Renormalisation组方法的普遍性魏格纳半圆定律为随机矩阵相关的条目

文摘

我们表明,如果非高斯随机矩阵模型的累积量的一部分,遵循一些扩展边界在矩阵的大小,然后维格纳半圆定律成立。这个结果是使用复制技术和复制品的renormalisation集团的模拟方程有效的行动。

1。介绍

随机矩阵理论(见经典文本(1)第一次出现在物理维格纳的工作水平间距大核。自那时以来,它已被证明有多个应用程序物理和科学的其他分支(见,例如,2])。大多数这些应用程序依赖于一些可见的普遍行为大尺寸的矩阵。一个简单的例子是维格纳半圆定律适用于大型的特征值密度限制独立且同分布矩阵的条目。

理解的普遍行为特征值分布和相关性随机矩阵理论的主要问题之一。renormalisation集团在这方面是一个强大的技术。的上下文中介绍了临界现象的统计力学k·威尔逊占的普遍性临界指数,后者也被证明是有用的在理解概率论。例如,它会导致一个富有洞察力的中心极限定理的证明(参见评审Jona-Lasinio [3)和引用)。

renormalisation集团已被用来推导随机矩阵的半圆定律Brezin和Zee的开创性工作4]。renormalisation集团后一种方法的转变在于整合过去一个矩阵的行和列的大小 减少到一个矩阵的大小 。这导致一个微分方程分解物 在大收益率半圆法律限制的解决方案。

在这篇文章中,我们遵循不同的路线:我们首先表达了溶剂作为积分副本和副本引入微分方程有效的行动。这个微分方程是一个非常简单的模拟几百年的确切renormalisation组方程(5]。用于推导归纳界限的各种条款,确保提供的半圆法律遵守原始矩阵模型的累积量实现一些简单的扩展范围大极限。

本文是基于一些工作与克拉尼等人合作我们扩展维格纳定律无法独立随机矩阵的条目(6我们为进一步的细节参考)。有其他作品在这样的一个扩展(参见[7- - - - - -9])。

2。随机矩阵是什么?

一个随机矩阵是一个概率矩阵的一个空间,通常由联合概率密度的条目: 因此,一个随机矩阵的大小被定义为一组吗随机变量。但是,还有比这更丰富的结构,特别是依赖的光谱特性矩阵。

在这里,我们限制我们的注意力一个随机矩阵。注意,也可以考虑多个随机矩阵,在这种情况下,非交换矩阵乘法的性质起着根本性的作用,导致非交换概率理论。

有两个重要的类概率矩阵法:(我)维格纳合奏:条目都是独立的变量: 埃尔米特条件 。(2)统一的整体:概率法则幺正变换下是不变的: 对于任何一个酉矩阵 。

唯一属于两类高斯概率法: 的转变由一个固定的常数矩阵。

感兴趣的主要对象是可见的预期值,定义为 可见,光谱可见定义为对称函数的特征值在很多应用中发挥着至关重要的作用。这基本上是由于他们普遍行为:大限制,对于一些矩阵乐团,特别是政权,特定光谱可见的预期值不依赖于概率法的细节 。

普遍性是许多应用程序的根物理和其他科学,因为我们得到的结果是大部分model-independent。在应用物理,我们引用统计重原子核的能级,无序介观系统,量子混乱,手性狄拉克算子,等等。

3所示。维格纳半圆定律

在本文中,我们侧重于特征值密度,定义为 特别是,一个普遍的行为预期的大限制一些集合体。

对于一个高斯随机厄密矩阵 ,特征值密度服从魏格纳半圆定律: 经验,可能是由策划随机矩阵的特征值的直方图与给定概率法(见图1)。

维格纳半圆的大的推导限制是基于溶剂(也被称为格林函数): 然后,特征值的密度是恢复 我们使用的关系在哪里 在大限制,对于高斯模型,分解的遵循自洽性方程(也称为Schwinger-Dyson方程)(见,例如,(10),部分VII.4): 其解决方案的行为 对于大型是 以减少负实轴上的根,我们获得维格纳半圆定律(7)在大极限。

半圆定律并不局限于高斯的情况;它也适用于大位移矩阵极限。一个随机的埃尔米特 矩阵是一个位移矩阵(我)实部和虚部的对角线元素是独立同分布(先验知识)均值为0,方差 ;(2)对角元素i.i.d.有限的均值和方差和独立的非对角的的。

然后,在极限 的特征值分布是半圆定律(7)。

组合的原始证据的性质和涉及到期望的时刻: 推导的结果,我们的想法是先factorise维格纳的合奏 在哪里是常见的概率密度和真正的对角线方式常见的概率密度的实部和虚部的非对角的条款。

然后,我们扩大独立真实变量跟踪和整合 , ,和 。的力量在某一时刻的期望来自分母从独立指标合计的数量。在大限制,唯一生存的配置由加泰罗尼亚统计数字: 。因为后者也出现在泰勒展开, 我们得出这样的结论: 这是溶剂的形式导致了维格纳半圆定律。这里,我们看到普遍性的工作:在大极限,给出了特征值密度的半圆定律,无论概率密度和是这样的。然而,这个结果依赖于矩阵元素的独立性。在下一节中,我们将扩展到矩阵不需要独立的条目。

4所示。维格纳定律超出维格纳集合体

让我们介绍累积量,通过他们的母函数定义: 物理术语,这些连接的相关功能。特别是高斯累积量消失以外的二次项: 因此,累积量的程度高于2的偏离高斯的情况。

回到一般情况下,对于每个累积量,我们构建一个有向图如下(见图2一些例子):(我)顶点是不同的累积量矩阵指标。(2)有一个边缘来对于每一个 。

自nonquadratic累积量衡量偏离高斯分布的情况下,如果扰动很小,它是合理的期望,半圆法律还是服从了。

这个结果,回想一下,一个有向图是欧拉如果每个顶点都有同等数量的传入和传出的边缘。同样,这意味着每个连通分支承认一个欧拉周期,也就是说,一个面向循环通过所有边缘,尊重取向。此外,让我们表示 , ,和顶点的数量、边缘和连接的组件 ,分别。

定理1(位移定律为矩阵相关的条目)。让在埃尔米特的空间概率法 矩阵等,其累积量可以分解 ,高斯累积量和作为一个扰动,均匀的顶点指数 (即。,all constants involved should not depend on these indices),(我) 如果欧拉,(2) 如果是有界的不是欧拉。然后,矩阵的特征值分布的时刻趋同的时刻半圆法律,由高斯累积量 :

例如,图这不是欧拉, , , ,累积量应该服从 与是一个常数,不依赖于指数 , , ,和 。另一方面,图欧拉, , , ,我们对 统一在和 。

作为一个例子,我们恢复的情况下位移矩阵(有限时刻)。的确,(我)没有图 (独立的对角矩阵元素);(2)为 和 因为,界限是满意 和所有时刻都假定是有限的;(3) (非对角元素平均值0);(iv) (独立的对角元素);(v) (对角线的独立性和对角元素);(vi) (实部和虚部的独立与平等的分布中值0);(七) 是高斯累积量导致半圆的法律。

酉矩阵不变的情况下自限饱和(见[至关重要6])。这是一致的,因为我们知道半圆定律不服从统一的非高斯集合体(11]。

可以给一个组合这个结果证明基于时刻和累积量之间的关系: 在当下的方法,我们必须估计 然后,我们表达的时刻(23使用()的累积量22),表示每个累积量图。由于跟踪,有画欧拉图经过一些顶点识别周期。然后,比例界限累积量可以用来表示,只有高斯条件生存。

5。基于副本有效行动的证据

让我们给一群renormalisation这个结果证明基于复制有效的行动。使用随机矩阵理论的副本是一个经典的话题(见,例如,12]或[13])。首先,让我们注意 方便使用复制方法表达对数。首先,观察到 然后,我们表达的行列式是一个高斯积分的力量复杂的矢量大小的副本(的因素包含在措施): 这符合一个 复杂的矩阵 。

的极限 可能是令人担忧;其意义如下。因为不变性,使混乱的导致的权力 是一个多项式 ,我们只保留了线性项。当然,这可能不是微扰理论之外,在副本对称破坏可能发生。

经过平均与随机矩阵密度 ,我们得到以下溶剂的表达式: 潜在的复制品在哪里吗 由于对数,可能涉及到累积量和可以扩展图 在哪里边缘的来源吗和是它的目标。

我们引入一个副本有效的行动,通过部分集成: 的参数范围从0(我们没有集成, ), 。

有效的潜在遵循一个半群属性,遵循高斯卷积(见,例如,14),部分A10.1): 对小 ,它转化为以下renormalisation群方程,这是一个简单版本的几百年的确切renormalisation组方程(5]: 第一项在RHS称为循环,因为它创建了一个新的循环的费曼图扩张的有效行动,而第二个插入一个一个粒子可约,被称为树(参见图3)。

考虑到边界条件 ,方便编写(32在积分形式): 这让我们获得力量的感应范围 。

从物理的角度来看,我们评估的有效势大的小部分集成,给出的总重量 。我们强调的是,在我们的情况下,这个微分方程只是一个工具来控制结合一个后依赖的有效措施端依赖传播算子。

有效势也承认一个扩张图: 这将导致一个图形的解释这两个微分算子的作用renormalisation组方程(见图4)。事实上,在扩张(见(34)),加入一个顶点携带标签的优势一个顶点运送配备一个因素 ,与作为一个复制品指数。然后,微分算子(职责。)删除即将离任的(分别地。,传入)边缘的一半。最后,剩下的一半的边缘重新顶点识别产生一个新的图的园艺学会(33),少了一个优势。执行这些操作在同一图的循环和不同的树。

让我们分解有效累积量出现在(34)高斯的扰动和扩大在幂级数 : 构造高斯条件是那些只使用高斯项在最初的潜力 。即使是四次 ,这并不适用于高斯的一部分 ,它包含的所有订单。微扰收集所有剩下的条款;它们含有至少一个非高斯摄动 。

renormalisation组方程(33)让我们证明归纳的扰动遵守相同的比例征收 和纯高斯条件不增长太快。(我) 如果是欧拉。(2) 如果是有界的不是欧拉。(3) 是有界的 。

这涉及到一个组合讨论基于图的图形解释4可以发现在6]。让我们简单地提到的条款可能违反高阶的界限 。因此,以限制时,他们是无害的 之前的极限 。

最后,使用(27renormalisation集团)和方程(33),溶剂可以表示为 非高斯累积量的比例范围实施,扰乱性的 , 因此,只有高斯累积量的贡献,我们恢复魏格纳半圆定律。

6。结论和展望

在本文中,我们认为,维格纳半圆定律仍然有效的矩阵相关的条目。偏离独立情况是衡量联合累积量的条目,这是假定履行一些扩展开往大 。建立这个结果,我们引入了一种有效的行动的副本。这个有效的行动遵循renormalisation组方程允许我们证明扰乱性的界限在有效的累积量。由于这些界限,只有高斯项的贡献大限制,从而建立维格纳半圆定律的有效性。

也可能感兴趣的调查此案的一个随机矩阵的总和和一个确定的(见,例如,13),这样一个模型讨论了)。在这种情况下,分解的表达 在我们的环境中,确定性矩阵引发一个非凡的动能的副本。特别是,如果是一个离散拉普拉斯算子,它产生一个非平凡renormalisation组流与QFT renormalisation组有一些相似处。在这种情况下,我们希望利用的真正威力renormalisation组方程,讨论的不动点和扩展维度。

信息披露

本文提出了在第五届冬季Non-Perturbative量子场理论研讨会,Sophia Antipolis, 2017年3月。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者希望感谢研讨会的组织者,马里奥•Gattobigio蒂埃里Grandou,和拉尔夫·霍夫曼,盛情邀请,以及斯坦·布罗斯基深刻的讲话。作者也感激他的合作者,Dinh长Vu和Adrian Tanasa。

引用

1. m·l·梅塔随机矩阵、学术出版社,2004年。
2. g . Akemann j . Baik博士Di弗朗西斯科,Eds。随机矩阵理论的牛津手册,牛津大学出版社,2011年。
3. g . Jona-Lasinio Renormalisation集团和概率论理论物理,“物理的报告0009219条,卷。352年,439页,2001年,https://arxiv.org/abs/cond-mat/0009219。视图:谷歌学术搜索
4. e . Brezin和齐答:“普遍性的大型随机矩阵的特征值之间的相关性,”核物理B,卷402,不。3、613 - 627年,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. j .几百年“重正化和有效的拉格朗日”,核物理B,卷231,不。2、269 - 295年,1984页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. t . Krajewski A Tanasa, d . l . Vu“维格纳法矩阵的相关条目:扰乱性的方法,”物理学杂志》:数学和理论,50卷,不。16日,2017年,https://arxiv.org/abs/1609.01873。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
7. j·h·辛克物流和h . Schulz-Baldes半圆法律和自由随机矩阵的对称性或相关性,”数学研究快报,12卷,不。4、531 - 542年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
8. k . Hofmann-Credner和m . Stolz”,维格纳定理随机矩阵相关的条目:服装相关对称空间和样本协方差矩阵,”电子通讯的概率13卷,第414 - 401页,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
9. 欧弗瑞森和m .劳“矩阵的半圆法律相关的条目”。视图:谷歌学术搜索
10. a . Zee量子场论简而言之美国新泽西州普林斯顿大学,普林斯顿大学出版社,第二版,2010年版。视图:MathSciNet
11. e . Brezin c . Itzykson g·帕里,j·b·Zuber“平面图”通信的数学物理卷,59号1,35-51,1978页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. e . Kanzieper“复制的方法随机矩阵理论,”随机矩阵理论的牛津手册英国牛津,牛津大学出版社,2011年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
13. a . Zee“加法在随机矩阵理论中,“核物理B,卷474,不。3、726 - 744年,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. j . Zinn-Justin“量子场理论和临界现象,”国际物理系列专著卷。113年,牛津大学出版社,2002年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet

版权

版权©2017年托马斯·克拉尼。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。这篇文章的出版由SCOAP资助³。