赝复广义相对论与暗能量综述

摘要

本文综述了标准相对论(GR)的代数推广到伪复公式(pc-GR)的研究进展。pc-GR预测了质量分布内外暗能量的存在，对应于gr度规的修正。吸积盘的发射剖面结构在恒星内部也会发生变化。讨论的结果是暗能量的宇宙学模型，允许不同的结果在宇宙的演变。

1.介绍

广义相对论[1是经过最好检验的已知理论之一。2]，主要是在太阳系实验中。还在二元系统中丢失轨道能量[3.是引力波存在的第一个间接证据，引力波最终在[4］．4月10日视界望远镜合作公司宣布了第一张从M87黑洞拍摄的照片。这使我们有机会比较pc-GR和GR的结果。

然而，当存在强引力场时，GR的极限可能会达到，这可能导致引力波源的不同解释[5，6］．

A.爱因斯坦首次提出了扩展GR的建议[7，8谁介绍了一个复杂的价值标准 ，与 ．实部对应标准度规，虚部定义电磁张量。由此，A.爱因斯坦打算统一GR和电动力学。扩展GR的另一个动机发表于[9，10M. Born在那里研究了如何恢复坐标和动量之间的对称，这在量子力学中是对称的，但在GR中不是。为了实现他的目标，他还引入了一个复杂的度规，其中虚部是动量相关的。在[11这更精细，导致长度元素的平方( ） 这意味着最大加速度(参见[12])。有趣的是，最小长度是作为一个参数因此，洛伦兹对称性是自动维护的;对于小长度没有变形是必要的！

在[13将GR代数推广到一系列变量，研究了弱引力场极限的解。因此，只有实、伪复数坐标(在[13］超复杂)是有意义的，因为所有其他的要么是超光速粒子要么是幽灵，或者两者都有。因此，即使是复杂的解也没有意义。这就是专注于伪复形扩展的原因。

在pc-GR中，最后一段提到的所有扩展理论都包含在内，爱因斯坦方程需要一个能量动量张量，与真空涨落(暗能量)有关，由非对称理想流体描述[12］．由于缺乏微观理论，这种暗能量只能用现象来处理。一种可能性是选择这样一种情况，即没有视界出现或几乎不存在。这样做的原因是，在我们的哲学理解中，任何理论都不应该有奇点，甚至是在黑洞中遇到的视界类型的坐标奇点。虽然它只是一个坐标奇点，但视界的存在意味着，即使是附近角落的黑洞，外部观察者也无法接近。它的视界是强引力场的结果。由于目前还没有量子化的引力理论存在，我们不得不建立暗能量分布的模型。

在[14将pc-GR与吸气过程的振幅观测值进行了比较。正如发现的那样，在暗能量的强度必须比之前的出版物中提到的要强。我们将在正文中讨论这一点以及将发生什么变化。考虑到的低分辨率，我们还将EHT观测与pc-GR进行比较 ，由EHT获得。主要的问题是我们能否区分GR和pc-GR。

一个普遍的原则出现了;即质量不仅使空间弯曲(这导致了标准的GR)但也改变了其附近的空间(真空)结构，这反过来又导致了对经典解的重大偏离。

结果将在本节中讨论3.．在那里，也讨论了宇宙效应，不同的结果暗能量的演变作为函数的时间/宇宙半径。另一个应用是研究恒星的内部，在那里，第一次尝试将报告如何稳定一个大质量。节4我们将得出结论。

2.伪复广义相对论(pc-GR)

GR的代数扩展包括实坐标到不同类型的映射，例如，复或伪复(pc)变量 与 在哪里是时空和的标准坐标吗是复分量。当 它表示复杂的变量,而当 它表示伪模床（PC）变量。这个代数映射只是一种可能性来探索GR的扩展。

在[13考虑了GR中实坐标的所有可能扩展。发现只有对伪复坐标的扩展(在[13］超复杂)是有道理的，因为在弱引力场的极限下，所有其他的都导致了速子和/或鬼解。

在下文中，恢复了伪变量变量的一些属性，这对于了解一些后果非常重要。(我)这些变量可以交替地表示为 (2)的满足的关系 (3)由于(4)，将一个变量与与另一个成比例 ，结果是零;也就是说，有一个零因子．因此，变量不构成a场但是一个环．(iv)在两个零因子分量中( ）分析结果与标准复相分析非常相似。

在pc-GR中，度量也是伪复的 因为 在每个零因子分量中，可以独立地构造GR理论。

为了一个一致的理论，两个零因子分量必须是相连的!一种可能是定义一个修正的变分原理，如[15］．或者，我们可以实现一个约束;也就是说，一个粒子应该始终沿着实路径运动;也就是说，伪复数长度元素应该是实数。

无穷小的pc长度元素的平方是(参见16]） 写成零因子的形式。对于伪实分量和伪虚分量，我们有 与 和 ．上面的指标和指对称的和反对称指标的组合。时的情况 ，也就是说, ，导致 识别 ，在哪里是一个无限小的长度和为4速度，则得到[11］．它亦载有[9，10),正比于动量分量颗粒。但是，这种识别仅在平坦空间中有效，其中(8)是4倍速度( ）至4加速( ）.

实现两个零因子分量之间的连接，要求在(7）是真实的；也就是说，就组件是

利用拉格朗日乘子的标准变分原理，来解释约束，导致爱因斯坦方程的额外贡献，解释为能量动量张量。

pc-GR的动作由[16］ 在哪里为黎曼标量。作用积分的最后一项允许在宇宙学模型中引入宇宙学常数必须是常数，才能不违反洛伦兹对称。当考虑具有唯一定义中心的系统(具有球形(史瓦西)或轴向(克尔)对称)时，这种情况就发生了变化。在这些情况下允许是一个函数 ，史瓦西解的函数和 ，克尔解。

相对于度量的动作的变化引出了运动方程 在零因子分量中，用独立的单元元素表示 ．这些方程仍然包含最小长度参数的影响 ，如[11］．因为最小长度尺度的效果难以测量，所以可能是不可能的，我们忽略了它们，这对应于将上述方程映射到其真实部位，给予

的 ， 是真实的，现在由[16］ 在哪里和径向分别为切线和压强。对于各向同性的流体＝＝ ．的4-速度的分量是流体和元素吗为类空向量( ）在径向上。它满足这个关系 ．流体是各向异性的，因为存在 ．的和与压力有关，如[16］

为什么质量分布之外的暗能量必须是各向异性的流体的原因是考虑到Tolman-Oppenheimer-Volkov（tov）方程[17对于各向同性流体:TOV方程与暗能量压力的导数有关(对于各向同性流体，切向压力必须与径向压力相同，即， )变成暗能量密度 ．假设各向同性流体暗能量的状态方程是 ，的因素 的TOV方程是零;也就是说，压强导数是零。结果，压力是恒定的，而与状态方程的密度也是恒定的，这就导致了一个矛盾。因此，由于附加的一项，流体必须是各向异性的，允许压力随着距离的增加而下降。径向压力的附加项 ，加到TOV方程中，得到 ［18］．

对于密度，必须施加一种现象学模型，由于缺乏量化的重心理论。有什么帮助是重申重力中的一个环路计算[19，其中真空涨落是由于背景曲率非零(卡西米尔效应)。研究结果载于[20.，在很远的距离上，密度大约下降为 ．半经典量子力学[19，它假定固定背景度规，因此只对弱引力场有效(弱于太阳系)。在史瓦西半径附近，场是非常强的，这表现在能量密度的奇点上，它与 ，与常数质量参数[20.］．

因为我们将真空涨落视为经典的理想各向异性流体，我们可以自由地提出负能量密度的不同衰减，在史瓦西半径是有限的。在早期的出版物中，密度确实是成比例下降的 ．然而,在(14这表明，这种下降必须更加强劲。因此，在本贡献中，我们还将讨论作为参数函数的各种衰减 ，例如,成正比 ，在哪里描述暗能量与质量的耦合。

凭借假设的密度，克尔解决方案的指标变为[21，22］ 在哪里 是克尔溶液的自旋参数和= 3、4、 为了 古老的安塞兹实现了。得到了史瓦西解 ．的参数 测量暗能到中央质量的耦合。定义这里是有关的在[14), ．

当不需要视界时，参数给出的下限是 对于等号，事件视界位于 例如,为了 和为了 ．

3.应用程序

3．1.粒子在圆形轨道上的运动

在[23研究了质点在圆形轨道上的运动。本节首先在[24，25］．

图中恢复了主要结果1和2．在图中1轨道频率，单位为 ，与径向距离的关系 ，在单位的 ，的旋转参数 ．给出了进轨道中轨道频率的函数

图中上部曲线1对应GR，两个低电平对应pc-GR with (虚曲线)和 (虚线)。曲线显示最大值在 这是 如(16），与价值无关 ，之后，它向中心下落，在(Eq。17))独立的关于转动参数 ．在达到最大值之后，曲线逐渐变小 ．这些特征对于理解吸积盘的发射结构很重要(见下一小节)。

可以看出，差异 和 是最小的，因此不会改变获得的定性结果 在以前的出版物。最大值的位置，也就是下面讨论的暗环的位置，在这两种情况下大致相同。为了 曲线接近GR曲线。

在图中2最后一个稳定的轨道，适用于 ，与旋转参数的关系 ．固体包络曲线是GR. for .的结果 GR的最后一个稳定轨道在 ，而在pc-GR中则更进一步。深灰色阴影区域描述了pc-GR中的稳定轨道，浅灰色区域描述了不稳定轨道。pc-GR紧跟在GR之后，偏差越大 ．大约在 ( ，为了 它的值稍微大一点)所有pc-GR的轨道都是稳定的，直到恒星的表面，估计大约在 ．为了 ，在GR中，最后一个稳定轨道在 ．

３．２．吸积盘

为了连接到实际观察[26- - - - - -31，一种可能是模拟大质量物体周围的吸积盘，就像椭圆星系M87的中心那样。基本理论由D. N. Page和K. S. Thorne发表[321974年)。基本假设如下(另见[33])如下:(我)一个薄的，无限延伸的吸积盘。这是一个简化的假设。真正的吸积盘可以是一个环面。然而，正如这里讨论的，排放剖面中的结构将是相似的。这些圆盘比较容易计算。(2)提出了一个包含质量和电磁贡献等所有主要成分的能量动量张量。(3)为了得到通量函数，引入了守恒定律(能量、角动量和质量)，[的主要结果是32］．(iv)盘的内部能量通过相邻轨道的剪切释放，并从较高频率的轨道分布到较低频率的轨道。

如何推断最后的通量将在[16］．

为了理解pc-GR中吸积盘发射剖面的结构，我们必须回到上一节的讨论。吸积盘的局部加热由进一步向内(或向外)时的轨道频率梯度决定。在最大值时，相邻轨道的轨道频率几乎相同;因此，摩擦很低。另一方面，在轨道频率最大值的上方和下方，轨道频率变化较大，圆盘受热。在最大限度的加热是最小的，这将被一个暗环明显。在更远的内部，热量再次增加，并产生一个明亮的环。

以上考虑是相关的大于约0.4，如图所示2(说明见图片说明)及[23］．的较低值 ，在pc-GR中，最后一个稳定轨道遵循GR的稳定轨道，但ISCO的位置值较低。结果，粒子到达更深处，由于势能的减小，释放出更多的能量，产生更亮的圆盘。但是pc-GR的最后一个稳定轨道没有到达 ．这变化略大于0.4。现在,是否交叉，是否存在最大值必须考虑的因素，正如上面所解释的。

仿真结果如图所示3.．观测者到吸积盘的视线为(靠近吸积盘边缘)，这里的角度指的是旋转轴和视线之间的角度。绘制克尔解的两个旋转参数，即: (恒星没有旋转，对应于史瓦西解)和接近最大旋转 m。

作为一个整体特征，pc-GR的吸积盘看起来更亮，这是由于吸积盘在势能更深的地方向内部深入，释放出更多的引力能，这些引力能分布在吸积盘内部。

上面解释了暗条纹和亮环的原因由于摩擦的可变性。暗环是轨道频率最大的位置。因此，暗环的观察位置可以用于确定 ．

吸积盘结构的差异为我们区分GR和pc-GR提供了明确的观测标准。还有其他的，可能更真实的圆盘模型，例如，如[36］．如果没有磁盘存在，那么可能的情况 ，然后是下落和释放气体的同步加速器模型[37]可能更加现实。然而，在所有这些模型中，上面所讨论的光盘的环形结构不会改变。不幸的是，这是目前唯一明确的预测来区分GR的PC-GR。在下一个小节中，我们将讨论引力波，我们将看到PC-GR和GR给出不同的解释来源，尽管最终结果是相同的。

最后,在图4我们比较了GR(左图)和pc-GR(右图)的圆盘模拟 和一个倾斜角度。GR的强度较小，而pc-GR的强度要大得多。此外，最大强度更符合EHT数据，报告的最大强度大约在3-4 ．否则，由于分辨率低，pc-GR中的环结构会丢失pc-Gr的交叉结构与GR相同。

３．３．pc-GR中的引力波

在[4报道了第一个观测到的引力波事件。在[5]在PC-GR内研究了这种引力事件，适用于 ．

利用GR和两个黑洞的质量点近似，得到了两个黑洞合并前的观测频率及其与啁啾质量的时间变化之间的关系 ，即(38]， 在右边代入观测到的频率及其变化和使用 对于GR来说，引力波的来源是两个大约30个太阳质量的黑洞，每个黑洞聚变成一个更大的、小于60个太阳质量的黑洞。能量的差异以引力波的形式辐射出去。然而，这些变化发生在pc-GR中，两个黑洞可以非常接近对方。不幸的是，点质量近似并不适用，尽管在[5为了表明对震源的解释在哪个方向变化，仍然使用这种近似方法。在pc-GR ( ） ＝ ，这由方程式右侧给出。（16)正好为零。因此，假设两个黑洞在合并前最后可能的距离范围。在Eq. (20.),这个函数在两个螺旋状黑洞合并的地方变得非常小。于是，唧唧声开始了一定比啾啾声的质量大得多吧在GR. For中推导 ，这个函数更改 ；因此，主要结论是相同的，尽管 -依赖已经改变了。我们还没有进行明确的计算，原因之一是:[5，因为点近似不是很好。

主要结果是pc-GR中的源对应于两个有几千个太阳质量的黑洞。这可能与两个原始星系的合并有关，这两个星系的中心黑洞随后合并。区分这两种预测的一种方法是寻找非常遥远的光事件。如果，对于未来观测到的引力波事件，有一个一致的光事件的出现，远得多，从GR推断的距离，那么这可能有利于pc-GR。然而，所有的预测都依赖于这样一个假设:当两个黑洞靠近时，点质量近似仍然或多或少是有效的，这不是很好!在[14]的激励频率在pc-GR范围内确定，对于不同的值 ，与在[14), ．如图所示，波形无法令人满意地再现 ；因此，它必须增加，让我们研究结果的依赖性作为一个函数 ．

在[6考虑了史瓦西情况，对于负宇称解，Regge-Wheeler， [39和Zerrilli方程，对于正宇称解，[40，采用迭代法求解[41］．由于对称性，在GR中这两类解具有相同的频谱(40]，不幸的是在pc-GR中丢失了。对于pc-GR，为的频率频谱轴向模式显示了频率的收敛行为，如图所示5．负虚部表示稳定模态，事实证明是这样的。对于虚数增加的部分，收敛性不那么确定。不幸的是，对于极模，到目前为止还没有得到收敛性。

另一个问题是区分GR和PC-GR。它非常依赖于观察合并的倒闭频率[6，而这一点还没有得到很好的衡量。没有它，我们就无法区分这两种理论和各种可能的场景可以在pc-GR中得到[6，12］．

3．4．宇宙中的暗能量

pc-Robertson-Walker模型在[12，34］．本节将继续讨论主要的结果。

线元在高斯坐标系中有这样的形式 在哪里宇宙的半径是和吗是一个参数，假设物质的能量密度是均匀的。的值 对应于扁平宇宙，这将在这里拍摄。

给出了相应的爱因斯坦方程和半径方程如果宇宙是推导出来的12]: 在哪里引力常数是和吗 ， 是理论的参数。状态方程设为 ，在哪里物质密度是和吗设置为零为灰尘．

图中显示了两个特解6．图示的是宇宙的加速度作为半径的函数 ．左侧面板显示结果 和 右边是参数和将分别和4。左图对应的是加速度趋于常数的解;也就是说，宇宙会随着加速度的增加而永远膨胀，而在右图中，加速度在非常大的情况下会慢慢趋于零 ．在这两个例子中，宇宙都在永远膨胀。这些不是唯一的解决方案;宇宙再次坍缩也是可能的。

这些结果并不是很具有预测性，因为一个人可以获得几种可能的结果，取决于的值和 ．然而，它们表明，我们宇宙的未来仍有可能出现各种情况。

3．5．室内的恒星

对于恒星内部的描述，需要物质的状态方程和暗能量与物质的耦合。对于状态方程，可以使用[42，这也考虑到核和介子共振。然而，当物质密度太大时，这些近似将失去其有效性。对于暗能量的贡献，情况更糟，它有两个方面:(i)人们必须知道恒星内部的暗能量是如何演变的(物质的存在)，(ii)它是如何与物质本身耦合的。两者都是未知的，我们必须依靠不完整的模型。或者，我们可以用一个非常有趣和独特的模型来模拟暗能量来解决这个问题，如[43- - - - - -46，在pc-GR和最大质量范围内研究了致密物体。

在[18提出了暗能量与质量密度的简单耦合模型: 的指数指暗能量和指质量密度。在这个理论中，暗能量很好地遵循质量分布。托尔曼-奥本海默-沃尔科夫(Tolman-Oppenheimer-Volkoff, TOV)方程必须被解决，它的数量翻了一倍，一个处理质量部分，另一个处理暗能量部分(更多细节见[12，18])。

一个特定的结果如图所示7，表示恒星的质量与其半径的比值。为各种比例因子的值绘制了曲线 ．可以看出，该模型可以再现稳定的恒星，最多6个太阳能群体，这表明黑能量稳定具有较大质量的恒星。但是，可以构建具有较大质量的恒星，因为对于更大的值和/或更大的质量，由于暗能量的斥力在表面附近变得太大，外表面层被蒸发。

在[35利用单瓣逼近计算以单环序列的计算是用意图导出暗能和物质密度之间的耦合。在图中8下面的曲线显示了这些计算的结果，上面的曲线显示了在最终计算中使用的多项式的近似。

最后,在图9恒星的质量与其半径的比值被描述。正如可以注意到的，现在有可能出现质量达到太阳200倍的恒星。由于[的模型的限制，无法获得更高的质量。42]到达。

该模型也遭受了所做的近似，并且无法给出完整的描述。尽管如此，现在可以稳定最多200个太阳能群众的星星，这表明将黑能在大规模的恒星中包含稳定的恒星！（尽管如此，只在现象学模型中。）

4.结论

本文介绍了赝复广义相对论(pc-GR)的最新进展。该理论预测在爱因斯坦方程的右手边有一个非零的能量动量张量。新的贡献与真空涨落有关，但由于缺少一个量子化的万有引力理论，一个回归到现象学的ansatz。在一个恒定的背景度规下，单回路顺序的计算表明暗能量密度必须向更小的方向增加 ．

理论提出的后果:(i)的外观暗环,后跟一个明亮的黑洞周围吸积盘,(ii)的一个新解释观察到的第一个重力事件来源,(3)未来可能的结果宇宙演化,和(iv)试图稳定大质量的恒星。

唯一可靠的预测是吸积盘发射剖面中的结构。

的利益冲突

作者声称他们没有利益冲突。

致谢

彼得·o·赫斯感谢dgpa - papiit的财政支持(IN100418)。与T. Boller (Max-Planck Institute for Extraterrestrial Physics, Garching, Germany)和T. Schönenbach进行了非常有帮助的讨论。

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