含时变系数的非线性Schrödinger方程的精确解

摘要

在本文中，采用一个试探函数的方法找到的非线性薛定谔方程高阶时间依赖性系数的精确解。该系统可以被用于描述的超短在非线性光纤的光脉冲，与自陡峭和自频移效果的传播。新的通用解决方案，发现一般情况下 包括Jacobi椭圆函数解决方案，孤立波解决方案和合理功能解决方案，其与Triki和Wazwaz获得的以前的比较，他们只研究了特种案例 。

1.介绍

众所周知，许多物理现象都可以用非线性Schrödinger方程(NLSE)来描述，这在许多不同的领域都有发现，如等离子体物理[1]流体动力学[2]，非线性光学[3.]， 量子力学 [4.]，流体动力学[5.),和生物学。因此，寻找NLSE的精确解对于理解NLSE所描述的物理现象具有重要的理论和实践意义。

最近，已经提出了一些有用和强大的方法来探索其确切的解决方案。例如，这些方法包括均匀平衡方法[6.),功能扩展方法及其扩展[7.]，正弦-余弦法[7.]，Exp-Function方法[7.，多重exp-function方法[8.]，第一种积分方法[9.]，Jacobi椭圆函数扩展方法[10.，子ode方法[11.), -扩展方法[12.]，修改的简单等式方法[13.]，扩展辅助方程法[14.), -扩展方法[15.]和试验功能方法及其概括[16.]。

应该认识到，上述大多数方法都与常系数模型有关。毫无疑问，当我们研究含时变系数的NLSE时，它比常系数的NLSE更加困难。到目前为止，变系数NLSE得到了相当多的关注，许多作者提出了不同的方法[16.-22.]。其中，刘[21.]提出了一种试验功能方法，可以处理具有不同系数的实际和复杂方程。在本文中，我们将应用Liu的方法，以找到随时间相关系数的以下立方 - Quintic NLSE的确切解决方案：

使用它时将表示不同的物理量以描述不同的系统。例如，当具有高阶色散和非线性术语的当前方程描述了Femtosecond状态中的脉冲传输，并考虑传输过程中的损失[17.那22.]， 为电场的复包络线，和分别为沿传播方向的距离和时间，是分散系数，为自陡系数，是自频移系数，和是一个常数。绿色和biswas [22.研究公式(1）使用ANSATZ方法[23.]和下所述参数的一些限制所获得的精确解。最近，本作者之一已获得分析行波解广义格罗斯 - Pitaevskii（GP）方程[22.]具有一些新的时空和空间变化系数和外部领域[24.]，因为它们可能会申请《守则》[25.-29.]。显然，目前的立方五次非线性薛定谔方程是超过了GP方程复杂。应该指出的是，上面提到的各种NLSEs与变系数[16.-22.]与等式不同（1)，但供参考之用[17.]，其中作者只研究了特定的情况 使用直接但复杂的积分方法。

本文组织如下。在“精确解，”我们首先应用试探函数方法通过使用合适的变换来获得它的精确解，然后，我们通过采取适当的参数对这些变系数说明了不同的解决方案的波幅度的形状。最后，在“结束语”，我们总结的结果在这项工作中发现的。

2.确切的解决方案

假设式(1)是由 在哪里 那 那 那和是与时间有关的未确定参数。把它们代入(1）和分离的实部和虚部，可以发现

如果解决方案满足 在哪里 是常数,是要确定的整数（值在情商。5.）被确定为 当采用均质平衡理论时)，则代入(5.) (4.)，并设置各系数 那 在(3.), 在(4.)为零，则可得到一组代数方程:

放 在哪里 那 那 那 那 那和任意常数,是一个任意函数。在这项工作中，我们只考虑三种不同的情况， 那 那和 那为简单起见。其它系数可以通过以下形式来确定：

就这些系数而言（8.），等式（5.), 被简化为

之前研究的一般情况 那让我们首先显示孤子解决方案 对于特殊情况 [17.]：

如何找到一般情况的精确解 成为这项工作的主要目的。应用一个转换 等式（10.)使我们能够获得

发现式(12.)可根据因素分为三种不同的情况 通过生津判别法，其中参数 那 那和是由

情况1。
在这种情况下， 有三个不相等的根， ： 和 那在哪里 。在这些方面，方程（12.）可以表示为 。根据这个关系 那周期波解 方程(1)被认为是 在哪里 为了理解这些解，我们举例说明三种不同情况下的波幅形状， 那 那和 那这些都是周期波（ 那 那 那 那 )．

例2。
有一个根 那在哪里 。一个人 那在两个参数和是由 和 那分别。包括椭圆函数的定期解决方案明确表示为 在哪里 以类似的方式，波幅的相应形状绘制在图中1（参数 那 那 那 那和 在这里选择）。注意，这些尖锐形状与图略有不同2。

例3。

有两个根， 和 。已知等式（12.）可以转化为 那从中我们能够获得精确解方程（1)． 对于案件 那周期性波幅度的形状如图所示3.（ 那 那 那 那和 )，这与图中的那些非常相似1。对于案件 （ )，波幅的形状如图所示4.（ 那 那 那 那和 )，其对应于明亮的孤波。然而，案件 产生如图所示的暗孤子波5.（ 那 那 那 那和 )．由于参数的不同迹象，这些新的和有趣的现象不会出现在其他情况下 。
和 那IE。， 那
有三个相等的根， 。的关系 使我们能得到有理函数的解 表示一个奇异的孤波。相应的波幅形状如图所示6.（ 那 那 那 那和 )．

在结束本节之前，我们对这些图形做一些有用的说明。比较数据2（a）-2（c），发现振幅是相同的。这意味着变系数对幅度没有影响。我们对数字有同样的结论1和3.-5.，而是图中的振幅6.改变了。

3.结束言论

在本文中，我们研究了一种非线性薛定谔方程与高阶时间依赖性系数，其描述了超短光脉冲在非线性光纤的传播。审判功能的方法已被用来寻找，如周期解通解（14.） 和 （16.）包括Jacobi椭圆函数，周期波解（18.）涉及三角函数，孤立波解决方案（19.）和合理功能解决方案（20.)．为了描述的解决方案的性能，三种不同的功能， 那 那和 那是用来显示波幅的形状。我们将主要结果总结如下:（1）为了 那数据1（a）那2（a）,3（a）显示周期波解的波幅形状(14.) - (18.),分别。数据4(一)和5(一个)显示孤立波解决方案的情况（19.）;数字4(一)显示了亮孤子的情况( )，但是图5(一个)说明了黑暗孤子的情况（ )．数字6(一)显示Rational功能解决方案的波形（20.)．通过观察数据1（a）那2（a）那3（a）那4(一)那5(一个),6(一)，发现脉冲的速度在传播期间保持恒定，因为是一个实常数（2）对于案件 那周期波解的波幅形状(14.） - （18.)见图1（b）那2（b）,3 (b)， 分别。孤立波解决方案的情况（19.）在图绘制4 (b)和5 (b)。例如，图4 (b)描述一个亮孤子波( )，而图5 (b)对应于暗孤波（ )．有理函数解的波幅形状(20.)如图所示6（b）。可以发现，该脉冲传播速度具有通过观察图抛物线特征1（b）那2（b）那3 (b)那4 (b)那5 (b),6（b）。（3）为了 那数据1（c）那2（c）,3 (c)描述周期波解(14.） - （18.),分别。数据4 (c)和5 (c)给出孤立波解的情况(19.)．例如,图4 (c)为亮孤子波( )，但是图5 (c)对应于暗孤波（ )．数字6（c）表示有理函数解的波幅形状(20.)．从图中看出1（c）那2（c）那3 (c)那4 (c)那5 (c),6（c）脉冲传播具有对数函数的特征。

在结束这项工作之前，我们将做三点有益的评论。首先需要指出的是，变系数NLSE各精确解的具体表达式也反映了孤波解的多样性。孤立波解的存在意味着非线性效应和色散效应之间的完美平衡，这通常需要特殊的条件。毫无疑问，这项工作将帮助我们理解由式(1)．其次，我们认为，本文所提出的孤子等结果将对非线性光学领域产生重大影响。本文所采用的数学分析模型给出了系统中稳定孤立波的特性。这证实了系统所描述的光纤可以长时间稳定传输。第三，试函数法对于求解其他类型的变系数非线性方程也是一种有效实用的方法。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

资金

这项工作由20210414-SIP-IPN部分支持。

参考文献

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