非交换重力电磁学及其在有限温度下的应用

抽象

关于引力和电磁场之间的形式类比的研究导致了引力电磁学(GEM)的概念来描述引力。事实上，GEM方程对应于引力场的弱场近似。在此，我们考虑了GEM理论的非交换性扩展。用热场动力学(TFD)的形式引入温度效应，研究了一些有趣的物理现象。计算了该非交换场在零温度和有限温度下的非交换的GEM stevan - boltzmann定律和卡西米尔效应。

1.简介

标准模型是一种具有对称群的非交换规范理论 。SM介绍了理论和实验3性质，即电磁，弱，势力雄厚的四种基本力的。电磁是阿贝尔规范理论已被测试，以一个高的精度。阿贝尔规范场论的非阿贝尔规范场论的概括，提出了由杨和米尔斯[1]。最后一个介绍弱电统一和量子色动力学。弱电相互作用是由描述 组，而当符合量子色动力学[2-4]。

重力是不是SM的一部分。这意味着SM不是描述自然界的所有基本相互作用的基本理论。在本文中，非阿贝尔重力的扩展进行了讨论。这种理论的一些应用程序的开发。在这里学习的引力理论是重力电磁性（GEM）。GEM是基于描述重力的方式类似于电磁的方法[五-7]。关于宝石理论的一些研究已经发展起来[8-14]。这些思想从analogybetween方程牛顿和库仑定律产生和兴趣与兰斯 - Thirring效应的发现，其中旋转质量产生重力磁场[上升15-17]。一些研究这种效应的实验已经开发出来，如激光地球动力学卫星和LAGEOS 2 [18]中，重力探测器B [19]，以及激光相对论卫星(mission LARES) [20.，21]。

GEM理论可以通过三种不同的方法进行分析:(i)利用线性化的爱因斯坦方程和麦克斯韦方程之间的相似性[22]， (ii)基于潮汐张量方法的理论[23]，和（iii）外尔张量的分解（ ）成 和 ，重力磁分量和重力电分量分别[24]。在本文中，使用了魏尔张量的方法。为GEM的拉格朗日制剂开发[25，研究了GEM中的一种规范变换[26]。本文对非交换宝石领域进行了扩展。研究了非交换宝石在有限温度下的应用。用热场动力学(TFD)的形式介绍了温度效应。

引入温度效应的方法有两种:(i)利用虚数时间形式[27]和（ii）使用所述实时形式主义[28-36]。本文选择了TFD形式。它是一种实时的有限温度形式。在这种形式主义中，一个热状态被发展，其中的主要目标是解释一个任意操作符的统计平均值作为一个热压真空中的期望值。构造这种热状态需要两个元素:(i)原希尔伯特空间的倍增和(ii)波格里乌波夫变换的使用。这是两个希尔伯特空间，原始空间和波浪空间 ，这是由一个映射相关的，称为波浪共轭规则，而波戈里乌波夫变换包含一个旋转涉及这两个空间，最终引入温度效应。

计算了有限温度下非交换宝石场的斯蒂芬-波尔兹曼定律和卡西米尔效应。Stefan-Boltzmann定律描述了黑体辐射的能量与温度的关系。H. Casimir提出的Casimir效应[37]，是出现由于任何量子场的真空波动量子现象。在这种情况下，结果可能是在零度或有限的温度。

本文组织如下。在第二节中，简要介绍了阿贝尔GEM拉格朗日形式。第三部分对非交换宝石领域进行了扩展。计算了非交换规范场的能量动量张量。第四部分介绍了TFD的形式。第五节分析了有限温度下考虑非交换宝石场的一些应用。计算Stefan-Boltzmann定律。(ii)得到了零温度下的卡西米尔效应，(iii)计算了有限温度下的卡西米尔效应。第六节提出了一些结论。

2.阿贝耳宝石的拉格朗日公式

本节介绍了阿贝耳GEM的拉格朗日公式。GEM场方程，类似maxwell方程，是 在哪里为引力常数，是列维契塔符号，为矢量质量密度，质量是电流密度是光的速度。数量 ， ，和是gravitoelectric领域，重力磁场，并且质量电流密度，分别。符号表示第一个和最后一个指标的对称，即:和 。

的字段和都表示为一个对称的秩-2张量场， ，与组件 ，这样 在哪里是电磁（EM）的标量势的GEM对方 。

定义作为重力电磁性张量，所述GEM场方程成为 在哪里取决于数量和是质量和电流密度分别。此外，该重力电磁性张量被定义为 和双GEM张量被定义为

利用这些定义，GEM拉格朗日密度为[25]。

这个拉格朗日允许考虑几个涉及到引力子的引力应用，如与其他基本粒子的相互作用。这使得研究几个相关的主题成为可能。

这样，宝石理论就被分为两个领域来描述和 ，它们是对称无迹的二阶张量。这些场可以用对称的引力电磁势表示[25，26]，类似于电磁的 。因此,在创业板的基本领域，自然，它有两个指标[25，26]。

这是要注意重要的是创业板方程对应于广义相对论的弱场近似。他们没有描述强磁场，因此，不包括完整的爱因斯坦方程。更具体地，所述阿贝尔GEM相当于爱因斯坦方程的线性部分和非阿贝尔GEM对应到在弱场的方法的第二顺序。

3.非阿贝尔宝石

让我们考虑GEM域的扩展，以包括非交换规范变换[38]。然后，在本节中，拉格朗日用于非阿贝尔GEM字段被呈现并计算相关联于非阿贝尔场能量 - 动量张量。

为了得到GEM场的非交换规范变换，研究了全局规范变换和局部规范变换下的狄拉克拉格朗日。自由狄拉克拉格朗日函数为 在哪里是双组分列向量。这是拉格朗日下全球不变规范变换为 与成为一个 酉矩阵写成 ，在哪里是厄米矩阵。研究局部量规变换，需要更多的细节。

假设局部规范变换为 在哪里耦合常数是多少是埃尔米特 矩阵matrix给出 与是的实函数和是泡利矩阵。泡利矩阵 非交换群的产生者是谁满足对易关系 。以更紧凑的形式，被编写为 在哪里被矢量关联到每个的四个方向中Minkowski时空和是一形式的部件 。随后，当地的规范变换成为

由于导数的存在，狄拉克拉格朗日在这个局部规范变换下不是不变的介绍了拉格朗日一个新名词。为了获得一个不变的拉格朗日，一个协变衍生物被定义为 其中张量规范场有三个组件 它变换成

一个重要的注意，有一个张量规范场为每一个发电机集团 。此外，在协变导数的定义中（公式（13))，仪表字段应该出现，保持局部规范不变性像电磁。为了拥有它，在oneform介绍(26]。一种形式使相位函数分裂为相位因子，每一个都与时空的四个方向之一有关。

使用这些结果和替换导数由协变衍生物 ，狄拉克拉格朗日是规范不变的，即

在该制剂中，引入了三个新的轨距张量场。写在局部规范变换一个完整的拉格朗日不变的动力学项必须构造。要做到这一点，电磁张量的模拟构造。为了得到规范场的反对称三阶张量，我们考虑一个协变导数(13)。然后, 在哪里

然后，在局域下不变的完整拉格朗日计转换

拉格朗日描述了两个等质量狄拉克场与三个无质量张量规范场的相互作用。

总之，GEM是一种类似于电磁学的基于表述重力的方法。这样，GEM就成为了重力的规范场理论，与广义相对论的几何理论形成对比。那么，它是预期成为规范对称组。它是韦尔张量和保持宝石与重力的联系。

现在，让我们确定与非阿贝尔GEM场相关的能量 - 动量张量。

3.1。能量 - 动量张量的非阿贝尔创业板

下面考虑自由非交换宝石场的拉格朗日密度，即:

该指数是对规范组的生成器求和，为组，一个具有 在这里，作为非阿贝尔GEM的第一个应用，张量规范场之间的自相互作用被忽略。

利用能量动量张量的定义， 与非阿贝尔GEM场相关的能量 - 动量张量

为了避免现场操作的产品在同一时空点，能量 - 动量张量写为 在哪里是时间顺序操作。

非阿贝尔宝石场的量子化要求这样

的对易关系和 ，进行了协变量子化，对易关系为

其他易关系是零。

为了写能量 - 动量张量，让我们考虑 与是阶跃函数。在下面的计算中，我们使用对易关系，式(24), 在哪里 是类时矢量。

利用这些定义，可以得到非交换宝石场的能量动量张量 在哪里 与

该表达式由能量动量张量的真空期望值导出 在引力传播是 与 和是无质量标量场传播。然后，真空期望值就变成了 与

现在，主要目标是研究由于温度和空间紧凑化方程的影响（33)。为了实现这一目标，则使用热场动力学形式主义。

4.热场动力学(TFD)形式

本文介绍了热场动力学(TFD)的形式。TFD是有限温度下的量子场论[31-36]。在这种形式中，任何运算符的统计平均值等于它在热真空中的期望值。要使这个等式成立，需要两个主要的要素，即。，(i) doubling of the original Hilbert space and (ii) the Bogoliubov transformation.

这种加倍被定义为 ，在哪里和分别为tilde空间和原始Hilbert空间。波格里乌波夫变换对应于波浪号和非波浪号变量的旋转，从而引入了热效应。为了理解这个希尔伯特空间的加倍，让我们考虑一下 在哪里Bogoliubov变换是给定的吗 与

的参数被紧凑化参数由下式定义 和是能源。温度效应是由选择描述 和 。在这种情况下，是with ，数量和与玻色的分布有关。

为了引入TFD形式主义的应用，让我们考虑自由标量场传播。然后，在双重符号，它被赋予作为 在哪里 和 。然后, 在哪里 与

的参数 是广义巴格寥夫变换[39]。它被定义为 与为紧化维数， 费米子(玻色子),表示的所有组合的集合元素和是4势头。

在加倍后的符号，所述非阿贝尔GEM的能量 - 动量张量的真空期望值是

为了得到一个物理的(重整的)能量动量张量，使用标准卡西米尔处方。然后,

在这种形式下，给出一个可测量的物理量为 在哪里

在下一节中，将介绍一些不同参数选择的应用程序α开发。

5.一些应用程序

本节将计算考虑温度效应和空间紧化的应用。

5.1。斯蒂芬玻尔兹曼定律

作为第一个应用，考虑热效应出现 。在这种情况下，广义Bogoliubov变换变成

格林函数为 在哪里 。那么，有限温度下的能量动量张量是

使用Riemann Zeta函数，即 得到了非交换宝石场的斯蒂芬-波尔兹曼定律

注意，非阿贝尔规范场的能量密度是类似于阿贝尔场的情况。

在这里，数字值由组发生器数相乘。

5.2。零温度的卡西米尔效应

在这里, 是选择的，Bogoliubov变换是

绿色函数是

总和超过 ，为 ，定义与狄利克雷边界条件的格林函数的非平凡一部分。有了这些条件，能量 - 动量张量成为

为 ，非交换场的卡西米尔能量为 和 ，对于非阿贝尔GEM字段卡西米尔压力是

负号示出了板之间的卡西米尔力是有吸引力的，类似于电磁场和阿贝尔GEM字段的情况下。

5.3。有限温度下的卡西米尔效应

为 ，考虑了温度效应和空间紧化。在这种情况下，Bogoliubov变换变成

前两项的格林函数如式(48)，则(53),分别。第三项的绿色函数是

然后，分别给出了有限温度下的卡西米尔能量和压强

注意第一项和第二项分别是Stefan-Boltzmann定律和零温度的卡西米尔效应，而第三项则是有限温度的卡西米尔效应。

在最后一种情况下，同时存在温度紧化和空间紧化。

6.结论

非阿贝尔GEM场进行了研究。首先，对于创业板阿贝尔领域的拉格朗日呈现。然后，使用本地规范不变性的原理，非阿贝尔GEM字段的扩展构造。用于非阿贝尔GEM对称群是组 。阿贝尔和非阿贝尔，钻石一直与广义相对论的弱场方式的对应关系。阿贝尔GEM具有这样的结构等同于第一阶和非阿贝尔外尔GEM的弱场近似相当于弱场近似到第二阶。为了简单起见，所述非阿贝尔规范场的自相互作用项被忽略。然后，能量 - 动量张量计算。在TFD形式主义用于引入热效应。这种形式主义需要两个基本要素：希尔伯特空间的倍增和巴格寥夫改造。与此形式主义，获得能量 - 动量张量的真空期望值，因此，对于非阿贝尔GEM字段一些应用进行了研究。史蒂芬 - 玻耳兹曼定律和有限温度Casimir效应的计算。我们的研究结果表明，非阿贝尔量是类似阿贝尔数量。主要的差别在于以下事实，非阿贝尔结果等于阿贝尔结果乘以规字段的数量。 These results are similar to the case of the electromagnetic field. For example, the non-abelian GEM Casimir effect is attractive as the electromagnetic case. In addition, calculations involving the集团和创业板还没有做过的文献。这项工作是首次介绍这种方法。

数据可用性

没有数据支持这项研究。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

A. F. S.的这项工作得到了CNPq项目308611/2017-9和430194/2018-8的支持。