利用离散变量表示(DVR)的Charmonium性质

摘要

采用离散变量表示(DVR)方法对charmonium的Schrödinger方程进行了数值求解。构造哈密顿矩阵并对角化，得到特征值和特征函数。利用这些本征值和本征函数，计算谱和各种衰减宽度。所得结果与其他数值方法和实验结果吻合较好。

1.介绍

第一个夸克态是在SLAC独立发现的[1]及BNL [2]，证实重夸克束缚态的存在。从那时起，夸克偶素一直是非常感兴趣的粒子物理学家，作为广泛研究系统的一个理论和实验[3.，4］．在各种实验中不断检测到新的状态。最近，LHCb合作[5]已检测到一个新的状态哪个被解释为未观测到的候选者状态。charmonium和底溴铵都有丰富的低于开味阈值的态谱，这些态谱已经被实验观察到，并且这些态的不同衰变宽度也被测量到[6］．重夸克系统的研究是很重要的，因为它提供了夸克相互作用势、约束、QCD耦合常数、CKM矩阵元和标准模型的各种其他输入信息，其中一些不能直接从QCD获得。

从理论上讲，基于潜在的唯象模型夸克偶素的系统已经研究了各种形式主义[7- - - - - -11，有效场论[12，格规理论[13- - - - - -16]，贝特萨尔皮特方程[17- - - - - -20.在这些之外，由于其简单性，基于潜在模型的形式主义是研究Quarkonium系统的广泛选择的方法。在该方法中，可以容易地结合相对论和量子校正。潜在模型在预测光谱和衰减宽度方面非常成功[7，9，10］．在势模型中，通常的方法是利用选定的夸克-反夸克势，通过求解Schrödinger方程来提取夸克偶的性质。现象学模型中广泛使用的夸克-反夸克势就是所谓的康奈尔势[21- - - - - -25]，它包括一个短距离库仑项和线性约束术语。这种潜在的形式也由格子QCD计算证实[26，27］．

Schrödinger方程势(包括康奈尔势)不能用解析法解决;因此，需要数值解。在文献中找到的求解Schrödinger方程的一些方法系统是基于龙格-库特近似的数值方法[28，29]、Numerov矩阵法[30.- - - - - -32[渐近迭代方法[33- - - - - -35，傅立叶网格哈密顿方法[36]变分方法[37，38)等。另一种数值求解Schrödinger方程的方法是离散变量表示法(DVR)。这种方法尚未应用于夸克光谱。因此，在本文中，我们数值求解Schrödinger方程采用Colbert和Miller的离散变量表示(DVR)方案的系统[39］．DVR方法最早由Harris等人提出[40]并且进行了广泛的灯和同事[开发41- - - - - -46］．dvr为量子动力学问题提供高效、准确的解决方案，已广泛应用于原子物理和量子化学[47- - - - - -56］．关于DVR方法的更多细节可以在参考文献中找到。［57，58］．

本文组织如下：在势模型的简短讨论用来描述本节给出了用于求解Schrödinger方程的DVR方案2．本分析中计算出的各种衰减特性在本节中给出3.．本节给出了目前工作的结果和讨论4．

2.形式主义

作为描述粲素的最小模型，我们使用了具有哈密顿量的非相对论势模型

在哪里是相对动量， 是减少的质量系统， ，和是夸克-反夸克势。和是单个夸克和古董的群众。用于描述夸克古克交互，我们使用标准康奈尔潜力加上高斯涂抹的触点Hyperfine交互[7]：

EQ中使用的参数。（2)列于附表1并通过拟合谱得到。Charmonium的性质可以通过求解对应于eq. (1）与方程给出的潜力。（2）.在本工作中，我们使用了Colbert和Miller [39］．在DVR中，哈密顿由矩阵上的点的均匀格栅（表示 ）在坐标空间中。一旦 -构造矩阵，对角化得到所选网格点上的界态特征值和特征函数的幅值。

在裁判。39，作者证明动能矩阵可表示为 与 ，在哪里为网格间距。势能矩阵是对角的

我们使用了eqs。（1） - （4）来构造在本模型中，其在对角化返回结合状态的特征值和所选择的网格点的本征函数的振幅哈密顿矩阵。In the present analysis, we have chosen a grid of length 10 fm with 1000 grid points. The eigenvalue problem for the matrix of the Hamiltonian (1)是用Mathematica软件解决的。对于给定的特征值，为了得到整个坐标范围内的特征函数，我们通过得到的网格点上的特征函数，利用Mathematica中的内置插值函数。为了进一步分析，我们使用这个插值函数作为简化的径向波函数的表示。获得的波函数的和状态如图所示1．以计算其精细结构 态，我们微扰地加入自旋轨道和张量项[7]：

表列出了钐的计算质谱2．利用得到的波函数，我们还计算了均方根半径( ）和径向波函数的原点处的平方（ ），我们的结果列于表中3.．

3.衰减特性

对于Quarkonium，大多数衰减属性都取决于波函数。因此，为了测试在上一节中获得的波力源，我们计算轻型衰减宽度和辐射衰减宽度（和 ）一些粲偶素的状态。

3．1.轻子衰变宽度

利用Van Royen-Weisskopf公式计算矢量态的轻子衰变宽度[63，64］． 在哪里质量是状态,是电子电荷的单元的魅力夸克电荷细结构是常数， 强耦合常数是和吗是径向原点处的波函数。括号中的项为QCD辐射校正因子。所得结果如表所示4．

3.2。辐射跃迁

磁性偶极子（ ）辐射跃迁遵循选择法则 和 ．的使用公式评估宽度[7］． 在哪里是发射的光子能量， 为包含初、末径向波函数的重叠积分，是最终状态的总能量，并为初始状态的质量。计算宽度列于表中5．

3.3。辐射跃迁

电偶极子( ）辐射跃迁遵循选择法则 和 ．的使用公式评估宽度[7］． 在哪里 是涉及初始和最终径向波力的空间矩阵元素，以及角矩阵的元素是

从目前的分析中得到的宽度列于表中6．

4.讨论及总结

在目前的工作中，我们使用COLBert和Miller的DVR方案进行了数值解决了富含富含炭系统的Schrödinger方程。哈密​​尔顿基质被构造和对齐，以获得富含炭疽态的肿块和波形。在表格中2，我们比较了径向和轨道激发的质量有实验[状态6]和其他理论预测[7，10，59- - - - - -62］．作者在参考文献。［7，59- - - - - -62还使用康奈尔型潜力来研究，其中如ref. [10[作者使用筛选潜力。从表格2我们看到，使用DVR方法预测与实验和其他理论的预测一致。在表格中3.，我们比较我们对均方根半径的预测（ ）和径向波函数的原点处的平方（ ）与其他理论预测[10，61，62］．原点处的径向波发射值是计算Quarkonium产量横截面的重要输入[22和各种衰减幅度。我们在表中给出了轻子衰变的结果4与实验和其他车型比较。我们对下状态的预测是与实验结果相吻合。对于更高的激发态，我们的预测是比实验结果高。我们的目前的结果和表中的辐射跃迁5和6,分别。夸克子中的辐射跃迁是重要的，因为它们是在夸克子之间产生跃迁的少数机制之一不同量子数的态。这种衰减机制还有助于产生激发态的p波态和f波态，这是其他方法难以实现的[7］．特别允许访问旋转单线状态。来自桌子5和6，我们看到，尽管所有这些模型[7，59，60，66采用康奈尔型电位。这可能是由于在这些模型中使用的粲态的波函数不同。我们对辐射衰变的预测与实验和其他理论预测一致。包含更高的多极贡献、耦合通道效应、相对论修正等，将使实验结果更加符合。

总之，在本文中，我们已成功使用DVR方法来研究越野的光谱和衰减。本研究的所得结果与实验数据和其他理论模型吻合良好。

数据可用性

用于支持本研究发现的数据包含在文章中，并在文本的相关地方引用作为参考。

的利益冲突

作者声明他没有利益冲突。

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