建设性的场理论在零维度

文摘

建设性的场理论可以看作一种重组微扰理论收敛。在这个教学注意我们建议漫步通过五种不同的方法来计算域的连接图的数量场理论、复杂性递增的顺序和力量。

1。介绍

新的建设性的玻色子场理论方法最近提出了基于森林应用规范公式重新打包微扰理论在一个更好的方法。这使得计算连接相同量的理论公式,但求和树木,而不是森林。(建设性的费密子场理论更容易,重新包装的树木更早(1- - - - - -3]。)结果制定的理论是一个收敛的而不是不同的扩张。简而言之,这是因为比图有更少的树,但他们仍然捕获重要的物理信息,这是连通性。

结合这样的森林与中间磁场公式resummation的方法会导致一个方便微扰理论。这种形式主义的主要优势在先前的集群和Mayer扩张是连接函数捕捉到一个公式,例如,矩阵的波莱尔可和性定理模型可以获得正确的尺度大小的矩阵(4]。由此产生的方法适用于普通量子场理论在交换空间(5]。然而在这个角度连接功能仍然涉及功能积分中间领域的多个副本。

最近另一个更有建设性的观点(6)是一个量子欧几里得玻色子场理论是一个特别积极的标量产品通用矢量张成的空间”标志着树木。“标量产品是通过森林树或公式应用到普通的扰乱性的量子场论模型考虑的扩张。这个公式本身就是model-independent整改和微扰理论不同,打破费曼振幅成碎片并将这些作品到盒子标签树。

在这个角度看,建设性的范围减少的积极性普遍的哈密顿算符。真空是微不足道的树和相关函数是由“真空期望价值”,遇到组合溶剂的哈密顿算符。依赖于模式的细节,如时空维度,交互和繁殖专家输入矩阵的定义元素的标量积。这些矩阵元素只是有限资金的有限维费曼积分。

我们被要求解释这些新思想教育的方式。这是我们做这个简短的报告中最简单的例子,即零维的连接图理论。这个理论对应于一个普通的单变量积分,不同的建设性步骤后,我们希望在这个简单的示例将公开核心理念更好。主要的照片上可以看出是建设性的理论的本质是关于使用巧妙的树木和副本。

2。森林里的公式

一个森林点是这些点的图,没有周期(周期通常是由物理学家称为循环)。图没有森林森林被称为空行。与本公约有两个不同的读者可以检查,森林2分,7个不同,森林在3分,4分28。

树(也称为生成树)点是一个连接的森林,这是一个没有周期连接所有的图点。一个著名的由凯莱定理指出,有没错不同的树点。

考虑这样的点,一组对有这样的点元素为和一个光滑函数的变量,。注意的是为森林,标准规范的公式是(7,8]

在哪里

(我)的总和在森林的顶点,包括空;(2) 下确界的吗为在独特的路径来在,在那里。如果没有这样的路径,按照定义;(3)对称的通过矩阵定义为和为是正的。

人们很容易检查只不过,这是微积分基本定理:。为更高的价值另一方面,的结果(2。1)是真正重要的,因为这个案子已经证明,我们得到一笔七项匹配的七个森林图1:

这个公式的一种特殊变体(2。1)实际上是更适合直接应用费曼参数表示的振幅。它由改变变量和重新调节范围的变量。一个人,如果是光滑的和良好定义的限制的任意组合倾向于,

在哪里

(我)的总和就像上面;(2) 是上确界的为在独特的路径来在,在那里。如果没有这样的路径,通过定义。这是因为交换变量的变化和。

我们叫来区分这两个公式第一个参数(如“弱化”)自公式涉及infima,和第二个参数(如“加强”或“上确界”)自公式涉及suprema。

尺度分析是重整化的关键,尺度可以方便地定义在量子场理论通过传播算子的参数表示。加强公式(2。3),而不是削弱公式因此特别适应规模分析和重正化。

终于注意到各种扩展这些公式应该有用的进一步理论研究。一个一般的理论给出的公式(9]。

3所示。波莱尔可和性

幂级数的波莱尔可和性意味着存在一个函数有两个属性(10]:

(我)解析性在一个磁盘的切线虚轴在原点躺在右边的磁盘,因此定义的一个条件(2)加上剩余估计统一在磁盘:

给出任何幂级数最多,有这样的一个函数。当有一个,它被称为波莱尔和,它可以从该系列计算任意精度。

因此波莱尔可和性是一个完美的替代普通解析性扩展函数时在一个点解析性的前沿领域。波莱尔可和性只是一个刚度比分析性方面扮演着相同的角色:它选择一个独特的之间的映射某个类的某个类函数和幂级数。在这个类中,所有关于函数的信息因此捕获列表更加紧凑的泰勒系数。

早期,功能性积分和费曼扰乱性的系列介绍了研究量子场论,但它是意识到对应的幂级数一般是不同的。当一个可以建立这两种方法之间的联系,它通常是通过波莱尔可和性或变异。这就是为什么波莱尔可和性对量子场理论很重要。

4所示。建设性的理论在零维

在本节中,我们提出建设性的理论测试的进化思想的简单示例变量代表了普通积分在零场理论维度。

正常化或分区理论是普通积分的函数:

很明显,定义良好的与,分析了。它有一个泰勒级数在原点与。利用泰勒展开式,剩余的积分也非常容易证明波莱尔可和。但在我们感兴趣的是计算物理连接的数量,因此在函数。因此我们可以制定简单的玻色子建设性场论问题如下。

问题4。如何计算 并证明其波莱尔可和性最明确和有效的方式吗?

我们将评估不同的方法日益成熟的如何回答这个问题:

(我)组成系列(XIXth世纪),(2)像费曼(1950),(3)“古典建设性”,洛杉矶Glimm-Jaffe-Spencer(1970年代- 2000年代)(iv)与循环顶点(2007),(v)与树向量空间(2008)。

4.1。系列组成

第一个评论是我们知道的显式的幂级数,它开始于1,所以;我们知道明确的系列所以我们可以替代为和抢救,我们得到一个明确的公式系数泰勒级数的:

总而言之,这种方法会导致一个显式公式,但没什么用。波莱尔可和性的目前还不清楚。甚至的标志目前还不清楚。

4.2。像费曼

费曼明白可以表示成一笔相关图纸,著名的费曼图。但真正的数学能力,这个想法是它允许快速计算对数:他们只是由相同的总和,但在连接图纸!

遇到组合物种是一个丰富的数学理论编制的直觉;参见[11]。一个物种大约是有限集的结构和组合由“点”计算数量物种的元素点。一个基本工具,这种效果是发电系列的物种。让我们说一个物种增殖如果它产生幂级数的收敛半径为零。目前制定的一个大问题扰乱性的量子场论是普通费曼图繁殖的物种,而树则不是。建设性的理论的主要问题是因此取代费曼图的树。

在我们的例子中图纸的灯芯收缩真空图表,图表在每个顶点顶点与协调4(循环,称为蝌蚪物理学家,被允许):

这样我们可以很容易地计算,,

通常量子场理论文献中有痛苦的讨论什么是费曼图是什么它遇到组合重量或“对称因素。“这是重要的独立费曼振幅的最短的列表,在实践中来计算。但在概念上是更好的考虑一个图表作为一组“灯芯收缩”,是一组匹配的字段,所以从来没有“对称因素”进行了讨论。(字段对应于半线,也称为旗帜的数学文献和旗帜的物理学家的观点,不是线,是图论中的基本要素正在慢慢使其在数学文献[12,13]。)

波莱尔可和性仍不清楚。但作为第一水果的费曼图清楚的想法,我们现在看到明确:我们知道另一个幂级数。

4.3。经典的建设性的

玻色子建设性场论的标准方法是首先打破时空的功能在离散化积分,然后测试相应的功能之间的耦合积分(集群扩张),从而导致理论与核心写成一种聚合物气体约束。气体稀释在小耦合,免费功能正常化积分必须分解。最后连接函数计算通过扩大了核心约束通过所谓的梅耶尔扩张(14- - - - - -17]。

在域的情况下不需要离散化时空的单点;因此看来,第一步,即集群扩张是微不足道的。这是正确的,除了剩下的从这一步是因式分解“免费功能”积分;所以一个一阶泰勒展开式余数对应于强集群扩张。但之后,梅尔扩张完全是重要的和非常有益的,因为一个单点确实核心约束自己!

因此(集群扩张)的第一步

更有趣的梅耶尔扩张在这种情况下由引进许多副本或“副本”:

定义对所有我们可以把明显愚蠢的公式:

但定义,导致森林和应用公式

它允许容易把对数

在第二个和运行在树木!这样我们得到以下。

(我)因为每个收敛现在容易包含一个不同的“复制”“功能集成”(当然这是一个普通的集成)。(2)波莱尔可和性的现在很容易从波莱尔可和性。

缺点是,“时空”和功能积分依然存在。集群一步,适当广义Glimm在非零维,贾菲,斯宾塞,和追随者,严重依赖于本地,因此似乎并没有潜在的工作标准时空或外地或矩阵像理论像非交换的Grosse-Wulkenhaar模型理论18)或组量子引力的场理论模型。

4.4。循环顶点

中间字段表示是一个著名的技巧来代表四次互动,在一个立方:

在哪里是高斯测量协方差,即:

我们可以再次介绍副本方式略有不同。我们中间字段复制到副本,,一个相关因素也称为“循环顶点。”理论并没有改变如果我们使用所有这些字段联合高斯协方差衡量与退化,,。的话,相应的测量没有密度对勒贝格测度

它知道δ函数是不够的是高斯测量!

这不会改变任何多项式的期望值;因此,维尔斯特拉斯定理理论是不会变化的。但是现在可以森林公式应用于非对角的耦合。它给

在哪里如果,和

在第二个和运行在树木!

主要优势在于繁殖专家和顶点的角色交换!结果是一个树木求和循环,或仙人掌。

自

循环顶点涉及分母或“正确性”而不是的。但是有一点微妙与第一项“微不足道”为这是一个单顶点循环与价值。与分母也转变成一个表达式应该执行一个泰勒展开步骤和整合通过分部积分场:

一次已经被重写以这种方式我们有以下。

(我)收敛是容易的,因为,因为树不扩散。(2)波莱尔可和性是很容易的。(3)该方法扩展到非交换场理论和矩阵像给正确的预估模型。

方法是更加困难的缺点是当更高程度的交互,例如,,因为需要更多的中间领域。而且功能积分在中间领域仍然存在。

4.5。树量子场论

最后一个方法不再需要功能积分!在某种程度上它是最接近费曼图,因此乍一看像是一种倒退在建设性的理论。开始就像建设性的费密子理论。

在一个给定的量子场模型,森林自然振幅公式确实associates一个树。是相关联的所有贡献的总和,树一树公式适用于阶的微扰理论那模型。

在我们的零维情况下这意味着我们从平时开始正式的微扰理论:

在哪里和协方差的高斯测量1。当心这个金额和积分交换是不合法,相反(4.10)。这就是为什么结果,即普通微扰理论发散!然而我们将使用本系列微扰启发式的方式;即,我们重新包装根据森林公式,用零件所以获得构建(半定)标量产品标记树生成的向量空间。这将允许另一个函数的严格的建设性的扩张。

然后我们再次介绍副本,而是普通的顶点:

在哪里是退化和协方差衡量吗对所有。

应用协方差公式,给出了树同样

在哪里如果,,所以正式

的强树树振幅因此,除了

备注是零树与程度超过四个顶点。

似乎很少取得建设性的层面上通过重写费曼图只是一个潜在的树,像在费密子理论。但有一个隐藏的凸性在这隐藏了底层的nonperturbative稳定理论。

它确实是所示(6),一个可以构造一个标量产品在一个抽象的无限维向量空间与跨越的基础上标记,标志着树木,树木在一个特定的叶子(我。e,顶点的度1)。有一个自然的外部粘合操作发送到(标记)树通过粘合两个标志。

这个操作诱发自然(半定)标量产品和自然哈密顿算符。标量的产品仅仅是。大致说来的哈密顿算符胶树都挂一个顶点和两个标志。这是厄米-运营商希尔伯特空间上的完成对于上面的标量积。

为理论人们总是可以限制树木在每个顶点度最多4。

连接两点的建设性的表达功能

用这个方法计算

在哪里是一行的琐碎的树。因为在nonperturbative是定义良好的水平埃尔米特是负面的。

这种方法不需要任何功能积分,是由有限阶树及其标量张成产品只取决于有限维扰乱性的计算。似乎最有希望在未来研究量子场论的方法,包括noninteger维度。然而波莱尔在这个表达式可和性不是完全明显因此需要更多的工作。

还要注意,函数的表达式和在这个方法需要一个轻微的延伸(6]。这棵树公式(2。1)- (2。3)应该推一个泰勒一步endotree公式;见上图。Vacuum-connected图应该是分布式endotrees求和而不是树,和空间应该相应地扩大。相应的形式主义的这种方法开发的多尺度版本。我们仍认为这种方法是最一般的,并承诺一个为未来的建设性的理论,因为它是最抽象的和一般。函数积分和时空过程中扮演着重要的角色,这使得理论呼吁情况如noninteger维度或未来的量子引力理论。

确认

作者感谢a . Abdesselam和p . Leroux组织非常刺激组合数学和物理研讨会,在此期间b·法里斯要求这样的教学笔记。他们也感谢IHES这些思想提出了作为课程的一部分的邀请康涅狄格州。他们也感谢雅克Magnen终身合作建设理论的主题,只略微谈及教学笔记。最后他们感谢Matteo Smerlak批判阅读手稿。

引用

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