文摘
在这项工作中,我们提供了一个精确的分析二维非交换氢原子。在这项研究中,Levi-Civita变换被用来执行库仑势的非交换薛定谔方程的解决方案。作为一个重要的结果,我们确定的能级系统。利用获得的结果和实验数据,不可交换性参数的绑定。
1。介绍
不可交换性的概念在物理理论于1947年正式引入了斯奈德(1- - - - - -3]。的论文,斯奈德表示,空间坐标不会在短距离通勤彼此。在这个意义上,提出了一种新的范式的时空应该被理解为一个微小的细胞集合的最小尺寸,没有这样的想法。一旦达到的最小大小,到目前为止,在一些领域高能现象,非交换的位置应协调运营商。作为一个直接后果,它是不可能精确测量一个粒子的位置。在过去几年,科学界对非交换几何的兴趣增加了由于工作的其它理论(4],万有引力[5- - - - - -7),标准模型(8- - - - - -10),和量子霍尔效应11]。最近,发现一个开放的动态字符串可以与非交换空间导致了最近的复兴非交换理论(12]。非交换物理广泛应用,从非交换几何修正经典系统中由于非交换坐标。特别是,非交换几何是一种很有前途的方法了解量子引力的限制(13]。一些模型预测可能的实验测量在当前推进在天体物理技术应用于黑洞(14]。
从数学的角度来看,最简单的代数协调运营商服从是 在哪里是一个反对称的恒定的张量称为noncomutativity参数。值得指出的是,运营商位置的平均值与观察到的实际位置相对应。因此,据说这样的运营商是厄米的。众所周知在量子力学中,一个非交换两个操作之间的关系导致特定的不确定性关系;因此,上述表达产量 这意味着一系列不确定性的位置坐标之间的关系类似于海森堡测不准原理。斯奈德引入的想法后,可以将最小的大小与距离的数量级。因此,非交换的影响是有关在这种尺度。通常,穆瓦亚尔这样产品的不可交换性介绍通过定义为(2] 与一个常数 。然后,通常的产品是被穆瓦亚尔这样产品经典的拉格朗日密度。类似的角度,介绍了量子力学非交换实行进一步交换位置坐标之间的关系。
从这个角度看,我们的目标是应用关于氢原子不可交换性的空间。氢原子是电中性原子带正电的质子和带负电荷的电子原子核有界。这个系统在量子力学和场论中起着重要作用。有很多好的理由解决氢原子(15]。作为一个例子,氢原子与高精度测量原子转换是一个最好的实验室检验量子电动力学理论(16]。氢原子的其他应用程序出现在很多场合,比如检查精细结构常数的稳定性在宇宙时间尺度(17]。有一些治疗方法中的氢原子non-commutative空间。这种方法被non-commutativity在一个特定的角色分化表示。在这种背景下,有趣的是,修正羔羊的位移得到的上下文non-commutative量子电动力学(18]。甚至non-commutative修正得到了氢原子在弯曲空间(19]。在本文中,我们分析了二维非交换氢原子。一个二维氢原子可以被定义为一个系统,在这个系统中电子的运动在质子约束平面。然后,在这个工作中,我们认为这架飞机非交换。作为一个实际的例子,半导体量子阱照明是一个quasi-two-dimensional系统下,光激电子和空穴在本质上是局限于一个平面(20.,21]。有许多作品,考虑非交换上下文中的氢原子,但是他们存在分歧的结果。我们的方法提出了一种方法使用Levi-Civita映射,它允许一个确切的治疗。
本文组织如下。节2,我们提出二维氢原子的数学框架。Levi-Civita映射给出了部分3。节4,我们获得的解决方案和非交换氢原子的光谱。最后,在节5,我们提出我们的结束语。
2。非交换二维氢原子的数学框架
定义二维氢原子的哈密顿函数是由 在哪里和代表电子动量的方向和 ,分别;和代表电子坐标和常数 ,在哪里是元电荷真空电介电常数。数字转换中给出哈密顿方程(4),像往常一样,运营商给出的势头 和 ,在哪里 和是普朗克常数。
在非交换的角度来看,我们定义以下位置运营商: 在这在笛卡尔坐标不可交换性参数。我们注意到 像预期的那样。
然而,治疗中给出的哈密顿方程(4)是困难的,因为运营商在分母上的潜在能量项。出于这个原因,在下一节中,我们提出一个变换,使系统更适合的方式。
3所示。Levi-Civita映射
Levi-Civita(也称为波林)转换是一个抛物线坐标映射可以将平面库仑问题转化为一个二维谐振子(22- - - - - -25]。这是一个 满射定义为
给出方程(7),它是直接得出 反转,
作为一个直接后果的方程(10动量),运营商可以改写在这个新的坐标系统
应该注意的是,Levi-Civita映射是一个正则变换(24]。
应用公式(7)和(12在方程()4),我们获得以下改变了哈密顿:
最后,定义的超曲面 是由
方程(15)是本节的主要结果,是一个从现在开始使用。
4所示。二维氢原子的分析
应用下列方程(组运营商15), 得到修改后的薛定谔方程 在哪里 是潜在的,是抛物线的不可交换性参数坐标, , ,和 。至关重要的是要注意的是 ,由于方程(6)。
方程解(17)可以获得以下变量的变化 ,然后,方程(12)可以写成 与 。定义 ,在哪里 ,方程(18)可以写成
执行变量的变化 ,我们终于获得
应该注意的是,方程(20.)是一个特例Kummer领军的微分方程(26,27]。因此,它的解决方案可以写成Kummer领军的合流超几何函数的线性组合(26,27]。然而,在这篇文章中,解决方案是用拉盖尔多项式;这就是为什么我们注意,方程(20.)具有以下形式: 这是拉盖尔微分方程。如果是一个整数 ,拉盖尔方程的解决方案是由拉盖尔多项式 。它也可以指出,拉盖尔多项式可以定义通过合流超几何函数26,27]。最后,我们获得的解决方案
的能级可以确定 与 。使用条件给出了方程(23),可以计算的频谱 在哪里 。求解方程(24),我们获得非交换二维氢原子的光谱
考虑 并利用二项式级数 ,我们计算如下近似:
注意,在极限情况下 ,得到相同的结果通常给出的二维氢原子的文献[16,17]。注意到一阶项不为该系统的能量。
然后,非交换回调, ,的能量
结果给出了方程(27)可用于估计不可交换性参数上的束缚 。的实验值 氢原子的频率转换 (28]。这个实验的不确定性的价值 可以解决参数的上限 。从这个意义上说,错误的理论价值转变 ,用 ,是由
使用在二维情况下,能量是四倍的能量三维情况下, ,在哪里是普朗克常数。所以,我们有
执行所有的计算,我们得到 。在这种情况下,不可交换性的绑定参数是 。使用长度比例因子的定义, ,即长度尺度的非交换影响空间相关,我们发现对于考虑的情况 ,这是比质子半径小一百倍呢 。
有趣的是,非交换关系取决于采用的坐标,鉴于非交换参数本身的尺寸变化这样一个选择。因此,我们表示平方距离的参数与尺寸,建立了非交换笛卡尔坐标之间的关系。另一方面,表示参数,建立这个关系抛物线坐标。这当然是一个重要的代数这些参数之间的关系。但是我们已经在一个近似的政权,指引着我们量纲分析建立一个限制 。这样的限制将会是一个好的近似真实的数量级的这个参数。
5。结束语
使用Levi-Civita映射,我们对待非交换氢原子的重要的问题。因此,我们获得的薛定谔方程系统的解决方案和计算能量水平。利用获得的光谱和实验数据,我们估计不可交换性参数 ,一个数量级的吗 ,和非交换效应将相关长度小于 。这个结果有相同的数量级了(29日),作者研究了氢原子在旋转不变的非交换空间。通过这种方式,他们建立了修正氢原子的能级的二阶参数的不可交换性。估计参数的上界的不可交换性的基础上,实验结果1到2年代过渡频率。计算获得修正后的能级进行使用扰乱性的方法虽然在我们的研究中,能级的计算完全执行。我们的结果与文献[协议28,30.),记住没有不可交换性参数线性预测的能源依赖。有趣的是写参数的不可交换性的自然单位为了比较可能的实验数据。因此,它将是必要的通过 ,这结果 。说,是很重要的2 d原子并不是一个真正的模型;它更多的是一个玩具模型,使我们能够做一些关于系统的结论。有趣的是注意到,该模型不允许验证状态之间的转换和 ,因为 ,在能量,是一个奇数。在序列中,我们打算分析非交换三维氢原子。此外,为了获得更好的非交换参数估计的准确性,我们打算分析非交换塞曼和鲜明的效果。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作被斗篷和巴西CNPq部分支持。