的方法，”未发表。查看在：谷歌学术|MathSciNet
2. D. E.罗伯茨，双振幅的数学结构博士论文，达勒姆大学图书馆，达勒姆，英国，1972年，第四章。查看在：MathSciNet
3. P.戈达德，J.戈尔德斯顿，C. Rebbi和C. B.刺，“一个无质量相对论串的量子动力学，”核物理B卷。56，没有。1，第109-135，1973。查看在：出版商网站|谷歌学术
4. C. M. Sommerfield和C. B.刺，“用于在平坦和广告字符串散射时空古典worldsheets，”物理评论d卷。78，没有。4，文章编号046005，16页，2008年。查看在：出版商网站|谷歌学术
5. E.威滕，“微扰规范理论作为磁扭线空格的字符串理论”在数学物理通讯卷。252，没有。1-3，第189-258，2004。查看在：谷歌学术|MathSciNet
6. D.J。Gross和P. F.芒德，“串散射振幅的高能量的行为，”物理快报乙卷。197，没有。1-2，第129-134，1987。查看在：谷歌学术|MathSciNet
7. Z.科巴和H. B.尼尔森，“为反应幅度ñ-mesons的韦内齐亚诺-Bardakçi-Ruegg-的Virasoro模式的推广，”核物理B卷。10，没有。4，第633-655，1969。查看在：出版商网站|谷歌学术
8. S.富比尼和G.韦内齐亚诺“的双共振车型级别结构”伊尔诺沃Cimento一卷。64，没有。4，第811-840，1969。查看在：出版商网站|谷歌学术
9. M. A.的Virasoro，“附属条件和鬼魂的双谐振模式”物理评论d卷。1，没有。10，第2933至2936年，1970。查看在：出版商网站|谷歌学术
10. L. P.艾森哈特，数学的美国杂志卷。49，第769，1912年。查看在：MathSciNet
11. W. T.肖，“Twistors，极小曲面和字符串”经典和量子引力卷。2，没有。6，第L113-L119，1985。查看在：出版商网站|谷歌学术|数学文摘|MathSciNet
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13. D. B.费尔利和C. A. Manogue“的协变超弦的参数化，”物理评论d卷。36，没有。2，第475-479，1987。查看在：出版商网站|谷歌学术|MathSciNet
14. L. F. Alday和J. Maldacena，“胶子散射振幅在强耦合，”杂志高能物理卷。2007年，没有。6，2007年。查看在：出版商网站|谷歌学术|MathSciNet

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