广义概率函数

摘要

从非对称双曲线的集成，获得了对数函数的一个参数泛化。反求这个函数，就得到广义指数函数。通过数学好奇心的激励，我们表明这些广义功能适合于概括一些概率密度函数（PDF）。广义指数函数可以方便地描述非常可靠的等级分布。最后，我们将注意力转向单尾伸展指数函数的泛化。如此，我们获得了特定情况，广义误差函数，ZIPF-MENDELBROT PDF，广义高斯和拉普尔PDF。还在分析上获得累积功能和矩。

1.介绍

概括对数函数的便利性很久以前引起了研究人员的注意[1，特别是在最近几年[2-7.］．在物理学中，在不同的上下文中提出了几个对数函数的一次参数概括，例如非偏向统计力学[8.-13]，相对论统计力学[14那15Quantum Group理论[16］．此外，更复杂的，如双参数[17三参数[18]已经提出了概括，每个人都包括以前的情况。例如，在不同的领域中看到了这些概括的便利性，例如，心理物理学[19),神经经济学(20.那21]，生态物理学[22那23]复杂网络[24那25]，人口动态[26那27“等等。

在这里，我们的主要目的是表明，作为概率密度函数（PDF）写的广义拉伸指数函数适用于概括各种单尾PDF。这种方法强调了几种概率分布的出现，这是由数学好奇心的动机。在部分2，我们表明，从非对称双曲线的集成，一个人可以获得对数函数的一个参数泛化，我们呼叫-logarithm。该泛化与非直言恒温学中获得的泛化一致[9.那10］．反相的-对数，则得到广义指数(-指数函数。给出了这些广义函数的一些性质。在部分3.， Naumis和Cocho得到的非常可靠的秩分布[28]方便地描述- 强调功能，允许我们在描述中检测有限样本大小的效果。在部分4.，我们首先证明Zipf-Mandelbrot函数，它是一个复杂系统的指纹，可以方便地写成- 相比。提高-指数参数到一个给定的幂，得到一个函数，推广扩展指数函数。给出了其生成微分方程。在部分5.，我们考虑连续变量的PDF。首先，我们认为单尾的指数概括并获得分析其累积功能和时刻。一个人作为特定案例和ZIPF-MENDELBROT PDF获得广义错误功能。接下来，我们考虑双尾广告拉伸指数PDF，并在分析上获得其累积功能和时刻。一个具有特定情况的广义高斯和广义的Laplace PDF。特征函数在分析计算。我们的最终言论是在一节中绘制的6.．

2.这- 一成本的功能

根据非对称双曲线的整合，我们获得了对数函数的一个参数泛化，这与非直播恒温学中获得的一个参数概括[9.那10］．反求这个函数，就得到广义指数函数。给出了这些广义函数的一些性质。

2.1。广义对数函数

在我们地址的一个参数泛化中，这里-Logarithm功能被定义为下面的区域的值，在区间内[29] 这是针对所有实际值定义的，但只有积极的．这与从非广泛性统计力学中得到的函数完全相同[8.那9.]但是，这里只使用简单的几何参数在推导中使用。

通常的自然对数（）被检索到和一个线性函数．变量的缩放和变形是由，这样，一个有对于特定的案例那．请注意,使用代替，如用于[8.那9.]，更简单地处理缩放和变形操作。

2.2。- 一成本的指数功能

这-指数函数被定义为- value，以这样的方式：下面的区域，在区间内， 是．这是-Logarithm功能它是由 注意只有在真实的时候．

这是一个非负功能（， 对所有人和） 和，独立于价值。为了，得到通常的指数函数和，线性函数。请注意，在下面取出表面要统一，一个概括了欧拉的号码：．有趣的财产是，意思是-Expential的参数缩放对应于不同的功率指数函数。为了，一个有．

的导数关于的指数函数是，使它是以下非线性一阶微分方程的解决方案：，这是Bernoulli的微分方程的特定情况：， 和和．注意有尺寸过度的．这意味着它建立了一个比例（反转维度)，只有当．上述微分方程的一个重要应用涉及反应动力学[30.］．

3.β类似的分布

让我们把注意力转向离散随机变量，特别是秩分布。我们证明了由Naumis和Cocho [28]方便地描述指数函数。这样，我们就可以量化有限尺寸的效应。这种等级分布是非常可靠的，因为它有一个基本的微观模型，并已被广泛的实验数据验证[28］．

为了同时符合复杂系统，Naumis和Cocho的实验级别分布的开始，身体和尾部[28] 考虑具有大量内部状态的独立子系统。秩依赖于子系统的内部状态的系统属性衰减为双无参数β类似的功能：， 在哪里， 和的最大值那是归一化因子，还是两个自由参数和．如作者所注意到，如果， 然后， 在哪里是beta函数[31] 和那是函数[31］．

有限尺寸效应用因子来描述， 为了和．通过这种方式，我们可以看到实际上是幂律相乘的标准技术的推广()通过指数截断:．

如果一个人写然后 意思是-Expential函数可以正确考虑有限尺寸效果。取消检索指数截止和增长,但必须比， 具有和， 和．

4.特殊功能和流程

在下面的情况下，我们首先表明，Zipf-Mandelbrot函数是复杂系统的指纹，可以编写- 相比。接下来，提高-指数参数到一个给定的幂，得到一个函数，推广扩展指数函数。最后，我们得到了以广义拉伸指数为解的过程(微分方程)。

4.1。Zipf-Mandelbrot函数

ZIPF-MENDELBROT功能可以很好地描述复杂系统的典型等级分布的包络[32]，可以用拟合方式编写-指数函数： 和那,．

我们评论（4.1)在时变发光光谱学中还有另一个有趣的应用。在这种情况下，松弛过程被称为贝克勒尔衰变函数[33］．

4.2。广义拉伸指数函数

在这个论点中的变形（4.1)得到广义伸展指数函数

通常的拉伸指数函数，也称为kohlrausch函数[34-36]从（4.2）在极限中．虽然（通常）拉伸的指数函数已被用于描述时间依赖性发光光谱中的弛豫过程[36]，形式的概括适合体验数据似乎更方便[37］．在这种情况下，我们强调了- ential eneriential的数字作为通常指数函数的参数。

还可以获得拉伸的指数函数作为以下微分方程的解决方案：，可以根据对数函数（相对变化）编写的．如果把上面得到的微分方程中的对数函数替换为-Logarithm，获得一个 或等效 这是Bernoulli等式的特定情况：， 和和哪个解是(的广义拉伸指数函数4.2）。

5.概率函数

考虑到这个因素并使用不适应性（4.2)，我们写了扩展指数PDF的推广，并研究了它的性质。我们考虑了单尾和双尾分布，得到了一些已知的pdf(广义高斯分布)和新的pdf(广义误差函数和广义拉普拉斯分布)。

5.1。单尾PDF

如果被考虑的独立变量被限制为非负（或最终非呈现）值，然后一个使用单尾PDF。我们考虑拉伸指数PDF的泛化，并分析地获得其累积功能和时刻。根据该PDF，可以将广义误差函数作为特定情况和ZIPF-MENDELBROT PDF作为另一个。

归一化因子的 （4.2） 是

积分（5.1)并非只有在以下情况才会发散那那，一个人有广义拉伸指数PDF：

就我们的目的而言，它写起来更方便： 哪个是在图中描述的1和2．

作为那， 自从，一个检索拉伸的指数函数或．

累积功能（5.3） 是 在哪里

Hypergeometic函数是[31] 和

是pochhammer符号。

时刻是 只有在其中看到它们只是有限的．

如果，平均值和方差是有限的，分别给出 请注意，比率仅取决于和，但不是在．

特定的值导致A.-概化的误差函数和Zipf-Mandelbrot pdf。

5.1.1。广义误差函数

概括错误功能，考虑和（或者) (5.4一个人 作为那一个检索标准误差函数:．

获得的另一种方法（5.9)载于[38］．

5.1.2中。Zipf-Mandelbrot PDF

为了在(5.2)，得到Zipf-Mandelbrot的pdf 平均值和方差的情况下 这是有限的而且，来自（5.4），获得其累积函数： 上尾分布是由 哪个更适合将模型拟合到真实数据而不是PDF（5．10）本身。

5.2。双尾PDF

如果所考虑的独立变量的域未束缚，则需要考虑其绝对值在(5.3)，还有一个关于这条线的对称PDF．注意，在这种情况下，归一化因子必须减半，因为域已经以对称的方式翻倍，那么广义拉伸指数pdf 这是一个在小波中使用的方便函数[39］．其累积函数为 在哪里是（谁）给的 （5.4）。

一方面，由于其对称性，这个pdf的奇怪时刻消失了， 和另一方面，偶数时刻只有当：

在下文中，我们将广义高斯作为特定情况检索（5.14）。此外，作为一个新的结果，我们建议考虑另一个特定的情况（5.14）概括Laplacian PDF。分析计算了两种特定情况的特征函数。

5.2.1。广义高斯

双尾广义拉伸指数函数的一个有趣的特例(5.14） 那时候，这导致了-Gaussian [40.] 由于对称性，所有奇怪的时刻都消失了。甚至是时刻（5.16） 并且差异仅限于

使用这一点那,当在(5.17），还有一个是带有方差的高斯分布：，作为一个特例。另一个特殊的例子是时间一个人检索洛伦兹（Cauchy PDF）．

的特征函数(5.17）有一个分析封闭形式 在哪里是-修正贝塞尔函数[31]： 对于高斯函数也有高斯函数但对于洛伦兹方程，它有拉普拉斯函数．

5.2.2。广义拉普拉斯PDF.

为了和，（5.14）通往Laplace PDF．任意，一个有广义拉普拉斯pdf 它的累积函数是 在哪里是（谁）给的 （5．10）。

奇怪的时刻（5.22）消失，甚至是有限的 其特征函数具有解析闭合形式 在哪里和Hypergeometic函数是[31),与作为pochhammer符号。

六，结论

我们已经表明了- 指数的一项化适用于概括拉伸指数函数。这- 一般化的拉伸指数函数具有广义误差功能，广义的拉普拉斯PDF和已知的广义高斯作为特殊情况。此外，我们使用了- 编写Naumis和Cocho获得的非常可靠的等级分布。由于这些分布是描述复杂系统的微分方程的解决方案，因此-泛化将许多不同的系统用相同的基础过程来描述。

致谢

A. S. Martinez承认巴西机构CNPQ（303990 / 2007-4和476862 / 2007-8）的支持。R.S.González还承认CNPQ（140420 / 2007-0）的支持。

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