粒子运动和混乱

抽象的

在本说明中，我们认为粒子落在黑洞中，额外的电位。遵循Susskind（2018）的提案，我们研究了粒子的Rindler动量的增长率，这对应于双混沌系统中操作员大小的生长速度。地平线附近的一般分析表明，颗粒的粒子的粒子的生长速率与常规电位落下的颗粒的颗粒的动量与颗粒的颗粒的颗粒相同。然而，当电位是奇异时，增长率被抑制，使其低于李雅普诺夫指数。它意味着混沌抑制可以通过重力侧的额外奇异电位捕获。我们进一步明确地研究了一个缺陷的粒子违反时空，以确认一般分析结果。最后，我们研究落入广告孤子几何形状的粒子。它还表现出抑制Rindler动量的生长。它归因于当介绍排斥势或不存在黑洞地平线时，颗粒减慢，并且通过Comoving观察者看到的轨迹是时间般的，这对应于弱混沌系统。

1.介绍

在[1[Susskind提出，混沌量子系统的操作者生长与朝向黑洞的颗粒的动量之间存在对应关系。特别是，它们与相同的Lyapunov指数呈指数级增长。对于广告黑洞，粒子的势头以最大速度增长[1，李雅普诺夫指数饱和了[2］．这是一个普遍的性质，因为所有的视界都是局部的伦德勒类。在强耦合混沌量子系统SYK模型中也发现了同样的特性。参考文献(3.，4进一步研究落向带电黑洞的粒子，并证实苏斯金的建议。

在这篇笔记中，我们研究粒子动量在外部势中的增长。特别地，我们想要探索在什么条件下我们可以有一个全息对偶李亚普诺夫指数低于混沌界限。这种潜力可以为我们从引力的角度研究一个现实的量子混沌系统提供一个平台。

从近视界分析可以看出，规则势与消失势的结论相同。在这种情况下，伦德勒动量表现出李雅普诺夫指数增长。当视界附近的势是奇异的，动量增长被抑制时，就会出现新的现象。根据Susskind的对偶性，它暗示了混沌抑制，并且它低于李雅普诺夫界限。因此，奇异势可以捕捉到混沌系统的某些力学特性。根据这一线索，我们进一步明确地研究了粒子在超尺度违逆(HV)黑膜几何中的下落。通过这个简单的例子，我们明确地说明了重力的速度界限设定了量子系统的混沌界限。当自由下落的粒子以光速在视界附近运动时(这里，我们的意思是，根据移动的观察者，粒子几乎遵循一个零轨迹。本节将对此作出明确说明5。），Lyapunov指数饱和了混乱。如果我们添加一些排斥潜力，这导致粒子的速度小于光速，则动量的生长的指数不会饱和。在这种情况下，抑制了混乱。

我们还研究了AdS孤子几何中的粒子下落[5，6］．基于AdS孤子几何结构建立了全息超导模型[7，8］．由于地平线不存在，粒子在ADS孤岛几何形状中的血液的生长与黑洞背景中的不同之处不同。

2.粒子运动及其伦德勒动量

让我们考虑一个有质量的粒子和一个外部势搬进去 时空维度。设度规为很方便 在哪里消失在地平线上 ． 和的两个正函数是 ，这是常见的 ．边界位于 ．粒子的作用是 在哪里粒子世界线和点的任意参数是否表示对的导数 ． 是空间坐标。是外部势。根据上述作用，我们推导出运动方程(EOM)为(在非相对论极限下，选择 ，我们有 ， ．因此, 可以忽略 ， ．因此，EOM (3.)简化为通常的牛顿定律， ，预计)。

在这里，我们只假设时间状况 ．我们想指出不是一般的常数，因为是粒子世界线的任意参数。只有当为仿射参数， ．然后我们得到正则动量:

为了继续，我们选择静态量规 拿着安萨茨 和 在下面。此外，我们假设势能只依赖于 ，也就是说, ．然后，方程(3.), (4)和(5）减少到 在哪里 是积分常数。要有解，就增加势应该足够慢，这样 ．

根据Susskind的建议[1，粒子落入黑洞对应着混沌系统的演化。很明显，下落粒子的伦德勒动量的增长与混沌系统的算子大小的增长是对偶的。因此，我们将集中讨论伦德勒动量哪个与径向动量(视界附近)有关

在分析具体情况之前，我们首先计算了视界附近伦德勒动量的行为。在视界附近，函数 近似表示为

在上述表达式中，是霍金温度，是什么

则质点运动(6）和Rindler动量（9)像 我们忽略了与生长速率无关的表达。我们特别对两种情况感兴趣:规则和单数在吗 ．

什么时候在地平线上消失或定期，即， ，作为 ，粒子运动主导

则得到伦德勒动量的增长(13)：

根据对偶性，我们发现算子大小的增长饱和了李雅普诺夫指数 ， ，它恢复了苏斯金德的结果。

什么时候是奇异的，但是伦德勒动量增长可能被抑制，这对应于混沌的抑制。考虑一种简单的单一潜能表现得像 靠近地平线，然后粒子运动（12）变成了

上述EOM的解为 ，导致成长为

这意味着运营商规模的增长 ；即混沌被抑制。

从上述对视界附近粒子运动和混沌的分析中，我们发现基于粒子运动和算子大小之间的对偶性，一个奇异势可以捕获一些抑制混沌的机理。在接下来的章节中，我们将在明确的重力背景下进一步确认上述图片。

3.粒子落在超尺度破坏黑膜

3．1.粒子自由下落

在这一节中，我们研究落在里面的粒子 -尺寸中性HV黑膜几何，其形式[9，10］

黑膜的视界位于 ，边界是在 ． 和分别为Lifshitz动态指数和超尺度违章指数。给出了零能量条件的约束条件

霍金温度是

我们首先通过设置电势来研究粒子在高压黑膜中的自由下落 ．质点运动(6）及其浪潮势头（9)现在减少为

对于特殊情况 和 ，等式（21的解析解，则可以得到的解析表达式 ，而读 我们去了哪里 对于简单的。很容易发现，在后期，伦德勒动量表现出李雅普诺夫指数增长 ．

对于一般和 ，式()的解析解很难得到21)，我们转而求助于数值方法。数字1表示动量与时间的关系不同的超尺度和Lifshitz参数和 ．

后期的伦德勒动量呈指数增长。的斜率可以求出生长速率 ．结果显示在表的第三行1．与李雅普诺夫指数比较(表中的第二行1)，我们得出结论，当势消失时，粒子在HV黑洞中下落最快。它对应于混沌算子大小的界限。

综上所述，对于自由下落的粒子，动量为 ，它与超尺度和Lifshitz参数无关和 ．它与分析恰逢分析2电位在地平线附近消失。

3.2。颗粒落在令人厌恶的潜力

现在，我们打开电位 ．然后，方程式（6), (7), (8)和(9)在HV背景变成

受本节结论的启发2当潜在的是单一的，rindler势头的增长可以被抑制，这是双重的混沌抑制。为了检验这一点，我们选择势的形式为 它在边界处消失，在视界处是奇异的。然后,(24）变成了

求解方程(26)，我们用数字表示…的增长为不同的和在图中2．虽然仍然呈指数增长，斜率见表第四行1表现为抑制增长率，低于界限 ．因此，奇异的潜力（25)可能对应于处于混沌界以下的混沌抑制。

4.粒子在AdS孤子背景中的下落

在这一节中，我们转而考虑自由粒子下落 -一维AdS孤子几何[5- - - - - -8，度规为 在哪里是这个几何的尖端。为了避免尖端的锥形奇点，我们必须施加一段时间 ．我们可以对ADS Schwarzschild Black Brane进行双芯旋转，以获得几何形状（28)．

以拟设 用静压计 及使用方程式(3.)和(4)时，可以得到AdS孤子中的自由粒子运动:

rindler势头（9）减少到

我们数值求解方程(29)，得到动量随时间的关系(图3.)．由于在AdS孤子背景中没有视界，因而抑制了混沌。因此，AdS孤子几何中的粒子动量增长与黑洞背景中的粒子动量增长是不同的。更详细的探索值得进一步研究。

5.结论和讨论

在这篇笔记中，我们研究粒子落在黑洞与外部势。通过对视界附近的一般分析，证明了粒子以规则势下落时的伦德勒动量的增长速率与粒子自由下落时的伦德勒动量的增长速率相同，达到了混沌界的饱和。然而，当电位是奇异时，增长率被抑制，使其低于李雅普诺夫指数。这意味着混沌抑制可能被引力侧的这种外部奇异势所捕获。

此外，我们明确地研究了粒子落入HV黑色Brane和孤子背景时的粒子的势头。对于HV案例，当颗粒自由朝向黑色扁平时，势头总是呈指数级增长，独立于Lifshitz和HV指数。指数增长率可以通过重力的光速与量子复杂性结合的混沌之间的对应来解释。

然而，在引入排斥势后，动量增长的指数可能不会饱和边界，因为下落的粒子被减速，不能达到光速。当自由粒子在孤子背景中下落时，也会发生类似的情况。没有视界，光速也很难达到，然后，就没有指数增长了。以一种双重的方式，我们可以说量子系统的混沌被抑制了。

我们的结果明确地说明了引力中的速度界限对应于量子系统中的混沌界限。为了更好地理解这一点，确定运动观察者所看到的粒子轨迹的线元是有帮助的。即选择参数那 并将线元素表示为

什么时候 ，我们说粒子以光速向移动的观察者运动。那么，对于一个落在黑洞视界附近的自由粒子，其速度接近光速为 ．当有排斥势时 （如（25））被介绍或不存在黑洞地平线，这导致了 ， 是有限的，因此增长率不能再达到混沌界限。

总结，排斥潜力或孤子几何形状可以为我们提供一个平台，以便我们全神贯注地研究现实的量子混沌系统。但到目前为止，我们无法明确地给出哪种特定量子系统是双重的重力模型。全息术需要锻炼的困难也是如此。但至少，我们的研究可以向我们提供对现实量子混沌系统的线索和见解。特别是，我们希望提供全息双重理论的一些普遍性的属性，并探讨在我们的重力方面观察到这些现象背后的基本原理。在未来，我们将进一步追求这些问题。第一步是给出全息有效的场理论，其中抑制了双理论的Lyapunov指数。

数据可用性

本文是一篇理论研究，没有任何资料。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(no . 11775036, no . 11747038, no . 11847313, no . 11905182)。吴建平还获得了扬州大学优秀人才支持计划的支持。

参考文献

1. L. Susskind， "为什么东西会掉下来?“2018,http://arxiv.org/abs/1802.01198．查看：谷歌学者
2. J. Maldacena, S. H. Shenker和D. Stanford，《混乱的束缚》高能物理杂志， 2016年第5期。8，第106页，2016。查看：出版商的网站|谷歌学者
3. A. R. Brown, H. Gharibyan, A. Streicher, L. Susskind, L. Thorlacius, Y. Zhao，《坠入带电黑洞》，物理评论D第98卷第1期2018年第126016条第12条。查看：出版商的网站|谷歌学者
4. D. S. Ageev和I. Y. Aref 'eva，“当事物停止坠落，混乱就被压制，”高能物理杂志全文:pdf(2053页)1, 2019。查看：出版商的网站|谷歌学者
5. E. Witten，“反德西特空间、热相变和规范理论中的约束”，理论和数学物理的进展，第2卷，第2期3, 1998。查看：出版商的网站|谷歌学者
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9. X. Dong, S. Harrison, S. Kachru, G. Torroba，和H. Wang，“超尺度违逆理论的全息学方面”，高能物理杂志， 2012年第5期。6、2012。查看：出版商的网站|谷歌学者
10. M. Alishahiha, E. Ó。Colgáin和H. Yavartanoo，“带有超尺度破坏因子的带电黑膜”，高能物理杂志， 2012年第5期。2012年11日。查看：出版商的网站|谷歌学者

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