在一阶形式主义中建模黑暗部门重力

摘要

我们通过在Horndeski引力中使用一阶形式寻找解来研究宇宙情景，该引力约束了超势，并暗示标量势不允许自由选择。尽管如此，我们证明了晚期宇宙学的德西特相是可以实现的，在那里暗能量扇区可以被识别。标量场状态方程目前趋向于宇宙学情景，并允许我们得出结论，它可以模拟霍恩德斯基引力中的暗能量。

1.介绍

自从爱因斯坦提出一般相对论以来，它得到了许多天体物理场景的强烈观测证据，即Eddington于1919年的光偏转，最近通过LIGO协作直接观察引力波[1那2］．然而，我们仍然具有根本不受欢迎的基本问题，例如暗物质，暗能和宇宙的通胀阶段。近年来，已经提出了涉及普通相对论的修改的模型[3.那4.］．在这样的修正中，它的一些基本性质得以维持，例如由微分胚不变的作用而产生的二阶运动方程，并保持洛伦兹不变性。由于这些假设，额外向重力扇区传播的自由度包括包括额外的场(标量、矢量或张量)[5.］．这些将几何与物质的非极小耦合考虑在内的引力理论修正成为修正引力理论的主流之一，而物质与引力的非极小耦合应用为宇宙学常数问题提供了一种解决方法[6.那7.]加速宇宙的扩张[8.那9.] -参见其他理论，例如，涉及后期[10那11]和早期加速(通货膨胀)[12在超重力的背景下。

最近关于爱因斯坦引力的研究已经引起了人们的注意，因为该理论与标量场的耦合[13］．这些努力导致了众所周知的伽利器的发展，这是标量张量理论的[14］．事实上，这些研究已经导致霍恩德斯基引力的重新发现。

Horndeski引力最初是在1974年发现的[5.那15-18］．它是一个具有二阶场方程和二阶能量动量张量的一般单标量场张量理论。产生拉格朗日的二阶运动方程如[4.那16那18-22包含标量场及其动力学项的四个任意函数[3.那23］．我们感兴趣的项包括标准标量动力学项和爱因斯坦张量之间的非极小耦合。除了宇宙学的兴趣之外，最近的研究也引起了天体物理学的注意，例如在临界温度下发展霍金-佩奇相变的黑洞解决方案的研究[18］．Horndeski理论在太阳系背景下的球对称解的其他例子和进一步的天体物理情景也可以找到，例如，在近日点移动和光弯曲的研究中[24]以及涉及旋转陀螺仪和重力探测B实验特性的问题[25］．在天体物理致密物体中的一些应用也在[26那27］．

宇宙学情景中一个有趣的问题是宇宙学常数问题，它与自然尺度与其测量值之间的差异有关。如[28]，就有可能通过使用自调谐机制来解决这个问题，这在最初的Horndeski理论中被分析为所谓的Fab Four理论[29那30.］．然而，在Horndeski理论之外的背景下，更多的宇宙学自调谐和局部解的分析可以在[31］．

在宇宙学场景中，Horndeski宇宙学模型能够屏蔽来自空间中任何场理论的真空能量，该空间应该是德西特真空[32那33］．在这些模型中，我们可以理解目前宇宙的加速膨胀是德西特吸引子动态演化的结果[34］．从这个意义上说，Horndeski模型对任何物质内容都涉及德西特临界点，这可能提供一种机制来缓解宇宙问题[35］．因此，在各种引申的引力理论中已经探索了涉及到引力的非极小导数耦合的模型[36］．这些模型表明了特殊的特征，例如标量和张量动力学术语，名为动力学编织的基本组件，并具有丰富的宇宙学现象学，包括允许幻影界面与幽灵横跨幻影的渐近线路也不是梯度稳定性。

在这项工作中，我们通过使用一阶方程形式主义来考虑宇宙学背景下的Horndeski理论，这是最近为Horndeski引力在一个膜世界情景中提出的[17］．我们通过一阶形式研究二阶方程，因为一般来说，简化了解析解或数值解的研究。此外，一阶方程形式是全息宇宙学中重整化群(RG)流动的基本工具[37-40］．在我们的情况下，我们考虑没有曲率的弗里曼方程，假设黑暗能源优势。特别地，通过考虑动力法潜力并使用动态系统方法来研究模型可能的渐近制度来分析通货膨胀上下文[41］．结果表明，对于倾斜势，存在一个与早期暴涨宇宙相对应的准de- sitter相。在我们的研究中，通过考虑数值方法，我们证明了一阶方程的扭结型解代表一个德西特宇宙。我们讨论了宇宙学观测中的几个重要问题，如哈勃函数、减速参数和暗能量状态方程。我们研究了用超势表示的一般标量势在小红移时的演化。此外，如[42],弗里德曼的Horndeski行动框架没有标量势不能描述暗物质和暗能量,由于不稳定,同时也约束的重力波,背景上的标量场进化是微不足道的,和这个领域的存在变得不必要的解释暗物质和暗能量。然而，在我们的例子中，霍恩德斯基引力中标量势的性质在弗里德曼框架中更能令人满意地描述暗能量。

论文组织如下。在第二节中，我们给出了Horndeski理论中一个标量势的一阶形式，该标量势由数值得到的隐超势给出。在第三节中，我们使用数值方法来寻找代表德西特宇宙的宇宙学解。在第四节中，我们讨论以下宇宙学观测:哈勃函数、减速参数和小红移时的暗能量状态方程。最后，在第五节，我们提出了我们的结论。

2.具有标量势的Horndeski引力

在我们目前的研究中，我们将在Horndeski引力的框架中研究Friedmann-Robertson-Walker (FRW)解[13那15-18那43，其中标量电位操作读取

注意，我们有一个非极小的标量-张量耦合，我们可以定义一个新的场 。这个场的维度是和参数和控制动力联轴器的强度;是无量纲的,有尺寸的 。因此，爱因斯坦-霍恩德斯基场方程可以按照通常的方式正式写成: 在哪里 与 那标量场方程由

我们将采用这种符号 。特别是， 。上述能量动量张量和采取以下形式:

在这里，我们感兴趣的是研究扩展的非极小导数耦合理论的宇宙学含义。考虑平面FRW度规的形式 标量场只依赖于宇宙时间，计算 -Einstein-Horndeski野外方程的组成部分（2)给

从这个方程式和读取弗里曼方程可以容易地发现

现在，我们使用一阶形式，假设[11那44那45] 在过电压扮演中心角色。通过这些方程和方程(7.)，则标量势可写成:

注意标量势与在膜世界情景中发现的相似[17］．现在，我们继续 - - -方程的组件（2)

标量场方程(3.）在FRW背景中以表格写成 和 减少到[22］．现在，组合方程(6.)，用方程(10），我们可以为SuperPotential编写一个微分方程： 在哪里 。齐次情况有一组解析解 用三角函数表示的:

从方程(8.)，我们可以找到一个近似解 和 ;例如，其中一个函数的极限非常小。在这里,我们假设 一个时间尺度的宇宙时间 那为加速的宇宙找到一个可接受的宇宙学解决方案:

正如我们将在下面看到的，以获得任意值 那我们应该应用数值方法来求方程的精确解(8.） 和 （12)．

3.数字解决方案

只要我们假定适当的边界条件，一阶方程对的数值解就可以得到更大范围的Horndeski参数。在图1，我们展示了标量场的行为与“扭结”剖面(a)和比例因子(b)相关联的FRW解 与 和 （蓝色曲线）和 与 和 (红色曲线)。这些小的和 需要产生可接受的宇宙学解。当然，这些参数的选择导致方程的非齐次极限(12)，即不知道解析解。因此，我们可以用数值方法找到这样的宇宙学解。在本例中，我们将龙格-库塔方法应用于一阶方程(8.)和和二阶方程（12) 。我们使用的边界条件如下： 那 那和 。

4.宇宙可见

在这一节中，我们在Horndeski重力的宇宙学设置中研究宇宙学的可观测物。在这方面的几项研究已经被考虑过，并被证明产生了成功的模型[21那22那46，例如，在暗能量的描述中[22］．

我们在一阶形式主义的背景下扩展这些早期的研究，这是在把它们与宇宙学的基本理论，如超重力和弦理论联系起来的方向上，德西特解很难找到。为了克服这种困难，最近的一种方法是全息重正化群(RG)流，它是以给定超势的一阶方程写成的[37-40］．一阶形式主义也被应用，例如，在和 重力(47那48，但据我们所知，这是第一次在Horndeski宇宙学中研究它。在我们的研究中，标量势不能是任意的，因为它依赖于超势，超势服从于一个约束可能的宇宙情景的微分方程。尽管如此，正如我们将在下面看到的，存在一些限制的参数值，允许描述当前宇宙的加速度。因此，我们假定在小红移处存在标量场动力学所描述的暗能量优势。

让我们首先关注状态方程。

然后，利用方程(2)定义为 这和 - - -组件用能量密度和压力定义有效的暗能量部分: 在哪里 。为了检查一致性，有趣的是，使用方程(8.） 和 （9.），能量密度满足 那像预期的那样。因此，状态的暗能量方程为

就暗能量密度和压力而言，标量场方程可以通过能量动力保护以标准形式写入标准形式， 那这意味着

这个结果(19）与[46］．我们现在可以计算另一个有趣的宇宙学量，叫做减速参数 那这表明宇宙扩张如何加速，并由等式给出

此外，组合方程(19), 那我们可以在减速参数和状态方程之间编写有用的关系，如下所示：

从这一点开始，我们将利用无量纲红移参数代替时间变量在我们的宇宙学设置中，因为它是用来比较理论和观测结果的。红移参数定义为

因此，时间导数现在可以表示为 一阶方程(8.）可以简单地在新变量中重写在形式

数值结果也计算了等式（18）根据超级势

我们总结如下。根据图2(b)暗能量状态方程（25)的值接近−0。87(蓝色曲线)。

注意，我们这里的宇宙学可观测值仅在Horndeski引力的标量张量扇区中计算(1)没有任何贡献。仅这个扇区无法考虑宇宙在高红移时的所有阶段。因此，我们只讨论了低红移时的暗能量(标量)优势。但是，在[中已经考虑了用几个标量势来考虑物质对该理论扩展的贡献。46］．在我们的模型中进行类似的研究超出了本文的范围，可以在其他地方进行。另一方面，对于恒定的超电位，可以发现一个膨胀阶段 满足(12)．一阶方程(8.)给出解决方案 和 ，这表征了具有状态方程的指数通胀 。

此外，由方程(25)，并利用式(13)，我们可以看到状态方程 那从假定的限制 那此函数由以下术语主导：

这是Horndeski引力的优势之一，在这里，即使标量场具有正则动力学，也能获得类似于幻影的行为。由于在爱因斯坦-霍恩德斯基引力场的引力场扩展中标量场与引力场的非最小耦合，这一效应简单地实现了[46］．最近的观察数据以来解决幻影宇宙学问题非常重要[49]表明了可能的可能性 。

图中的哈勃函数2(c)在起始时间之间发展递增行为 和 (蓝色曲线)。这一事实表明，暗能量阶段的主导地位始于相对较近的宇宙演化时期。图中的标量字段2(d)相应演化，接近于常数at (蓝色曲线和红色曲线)，代表德西特宇宙[46］．

此外，从图中我们可以看出2(一) 或−0。7与超新星观测结果一致 [50］．

5.结论

在本研究中，我们利用了Horndeski宇宙论中的一阶形式论。这种形式主义适用于霍恩德斯基重力以及和 理论(47那48[是否关心将动作的方程减少到一阶方程，这简化了分析和数值观点的问题的解决方案。此外，一阶形式主义在全息宇宙学中的RG流中发挥着重要作用[37-40］．我们的数值解显示了与宇宙当前阶段的良好一致性，其中哈勃参数作为红移的函数的行为类似于在[49］．在FRW背景下，利用Horndeski引力的约束超势支持的一阶形式，用数值方法证明了晚期宇宙学可以很好地用标量场描述。这些解决方案对应的是一个不断加速的小红移宇宙，这与目前的观测数据是一致的，这些数据通常与暗能量流体驱动的现象有关。标量场非最低程度耦合到引力扇区产生扭结型解，在后期宇宙学中呈现德西特宇宙，在一阶形式下再现霍恩德斯基引力中的暗能量情景。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

我们要感谢CNPq、CAPES和CNPq/PRONEX提供的部分资金支持。FAB获得CNPq的支持(批准号:312104/2018-9)。我们还感谢里纳尔迪先生在这项工作的早期阶段所作的有益讨论。

参考文献

1. g . Papallo修正重力中的因果关系与初值问题，剑桥大学，2019年。视图:出版商的网站
2. B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott等人，“来自双黑洞合并的引力波观测”，物理评论快报，第116卷，第116期6, p. 061102, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学者
3. M. Zumalacárregui和J. García-Bellido，“转化引力:从微分耦合到物质到超越霍恩德斯基拉格朗日的二阶标量张量理论”，物理评论D，第89卷，第89期。6, p. 064046, 2014。视图:出版商的网站|谷歌学者
4. A. Cisterna, M. Hassaine, J. Oliva，和M. Rinaldi，“Horndeski模型中k-essence部分的Axionic黑色膜”，物理评论D，第96卷，第2期12, p. 124033, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
5. L.海森堡，“广义相对论及其宇宙学含义的系统推广方法”，物理报告，第796卷，第2期1, pp. 1 - 113, 2019。视图:出版商的网站|谷歌学者
6. A. D. Dolgov和M.川崎，“真空能量动态抵消的现实宇宙模型”，2003，/ arXiv预印本期刊上刊登0307442。视图:谷歌学者
7. S. Mukohyama和L. Randall，《宇宙学常数的动力学方法》，物理评论快报，第92卷，第2期21, p. 211302, 2004。视图:出版商的网站|谷歌学者
8. S. I. Nojiri和S. D. Odintsov，“引力帮助暗能量主导和宇宙加速，”B物理快报，第599卷，第5期。3-4，页137-142,2004。视图:出版商的网站|谷歌学者
9. G. Allemandi, A. Borowiec, M. Francaviglia, and S. D. Odintsov，《一阶形式主义中的暗能量主导和宇宙加速》，物理评论D第72卷第2期6、p. 063505, 2005。视图:出版商的网站|谷歌学者
10. F. A. Brito，F. F. F.C.C.F. N. Oliveira，“由散装粒子驱动的宇宙加速宇宙”物理评论D，第71卷，第71期2005年第083516条第8款。视图:出版商的网站|谷歌学者
11. D. Bazeia, F. A. Brito，和F. G. Costa，“一阶框架和域-壁/膜-宇宙学对应”，B物理快报，第661卷，第2期。2-3，页179 - 185,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
12. M. A. Santos, M. Benetti, J. S. Alcaniz, F. A. Brito，和R. Silva，“CMB的限制β通货膨胀指数模型”,宇宙学和天体粒子物理学杂志，卷。2018年，没有。03，p。023,2018。视图:出版商的网站|谷歌学者
13. F. A. Brito和F. F. Santos，“渐近Lifshitz时空中的黑膜和Horndeski重力中的粘度/熵比”，2019,arXiv预印arXiv:1901.06770。视图:谷歌学者
14. a . Nicolis, R. Rattazzi，和E. Trincherini，《作为引力局部修正的伽利略》，物理评论D，第79卷，第5期。6, p. 064036, 2009。视图:出版商的网站|谷歌学者
15. G. W. Horndeski，《四维空间中的二阶标量张量场方程》国际理论物理学杂志，卷。10，没有。6，pp。363-384,1974。视图:出版商的网站|谷歌学者
16. A. Cisterna和C. Erices，“在Horndeski情景中电场存在下的渐近局部AdS和平坦黑洞”，物理评论D，第89卷，第89期。8, p. 084038, 2014。视图:出版商的网站|谷歌学者
17. F. A. Brito和F. F. Dos Santos，“在Horndeski重力中的Braneworlds”，2018年，arXiv预印本arXiv:1810.08196。视图:谷歌学者
18. A. Anabalon, A. Cisterna, J. Oliva，《Horndeski理论中的渐近局部ad和平坦黑洞》，物理评论D，第89卷，第89期。8, p. 084050,2014。视图:出版商的网站|谷歌学者
19. K. Van Acoleyen和J. Van Doorsselaere，“来自Lovelock行动的伽利韦尔斯”物理评论D，第83卷，第83期8, p. 084025, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学者
20. C. Deffayet, X. Gao, D. A. Steer，和G. Zahariade，《从k-essence到广义伽利略》，物理评论D(第84卷)6, p. 064039, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学者
21. A. R. Gomes和L. Amendola，“耦合Horndeski Lagrangian的一般形式，允许宇宙语缩放解决方案”宇宙学和天体粒子物理学杂志，卷。2016年，没有。02，第035年，2016年。视图:出版商的网站|谷歌学者
22. M. Rinaldi，《Horndeski引力中的暗物质模拟》暗宇宙物理学，卷。16，不。14，pp。14-21,2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
23. J. Gleyzes, D. Langlois, F. Piazza和F. Vernizzi，《暗能量的基本组成部分》，宇宙学和天体粒子物理学杂志， 2013年第5期。2013年第025条第08条。视图:出版商的网站|谷歌学者
24. S. Bhattacharya和S. Chakraborty，“限制一些Horndeski重力理论，”物理评论D第95卷第1期4, p. 044037, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
25. S. Mukherjee和S. Chakraborty，“Horndeski理论面对重力探测器B实验，”物理评论D第97卷第1期12, p. 124007, 2018。视图:出版商的网站|谷歌学者
26. Y. Brihaye, A. Cisterna，和C. Erices，《Horndeski引力双量纲扩展中的玻色子恒星》，物理评论D第93卷第5期12, p. 124057,2016。视图:出版商的网站|谷歌学者
27. A. Cisterna, T. Delsate, L. Ducobu, M. Rinaldi，《Horndeski引力的非最小微分耦合扇区中缓慢旋转的中子星》，物理评论D第93卷第5期8, p. 084046, 2016。视图:出版商的网站|谷歌学者
28. E. Babichev, C. Charmousis, D. Langlois, R. Saito， " Beyond Fab Four， "经典与量子引力，第32卷，第2期24, p. 242001, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学者
29. C. Charmousis, E. J. Copeland, a . Padilla, P. M. Saffin，《自调谐和一类标量张量理论的推导》，物理。Rev. D.，卷。85，否。10，p。104040,2012。视图:出版商的网站|谷歌学者
30. C. Charmousis, E. J. Copeland, A. Padilla, P. M. Saffin，《广义二阶标量张量理论与自调谐》，物理评论快报，第108卷，第108号5, p. 051101, 2012。视图:出版商的网站|谷歌学者
31. E. Babichev和G. esposto - farese，“广义Horndeski理论中的宇宙自调谐和局域解”，物理评论D第95卷第1期2, p. 024020, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
32. P. Martin-Moruno, n.j. Nunes，和F. S. N. Lobo，“Horndeski理论在德西特真空中的自我调谐”，物理评论D第91卷第1期8, p. 084029, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学者
33. P. Martin-Moruno和N. J. Nunes，“宇宙加速是调节机制的结果”，国际现代物理学报D，卷。24，不。12，p。1544018,2015。视图:出版商的网站|谷歌学者
34. P. Martín-Moruno, n.j. Nunes，和F. S. N. Lobo，《被德西特吸引:线性Horndeski模型的宇宙学》，宇宙学和天体粒子物理学杂志， 2015年第5期。5, p. 033, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学者
35. P. Martin-Moruno和n.j. Nunes，《吸引德西特二:位移对称Horndeski模型的宇宙学》，宇宙学和天体粒子物理学杂志， 2015年第5期。9, p. 056, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学者
36. C. Deffayet, O. Pujolas, I. Sawicki和A. Vikman，《来自动能引力编织的不完美暗能量》，宇宙学和天体粒子物理学杂志， 2010年第5期。第10页，2010年。视图:出版商的网站|谷歌学者
37. P.麦克法登和K.斯肯德里斯，《宇宙学的全息术》物理评论D第81卷第1期2, p. 021301, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学者
38. D. Baumann, D. Green，和T. Hartman，“RG流和宇宙学的动力学约束”，2019,arXiv预印本arXiv:1906.10226。视图:谷歌学者
39. E. Kiritsis和A. Tsouros，“德西特与反德西特流动和(超级)重力景观”，2019,arXiv预印本arXiv:1901.04546。视图:谷歌学者
40. E. Kiritsis，“渐近自由，渐近平坦与宇宙学”，宇宙学和天体粒子物理学杂志， 2013年第5期。2013年第011条第11条。视图:出版商的网站|谷歌学者
41. M.A.Shugoreva，S.V.Sushkov和A. V.Podorensky“出版商注：具有非初始动力学耦合的宇宙学和权力潜力[物理。Rev. D88,083539（2013）]，“物理评论D，卷。88，否。10,2013。视图:出版商的网站|谷歌学者
42. A. Casalino和M. Rinaldi，《用hi_class测试Horndeski引力作为暗物质》，暗宇宙物理学，第23卷，第2期。100243页，2019年。视图:出版商的网站|谷歌学者
43. X. H. Feng，H. S. S. Liu，H.Lü和C.N.教皇，“黑洞熵和粘度在Horndeski Gravity中结合”，高能物理杂志， 2015年第5期。2015年第2590条第11条。视图:出版商的网站|谷歌学者
44. D. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano，和R. Menezes，《一阶形式主义和暗能量》，B物理快报号，第633卷。4-5，第415-419页，2006。视图:出版商的网站|谷歌学者
45. D. Bazeia, L. Losano, J. J. Rodrigues，和R. Rosenfeld，《暗能量和尘埃的一级形式主义》，欧洲物理学报C辑:粒子与场，第55卷，第55期1，页113-117,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
46. T. Harko, F. S. N. Lobo, E. N. Saridakis, M. Tsoukalas，“带有扩展的非极小导数耦合的修正引力理论中的宇宙学模型”，物理评论D第95卷第1期4, p. 044019, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
47. V. I. AFONSO，D.Bazeia，R. Menezes和A. Y.Petrov，F（R） - 汉语，“B物理快报，第658卷，第658号1-3，页71-76,2007。视图:出版商的网站|谷歌学者
48. P. H. R. S. Moraes和J. R. L. Santos，“一个完整的宇宙场景F（R.那T.^ø)重力理论”,欧洲的物理杂志C.，第76卷，第76期2、2016。视图:出版商的网站|谷歌学者
49. N. Aghanim, Y. Akrami, M. Ashdown等人，“普朗克2018年的结果。第六，宇宙学参数，“2018,arXiv预印本arXiv:1807.06209。视图:谷歌学者
50. A. G. Riess，A. V.Filippenko，P. Challis等，“来自超新星的观察证据，加速宇宙和宇宙学常数，”天文杂志，第116卷，第116期3, 1998。视图:出版商的网站|谷歌学者

版权

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