提高基于DWT+SVD的混合图像水印鲁棒性的可行性研究

摘要

目前，我们面临着不同的方法来增强图像水印方案的鲁棒性。其中有些是可以执行的，但有些尽管需要花费金钱、精力和时间来编程，却会因为在执行前没有一个强有力的可行性研究计划而失败。在本文中，我们试图在图像水印方案的实现之前给出一个合理的可行性研究。我们通过提出三种类型的理论、数学和实验推论来发展我们的可行性研究。在理论推导的基础上，得出了第二层奇异值分解(SVD)中的S系数对水印嵌入具有较高的鲁棒性的结论。为了证明这一点，本文给出了由两部分组成的数学推导，并得到了相同的结果。最后，为了进行实验推导，从256个不同大小的普通和医学图像中提取60个不同的宿主图像256年到1024年对9种常见的几何攻击和信号处理攻击施加1024，比较“S”系数在SVD的第一级和第二级的抗攻击能力。实验结果表明，与第一级SVD相比，第二级SVD的S系数的稳定性和鲁棒性有显著提高。因此，所有的理论、数学和实验推论都证实了SVD的第二级比第一级中S系数占主导地位。在本文中，我们没有展示任何具体的实现水印方案。相反，我们研究了第二层SVD和离散小波变换(DWT)的奇异值(S)所带来的潜在性能增益，并证明了它们与传统SVD+DWT水印方案相比的优越性。

1.介绍

引入数码图像水印，以保护数码媒体不受非法取用及非法更改[1- - - - - -3.］．为了在目标应用程序中实现所需的功能，必须特别小心，以使嵌入的水印能够抵抗攻击和操纵[4］．在数字图像水印中引入了各种技术。在[5将不同的图像水印技术分为空间域和变换域，并指出变换域技术比空间域具有更高的鲁棒性和不可感知性，便于水印图像的嵌入。另一方面，在…6在不同的变换域技术中，小波变换被认为是一种较好的图像水印变换域技术，而将小波变换与其他变换域技术相结合可以弥补各自单独使用的缺陷。在[7- - - - - -11DWT和SVD的混合被认为是一种有效的组合，以提高水印方案对信号处理和噪声攻击的抵抗力。

然而，根据攻击的类型和强度，这种混合技术也不健壮。

在本文中，我们纯粹研究宿主图像，在经过离散小波变换(DWT)和奇异值分解(SVD)变换后，寻找对几何和信号处理攻击失真最小的感兴趣区域。我们将此调查称为可行性研究，以便找到感兴趣的区域，从而提高稳健性。目的是通过选择宿主图像中感兴趣的区域来证明提高混合DWT+SVD方案鲁棒性的想法。

也就是说，主要是通过对主机图像的分析和理论研究来选择roi，具有较高的鲁棒性。

为此目的，可行性研究分三个阶段进行。第一阶段，研究支持SVD第二级S系数占优增强鲁棒性基本思想的理论推导;在第二阶段，通过数学推导证明了这些区域的优势，最后，通过暴露宿主图像在9种几何和信号处理攻击下的可嵌入性来研究候选区域嵌入水印的可行性。本文的组织如下:首先，给出了SVD和DWT的描述，以及SVD分解图像时图像的结构，以及寻找roi的方法。其次，对增强图像抗几何和噪声攻击的理论推导和初步探讨。在第三阶段，对这一理论推导进行了数学证明，最后为了证明SVD的第二级S系数的优越性，广泛的医学和正常图像暴露了9种最常见的图像处理类型和几何攻击和“S”系数的稳定性在SVD的第一级和第二级进行了比较，以实验证明理论和数学推导阶段。

如前所述，本文没有具体实施。事实上，我们说明了我们对攻击的“S”系数的稳定性的思想的方式，并因此选择为感兴趣的区域。在本文中，我们只是陈述了一个倾向于确保经济实施而不浪费时间，金钱和能源的方法。拟议的水印过程的整体实施在[12］．

2.SVD概述及建议的roi

奇异值分解（SVD），将矩阵分解到左右奇异的载体和奇异值的对角线矩阵。如果x会是一个mn矩阵，可以写成X=US ，其中U是正交的nn，“v”是一个mm个正交矩阵，S是nM矩阵使得其第一个r对角线条目是非零奇异值∂1，∂2，∂3……∂R和其余条目都是零。奇异值中值的顺序是∂1 >∂2 >∂3 > >…∂r. X=US的表达式称为x的奇异值分解。这个定义如下图所示1． 将图像看作一个矩阵，可以用U、V奇异向量和S奇异值进行分解。在SVD图像分解中，U和V承载了图像的全部几何规格，而S承载了亮度。由于S系数是无几何的，所以它受旋转和缩放等几何攻击的影响较小。然而，它们仍然不能抵抗几种几何和一系列的信号处理攻击[8，14- - - - - -16］．本研究的目的是从S系数中找到既能抵抗几何变化又不受信号处理变化影响的区域。

为了找到宿主图像中抗失真性高的区域，我们需要找到SVD变换后图像中能量最高的部分。由于在S系数中能量最高的部分位于S(1,1)，图像分块可能是一个好主意。

经过一层DWT后，主机图像被划分为nN块，而N <水印大小。将每个块中的S(1,1)收集到一个新的矩阵中，然后对这个矩阵施加第二级SVD。将该矩阵的S系数作为roi，并证明了这些次级系数在一层DWT后比一层SVD的S系数更鲁棒和稳定。数字2详细说明了该过程。

对于n的大小，该方案都可以执行N个宿主图像，它取决于所选水印图像的大小。例如，在a水印图像和一层小波变换应用于其上，在嵌入到宿主图像之前，水印的大小变为 ．因此,我们需要块来隐藏水印。考虑主机图像大小为 ，在一层DWT后，它变成和接收我们需要划分的街区成块去插入水印的位置。因此，最佳的块大小被选择为 ；对于其他尺寸的封面图像，需要进行相同的计算。

本文的其余部分用来证明SVD的第二层S系数作为信息隐藏的愿望宿主的优势，与SVD的第一级S系数相比。在接下来的演绎中，我们的演绎分为理论演绎、数学演绎和实验演绎三个阶段。

3.理论主机可行性推论

有必要检查主机图像以确定所选点（兴趣区域）是嵌入水印的合适地点。适用性在危害反对攻击和基于人类视觉系统的令人难以置信的变化和稳健性或不可见性方面定义的[17］．在这一节中，我们试图在宿主图像中找到稳定的位置，以便从理论上证明它们的稳定性。换句话说，我们必须在奇异值或SVD向量中找到熟练点。这些点的选择将基于SVD和DWT(作为与SVD相联系的另一个变换域，以形成混合鲁棒方案)中关于鲁棒性的事实和理论。从理论上讲，下面的推论将导致SVD的第二级“S”系数作为感兴趣的选定区域。

3．1.提高对隐蔽性的稳健性的基本思想和理论推导

下面，将解释实现鲁棒性的基本思想。

3.1.1。散射

根据(18[为了使攻击的最大鲁棒性，水印应遍布整个封面图像，而不是仅在有限数量的比特中隐藏。这种计划确保了水印对抗攻击的鲁棒性。

由于SVD将图像矩阵分解为奇异值和左右奇异向量的组成元素，因此执行这种变换技术将获得更大程度的扩展。DWT还执行了多分辨率技术，可以根据每个子频带定义图像[5］．因此，水印图像可以作为小噪声添加到每个子频带频率上。将水印作为小噪声加入到高频子带中，由于这些子带的值较小，因此被人类视觉系统所识别。相比之下，低频子带包含较高的值，很少能看到变化的影响。数字3.示出在每个频率子频带中的一个电平小波分解之后的图像的值以及通过检查值在DWT散射在整个图像中散射的小噪声。

3.1.2。可分性

根据[13]，可分性是水印的相关性与攻击后水印的最高相关性的区别。更高的可分离性导致更高的稳健性。它被称为一个参数“S”作为衡量稳健性的可分离性。 其中“C”为嵌入水印与被攻击水印的最显著系数之间的相关性，“CK”为第k个随机系数之间的相关性

水印后系数最大的水印数据攻击后如图所示4．可分离性越大，方案的鲁棒性就越强。

换句话说，水印图像应该隐藏到掩蔽图像中最突出的选定系数，这样攻击就不会产生太大的影响。

为了满足这一要求，同时也为了分散水印，将覆盖图像进行小波变换，并将选择的子频带分成n个n非重叠块（n是2的功率。然后将对每个块执行SVD变换。从此以来，执行了水印。在第二步中，我们必须找到隐藏水印最突出的系数。根据SVD定义，奇异值受几何和信号处理攻击影响，并且在奇异值中，（1,1）的坐标具有最大的能量压实。等式（3.）显示矩阵的奇异值的顺序： 如式(3.)，(1,1)位置的奇异值大于其他奇异值。因此，在上述位置的第一个奇异值将被选择并保存在一个最终矩阵中。这个矩阵是由每个n的所有奇异值构成的n块（1,1）位置。因此，它包括最高能量压实，并且通过同步的影响较小。在下一步中，将第二次执行SVD变换。通过该转变产生的奇异值也继承了最后一级的主导特征。

3.1.3。SVD奇异值的稳定性

经过SVD变换后，图像矩阵的奇异值对转置、翻转、旋转、缩放、平移不发生变化[19，20.］．这意味着在提到的攻击后，奇异值受到它们的影响。然后，它们可以是嵌入水印图像的好候选者。预计这些特征将由每个级别的SVD分解继承。因此，可以得出结论，在更高水平的SVD下的奇异值对几何和信号处理攻击更加坚固。

4.数学主机可行性推论

为了证明二阶奇异值分解的“S”系数所选区域的鲁棒性，进行了数学论证。在[21，22结果表明，对图像进行分块处理可以提高水印的鲁棒性。

本节的数学证明包括一个演绎，可分为两部分。

第一部分证明了在覆盖上执行阻塞时SVD分解的S系数比不进行阻塞时更稳定，第二部分证明了对我们第一次演绎的每个块执行SVD并收集S (1，1)在一个单独的矩阵中，对这个新的矩阵进行SVD，增加了第二个SVD中S系数的稳定性。稳定性表明，当图像暴露于攻击时，S(1,1)系数的值变化较小，并没有实质上的修改。因此，与仅对宿主图像进行一层SVD时的S系数相比，第二层SVD的S系数对小扰动的鲁棒性更强。

演绎:在演绎中，我们首先把A看作一个图像矩阵。将A分解为奇异值分解(SVD)，得到

如果水印隐藏在S系数上，那么我们有

一个为水印图像，U和V为图像a的奇异向量。水印隐藏在S系数中，公式如下:

其中S为图像A分解矩阵的奇异值，S’为水印W分解矩阵的奇异值，α是比例因子。

相反的年代在(5), (6)被取代得到

这个等于

另一方面，为ΔS，表示加入水印后图像S系数的变化情况。关于隐蔽性，αS '或ΔS应该尽可能小。为此，比例因子α，乘以水印的S系数。如果这些变化非常小，这意味着(8)时Δs→0将是一个非常小的值ε，但不是零。因此,我们有

另一方面，如果将图像A分成A1和A2、A3和A4四个区块，则 ：

然后，将每个SA1, SA2, SA3, SA4的所有S(1,1)集合成另一个矩阵B，并将矩阵B分解成其奇异值，得到

圣言后自 水印隐藏后，B变为B和矩阵B的分解是

由于水印隐藏在奇异值或SB系数中，因此 ， SVD可以写成 ,所以(12）可以写成

自 ， (13)写成

当 ，这意味着会是非常小的价值 ．用数学方法表示如下:

比较(9) (14),因为 和 B变奏< A变奏。

因为两个和质量来自于S系数，换句话说，是由A的奇异值组成，而SB是由A的S(1,1)二阶奇异值组成，因此S系数的变化和灵敏度对于图像处理的扰动和基于[23］．因为在(14)，结果证明小于和对小扰动稳定，据信的变化比…小 ．作为一个结果是更鲁棒的信号处理和几何攻击相比 ．

在该扣除中，证明了B矩阵的变化和约束小于矩阵中的变化和约束。

因此，在B矩阵中插入水印，包括矩阵的矩阵的高能量部分，在将其划分为块之后，比仅在A的奇异值中插入水印更鲁棒。原因是因为它的量应该隐藏在A和B中的水印是相同的，并且因为与SVD中的系数相比，B （ ） ，而对于B我们有（（ ）） ．因此，与A相比，水印在B中的分散程度更大，分散会增加鲁棒性。

可以在阻止盖子图像中扩展该扣除超过四个块。后来，我们还将根据实验结果再次证明这一点。

4．1.SVD2中奇异值的继承规范

经过SVD变换后，奇异值具有特定的特征，使其与一些几何畸变和信号处理畸变一致，具体如下[19，20.]：

(i)转置不变性:矩阵A及其转置具有相同的非零奇异值。

翻转不变性:矩阵A，行翻转 ，列翻转具有相同的非零奇异值。

（iii）旋转不变性：矩阵A和(旋转任意角度)具有相同的非零奇异值。

(iv)尺度不变性:如果我们将A放大L₁行和l的时间₂同时列在列中，对于每个非零奇异值λ的为放大后图像的非零奇异值。这两个图像将具有相同数量的非零奇异值。

(v)平移不变性:如果A通过增加黑色像素的行和列展开，得到的矩阵具有与A相同的非零奇异值。

(vi)转置不变性:矩阵A及其转置SVD的第二级具有相同的非零奇异值。

由于SVD2具有相同的SVD1质量，因此SVD2的所有规格都是从SVD1继承的。在这里，证明了转置不变性规范，其他规范引用了[23］．

现在，我们证明了由S(1,1)组成的B矩阵n块继承从矩阵的转置不变规范。换句话说，可以将来自矩阵的转置不变规范移动到B矩阵。

证明。考虑矩阵A，把它分解成它的奇异值和向量。所以我们有 如果将其奇异值分解为第二SVD，则(15）改变为 那么转置矩阵A就得到 然后 自是一个对角矩阵，在每个对角矩阵中，矩阵及其转置都是相同的。然后, 和 （18)可以写成a: 但是考虑到(15)和(16)，括号中的语句()的定义与 ．
因此， （19）可以写成 从而证明了B矩阵的奇异值也是转置不变的。
由于A和B矩阵中S系数的性质相同，上述S系数的规格都是可扩展的，可以应用于B矩阵的S系数。

5.实验结果证明了主机的可行性

这一节讲的是实验推理。它实际上是可行性测试的结果证明所选择的点插入水印,这是第二个层次的“S”系数的计算是合适的和健壮的嵌入水印及其鲁棒性比“S”系数计算的第一级。

在验证了增强鲁棒性的思想(采用二阶奇异值分解)后，从理论上和数学上进行了实验验证。为此，我们将医学和正常图像两个数据库中的60幅图像暴露在最主要的几何和信号处理攻击下，以实验证明SVD第二级的S系数比第一级的S系数更鲁棒。

由于主机图像是从两个数据库中选择的，因此从“http://sipi.usc.edu/database”中选择的所有图像称为正常图像，并且从“http://radiopedia.org/encebesia/case”中选择的所有图像/所有“数据库称为医学图像。

60个主机图像暴露于不同类型的几何和信号处理攻击，并基于等式中提到的性能度量（21），检查封面图像。图像类型包括医学和正常图像。检查的攻击是高斯噪声0.01，伽玛校正0.1，平均过滤器3×3，作物1/2，盐和胡椒0.01，缩放1/2，散斑0.01，中值滤波3×3，旋转50.归一化相关系数NC计算在SVD的第一和第二水平中的“S”系数。

进行这种比较的主要原因是了解攻击前后的“S”系数有多少相似之处。因此，一旦在图像上执行了第一层SVD，则根据以下公式检查第一层SVD的NC: 在哪里是攻击前的SVD主机图像中的第一级S系数。为攻击后SVD主机图像S系数的第一级。在此基础上，研究了宿主图像S分量在SVD分解第一级的稳定性。

第二次，NC将通过以下公式计算，但在主机图像中再次用于第二级SVD。 为了证明SVD第二级S系数的稳定性和阻力，将第一级S系数比较得到的NC1与第二级S系数比较得到的NC2进行比较。NC越大，显示出越强的稳定性和抵御攻击的能力。

测试是在不同大小的医学图像和正常图像上进行的。

在下文中，33个图像中的第一个和第二级SVD的平均NC，尺寸为512512, 9张1024的图片1024张，18张256张256年进行了比较。实验结果如表所示1- - - - - -3.．

如图所示5和表1尽那很清楚，SVD的第二级的“S”系数更稳定，并且它们对攻击的抵抗水平优于第一级的“S”系数。对于不同尺寸的图像重复该实验，例如10241024年和256年所有的结果都证实了这一发现。

数字6和表2示出了在SVD的第一和第二级的“S”系数的平均NC，其几个正常和医学图像的大小为10241024.如图所示6，在所有攻击中，SVD 2的NC在SVD 1中的NC大于NC。SVD 2代表SVD的第二级的“S”系数，而SVD 1表示在SVD的第一级别中的“S”系数。与前面的实验结果相同，说明了SVD的第二级S系数对攻击的抵抗程度以及相对于第一级S系数的优越性。

如图所示7和表3.，在所有攻击中，SVD 2的NC在SVD 1中的NC大于NC。SVD 2代表SVD的第二级的“S”系数，而SVD 1表示在SVD的第一级别中的“S”系数。关于该实验，在各种类型和图像尺寸的图像中完全证明了第二级SVD中的“S”系数的稳定性和优越性。结果，这些系数被认为是用于图像隐藏的好主机。在该实验中，所有正常图像都是从USC-SIPI Image数据库中获取http://sipi.usc.edu/database，所有医学图像都来自http://radiopedia.org/encebesia/cases/all包括患者真正样本的放射学病例。该数据库具有各种实验医疗案例样本，具有MRI，CT和X射线的不同模式。

6.结论与未来工作

本文没有提出具体实施。目的是确保我们的调查倾向于成功实施，而不会浪费时间，金钱和资源。重点是找到对主机图像的感兴趣区域，这是用于图像水印的稳定点，使得当它们面对信号处理和几何失真时，显示最少的改变。为此目的，首先，突出了基本理论，提高稳健性，然后在数学上证明它们。该理论和数学研究的结果最终利用第二级SVD来提高嵌入水印的感兴趣区域的稳定性。更多的稳定性导致更具稳健性。在数学证据之后，有必要在实验上显示第二级SVD的“S”系数的鲁棒性。为此目的，在嵌入水印之前在各种主机图像上进行实验。在该实验中，将60个主机正常和医学图像暴露在几何和信号处理攻击中，并且比较了SVD的第一和第二水平中的“S”系数的稳定性。实验结果证明了与鲁棒性方面的第一级相比，在SVD的第二级“S”系数的优越性。 Future work is to develop an image watermarking scheme based on the second level of SVD and to devise an authentication system in order to omit the false positive detection due to use “S” coefficients in SVD.

数据可用性

用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

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