协变GUP变形哈密顿雅可比方法

文摘

我们首先简要地回顾原来的哈密顿雅可比方法和行动表明哈密顿雅可比方程隧道的费密子粒子带电黑洞可以写在同一形式的,对于一个标量粒子。另一方面,各种量子引力理论表明最小长度范围内的存在,将这些整合到量子力学意味着不确定性原理的修改。在场景中包含广义不确定性原理(GUP)到一个量子场理论(QFT)协变,我们推导出变形model-independent公斤/狄拉克和哈密顿雅可比方程使用有效场理论的方法。洛伦兹不变量GUP修改QFT,我们发现GUP对哈密顿雅可比方程的影响就是“renormalize”发射的粒子的质量,来。因此,在这种情况下,一个黑洞的霍金温度不接收任何GUP效应的修正。

1。介绍

霍金辐射是霍金提出的理论观点存在的黑洞发出的热辐射。霍金的标准公式首次获得在弯曲时空量子场论的框架(1]。之后,有各种各样的方法来推导霍金辐射并计算其温度。其中半古典的方法建模霍金辐射的隧穿效应。该方法首次提出了克劳斯和Wilczek2,3]。他们聘请的动态几何方法计算操作的虚部对横波的隧穿过程排放在地平线的玻耳兹曼因子和相关排放在霍金的温度。由于逆反应效应包括在内,这个过程给出了校正到标准霍金温度公式,它能加速黑洞蒸发的过程。另一种方法来计算操作的虚部是哈密顿雅可比方法(4,5]。忽视self-gravitation,这种方法假设发射粒子的作用满足相对论哈密顿雅可比方程。考虑到指标的对称性,可以采用适当的拟设形式的行动。解决哈密顿雅可比方程证明恢复标准霍金温度。

然而,最初的哈密顿雅可比方法(4,5只是局限于半经典近似和框架进行的经典广义相对论。除了最初的哈密顿雅可比方法,可能会有一些修正。为简单起见,我们使用排放质量的情况下标量能量从史瓦西黑洞质量为了说明这些修正。在本文中,我们设置 ,普朗克常数是订单的普朗克质量的平方。在这些单位,黑洞的视界。潜在的修正原来的哈密顿雅可比方法给出如下:(一)逆反应的影响,给出了修正~ :在哈密顿雅可比方法中,我们假设指标是固定的,是免费的。因此,逆反应影响是无视。然而,在帕里克说,Wilczek方法(2,3],逆反应影响粒子的发射期间确保节能通过隧道。这些修正导致非热能的修正黑洞辐射谱。(b)高阶WKB修正:利用WKB近似法,最低的顺序描述粒子的运动方程的黑洞给哈密顿雅可比方程。WKB近似分解,当粒子的德布罗意波长 ,成为与黑洞的视界, 。因此,比率控制的高阶WKB修正量。然而,几位作者6- - - - - -8)认为,隧道方法产量不高阶修正霍金温度。(c)修正从量子引力效应:原霍金公式预测完整的黑洞蒸发,从而导致黑洞信息悖论(评论[9,10])。解决这一矛盾需要在普朗克尺度分解半古典作品的描述。量子引力理论的必须用于描述黑洞蒸发的最终状态。

在本文中,我们将探讨量子引力对霍金辐射的影响在隧道模式。尽管提出了量子引力理论,仍然没有完整和一致的量子重力理论。因此,如果没有一个完整的量子黑洞蒸发的描述,使用一个有效的模型来描述量子引力的行为。另一方面,不同的量子引力理论,如弦论,环圈量子重力,和量子几何,预测的存在一个最小长度(11- - - - - -13]。一个有效的模型来实现这个最小长度是广义不确定性原理(GUP)。对于一维量子力学,GUP, 可以获得的变形对易关系吗在哪里是一个小的参数尺寸的逆动量的平方。事实上,(1)意味着一个绝对最小值的不确定性可以给运营商的位置表示这是适合最适合。当一维变形对易关系(2)是广义维,有几种形式在文献[14- - - - - -17]。例如,Kempf et al。14]multiple-dimensional变换关系,得到修改在哪里和泛化保护区旋转对称。Hossenfelder et al。15]还利用改进的德布罗意关系方法得到相同的变换关系。当将GUP到量子场理论,一个需要推广维变形变换关系,包括时间。然而,最小长度的存在可能导致普朗克尺度离开洛伦兹对称。因此,相应的维变形变换关系并不是洛伦兹不变量,产生一些版本的畸形的狭义相对论。场理论建立在这种变换关系因此不尊重洛伦兹对称(15,18- - - - - -20.]。虽然洛伦兹不变性不是必需的泛化,有一些介绍维变形洛伦兹不变量概括的维变形变换关系21,22]。因此,该领域理论基于这些变形变换关系是洛伦兹不变量。例如,测量理论与公司(GUP的22洛伦兹对称和计下)都是不变的对称。此外,克莱因-戈登方程所描述的Quesne-Tkachuk Lorentz-covariant变形代数已在23]。

霍金的标准公式预测完整的黑洞蒸发,从而导致黑洞信息悖论。有几种方法来解决这个矛盾。其中一个是这些信息可能存储在一个Planck-sized遗迹。这激发了阿德勒等。24]将GUP推导的霍金温度,预言了黑洞的存在残余。黑洞热力学也被讨论的GUP框架(25- - - - - -27]。GUP融入Parikh-Wilczek隧道机制的标量场,得到了修正后的霍金温度史瓦西(28]。同样的,一个也可以用哈密顿雅可比方法计算粒子的隧穿量子引力的影响。最近,GUP修改费米子的哈密顿雅可比方程介绍了弯曲时空和纠正霍金温度派生(29日- - - - - -34]。

对于哈密顿雅可比方法,GUP变形克莱因戈登(公斤)/狄拉克方程维弯曲时空需要首先导出。然而,不同的维GUP变形变换关系可能会导致不同的变形公斤/狄拉克方程。如前所述,有两种维变形变换关系,其中一个是洛伦兹不变量,另一个不是。场理论建立在洛伦兹不变量变形变换关系也在平直时空洛伦兹不变量。当使用minimal-coupling原理推广到弯曲时空中,洛伦兹不变量畸形克莱因戈登(公斤)或狄拉克方程变成了协变方程。另一方面,变形变换关系(15)没有洛伦兹不变量,因此变形狄拉克方程建立在他们(30.,31日,33)不是协变。

在本文中,我们将研究变形哈密顿雅可比方法包含了GUP协变。在这个场景中,我们将展示没有修正的一个黑洞的霍金温度GUP如果原来的霍金温度是影响质量的独立发射粒子。对于这些目的,本文组织如下。节2,我们简要回顾哈密顿雅可比方法和行动表明费密子哈密顿雅可比方程可以写在同一形式的标量。后构建标量(费密子)尊重时空坐标的协方差有效场理论,我们推导出变形model-independent公斤/狄拉克和哈密顿雅可比方程3。部分4致力于我们的讨论和结论。

2。哈密顿雅可比方法

在本节中,我们简要回顾一下如何计算操作的虚部利用哈密顿雅可比方程(4]。这个半古典的方法模型霍金辐射隧道穿过地平线。利用WKB近似的隧穿概率经典禁止通过地平线是由轨迹在哪里的经典动作轨迹。一个人可以联系玻耳兹曼因子的排放从黑洞霍金温度。

2.1。标量场

由标量场方程满意在哪里黑洞的协变导数和吗是它的电磁势。使拟设为 ,这是替换成(7),一个扩展(7)的权力并找到最低的秩序方程(9)是哈密顿雅可比方程满足的标量粒子质量移动与电磁黑洞的潜力。的解决方案(9)的行动是标量的经典禁止轨迹穿过地平线。

为了说明哈密顿雅可比方法是如何工作的,我们认为霍金辐射的(维史瓦西黑洞与行元素 ) 因此,(9)成为我们使用史瓦西黑洞。采用分离变量的方法,我们发现上述方程的解在哪里是一个常数,对应于外向(迁入)解决方案。选择轮廓躺在上面复杂的飞机,一个人的虚部是因此,隧道率比较上述方程与玻耳兹曼因子在视界附近的霍金温度

2.2。费米子场

在弯曲的时空中,自旋-狄拉克方程费米子与一个电磁场需要在表单上在哪里 ,洛伦兹旋量发生器,是旋转连接, 。希腊指数升高和降低的弯曲度规 ,而拉丁指数由平面度量。获得一个费米子的哈密顿雅可比方程,拟设假设是在哪里是一个慢变旋量振幅。用(17)(16),我们找到的最低位由一个费米子粒子哈密顿雅可比方程满意的质量移动与电磁黑洞的潜力。解决(18)给我们的经典动作。增加双方的18从左边) 然后使用(18)简化,得到通过操纵lh上述方程 ,我们有自非零,哈密顿雅可比方程满足经典的行动费米子终于变成了也就是作为一个标量的哈密顿雅可比方程具有相同的质量 ,也就是说,(9)。

3所示。哈密顿雅可比方程结合GUP

将GUP到哈密顿雅可比方法,我们需要获得公斤/ GUP狄拉克方程的框架。在介绍中提到的,有很多GUP试图引入到量子场理论。如果场理论是建立在洛伦兹不变量变形变换关系,变形公斤/狄拉克方程在弯曲时空协变。在本节中,我们将计算框架的霍金辐射的协变畸形公斤/狄拉克方程利用哈密顿雅可比方法。

3.1。Model-Independent协变畸形公斤/狄拉克方程

协变畸形公斤/狄拉克方程的形式取决于我们使用的变形变换关系。尽可能一般,在本文中,我们将不会采取任何具体的模型。相反,我们将推导出model-independent协变畸形公斤/狄拉克方程通过考虑尊重协方差有效场理论。对于带电黑洞背景,规范不变性的有效场理论假设。我们还假设引入GUP原始场理论不稳定粒子不稳定。现在原来的场理论是免费的,没有自动调节有效运营商有效场理论。因此,有效的拉格朗日包括标量场(费米子字段)的背景维黑洞与电磁势是由在哪里表示标量(费米子) 表示操作员维度,运行在所有独立运营商给定的维度,和相关的能源规模最小的长度吗 , 。最低维操作符是原始的自由场拉格朗日和电磁势在弯曲时空吗 : 在哪里 ,是粒子的质量。费米子字段 ,独立有效的运营商的基础是由标量场的 ,的运营商 gauge-invariant和协变吗如果我们截断标量有效理论通过重新定义标量场 ,很容易看到,截断有效理论相当于原场理论重新定义质量。所以我们需要有效的运营商产生重要的结果。独立有效的运营商的基础是定义的操作。不同关于给出了变形公斤狄拉克方程。因此,变形公斤方程是和畸形的狄拉克方程是

3.2。畸形的标量哈密顿雅可比方程

发现经典的行动利用WKB近似解(27),我们拟设为像之前一样替换成(27),一个扩展(27)的权力并找到最低的秩序在哪里 , 。解决(30.)给在哪里当 ,我们发现和。作为 ,(31日)给为因此,行动高度在时空振荡。你可能认为这种行动不是实物,因此可以丢弃用低能量一致性条件提出了(35]。另外,人想恢复结果没有GUP当。然而,随着解决方案(31日),打击时(31日),成为(9)自。因此,我们选择在(31日)。比较(31日)和(9),我们发现所有的畸形GUP贡献标量哈密顿雅可比方程中包含一个有效的参数, 。

3.3。畸形的费密子哈密顿雅可比方程

获得的哈密顿雅可比方程的经典动作,拟设的采取的形式在哪里是一个矢量函数的时空。用(33)(28),我们找到的最低订单在哪里 , 。增加双方的34从左边) 和使用(34),我们获得解决(35),我们也发现在哪里是一个函数的 , , , ,和和选择作为。同样,所有的畸形GUP贡献费密子哈密顿雅可比方程中包含一个有效的参数, 。

3.4。畸形的哈密顿雅可比方程所有订单

我们已经表明,变形标量(费密子)哈密顿雅可比方程可以写成的形式(36)的顺序。在这里,我们将展示变形标量(费密子)哈密顿雅可比方程可以写成的形式(36所有订单的有效理论。

对于一个标量场,有效的操作符必须包含偶数的协变。自包含两个 ,我们发现在整数和表示任何可能的承包方式在对协变。因此,变形公斤方程所有订单的有效理论使拟设替换成(36)给出了畸形的哈密顿雅可比方程 : 在哪里和当假设,(39),存在一个且只有一个根在。事实上,自 ,和。因此,一个发现和。那么存在一个根(39) 。另一方面,使用为 ,你会发现为。这就完成了一个且只有一个根存在的证明(39) 。可能有其他根源并不在。然而,他们不是物理和丢弃,因为他们没有方法作为。通过求解(39),我们发现经典的行动满足在哪里是唯一由 , ,和。

费米子场,有效的操作符可以写成在整数和表示任何可能的承包方式和在对。因此,变形狄拉克方程的所有订单有效的理论替换的拟设到(43),我们找到的最低位 : 在哪里和使用相同的操作和之前一样,我们发现(44)减少为 ,一个可以证明 , 和 , 。因此, 和。此外, 为自和为。因此,存在一个且只有一个根(46) 。(46)导致在哪里是唯一由 , ,和。

4所示。讨论和结论

哈密顿雅可比方法没有和公司的GUP已经研究了。具体来说,我们计算标量和费密子哈密顿雅可比方程的经典动作在后台与度量维黑洞和电磁势。首先,在节2,我们重温了通常的哈密顿雅可比方程的推导标量和费密子粒子的隧穿的黑洞。在有效场理论的框架下展开的权力构造节3,变形model-independent公斤/狄拉克方程的协方差和规范不变性的尊重然后是派生的。最后,用WKB拟设为标量和费密子波函数变形公斤/狄拉克方程,我们扩大了他们的权力 ,只保持最低的订单,因此给了畸形的哈密顿雅可比方程。畸形的标量(费密子)哈密顿雅可比方程节中推导3而畸形的哈密顿雅可比方程有效场理论给出的所有订单。

我们的研究结果总结如下:(一)对于没有GUP,我们有部分所示2费密子哈密顿雅可比方程的行动可以写在同一形式的标量。都可以写成在哪里黑洞的电磁潜力和吗是粒子的质量。(b)对于GUP合并成协变量子场理论,我们有部分所示3标量和费密子畸形的哈密顿雅可比方程可以减少所有GUP贡献都包含在只有一个参数。

作为奖励的结果(一个),它提供了一个快捷方式计算行动隧道的费密子粒子从黑洞。而不是解决复杂的矩阵方程(18),我们可以解决(48) 。例如,讨论了这些快捷方式的费密子隧道从Bardeen-Vaidya黑洞(36]。因为标量和费米子的行为满足相同的方程(48)、哈密顿雅可比方法相关动作的虚部为标量霍金霍金温度显示,温度和费米子粒子都是相同的。事实上,利用哈密顿雅可比方法,霍金温度计算为一个标量和费米子,在带电BTZ黑洞(37],黑弦[38,39相同),等等,结果被发现。如上所示,巧合的是担保(48)。

标准扬言要辐射,所有粒子非常接近地平线实际上是无质量的无限的蓝移。因此,地平线上的共形不变性使自己所有粒子的温度是一样的。质量、角动量和粒子的身份只是逃避势垒时有关。这就是我们的结果(a)。然而,如果被认为是量子引力效应,粒子接近地平线的行为是不同的。例如,如果我们发送波包是由光速色散关系,在时间上向后向地平线,它达到的最小距离方法,然后改变方向,传播远离地平线,而不是获得无限的蓝移向地平线(40,41]。因此,量子引力效应可能使费米子和标量体验不同的(有效的)霍金温度。然而,我们的结果表明,在协变GUP模型中,标量的犹豫不决温度和费米子是相同的,独立的角——和身份。

当合并GUP量子场理论,在介绍中提到的,有两种类型的实现,其中一个方面协方差和其他不。noncovariant实现,畸形合并与GUP哈密顿雅可比方法研究[29日- - - - - -34]。那里,它已经表明,修正到标准霍金温度取决于群众和发射粒子的角——一个重要的方式。在某些情况下,这样的修正可能导致蒸发留下的遗迹(29日- - - - - -31日]。

在本文中,我们调查了畸形的哈密顿雅可比GUP修改QFT方法,它结合了GUP协变。洛伦兹不变量GUP修改QFT,我们发现的影响在哈密顿雅可比方程只是GUP renormalize发射粒子的质量,来。注意,原始的霍金温度发射粒子的质量无关。因此,没有修正从GUP霍金温度为洛伦兹不变量GUP修改后的量子场论。因此,人们可能会认为,协方差的GUP合并到量子场理论已经被打破,以蒸发留下的遗迹。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢郑Houwen吴邦国委员长和太阳是有用的讨论。这项工作是由国家自然科学基金委支持部分(授予号。11005016,11175039,11175039,11747171)和自然科学基金会成都中医药大学(赠款nos ZRYY1729和ZRQN1656)。

引用

s w·霍金“粒子创造黑洞,”通信的数学物理,43卷,不。3、199 - 220年,1975页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
p·克劳斯和f . Wilczek self-interaction对带电黑洞辐射的影响。”核物理B,卷437,不。1,第242 - 231页,1995。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
p·克劳斯和f . Wilczek Self-interaction校正黑洞辐射。”核物理B,卷433,不。2、403 - 420年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
m . Angheben m . Nadalini l . Vanzo, s . Zerbini“霍金辐射”作为极值和旋转黑洞的隧道,”高能物理学杂志》上,卷2005,不。5日,第014条,2005年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
r·肯纳和r·b·曼”隧道、温度、和Taub-NUT黑洞。”物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,卷73,不。2006年10篇文章ID 104010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
a .耶鲁大学”的霍金辐射标量、费米子和玻色子使用隧道方法没有逆反应,”B物理快报,卷697,不。4、398 - 403年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
b . Chatterjee和p . Mitra霍金温度和高阶的计算,”B物理快报,卷675,不。2、240 - 242年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
c . m . Wang丁、陈s和j .,”霍金温度修改以外的量子隧穿半经典近似”广义相对论和引力,42卷,不。2、347 - 357年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
j . Preskill黑洞破坏信息吗?arXiv: hep-th / 9209058, 1992。
c·t·希尔,黑洞蒸发的信息问题:旧的和最近的结果arXiv: hep-th / 0501132, 2005。
p·k·汤森,“小规模的时空结构作为引力常数的起源,”物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,15卷,不。10日,2795 - 2801年,1977页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
d·阿玛蒂,m . Ciafaloni g .对偶”时空可以探索以下字符串大小?”B物理快报,卷216,不。1 - 2,41-47,1989页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
k . Konishi g . Paffuti, p . Provero“最小物理长度和广义不确定性原理在弦理论中,“B物理快报,卷234,不。3、276 - 284年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
a . Kempf g·曼格诺,r·b·曼“希尔伯特空间表示的最小长度不确定关系,“物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,52卷,不。2、1108 - 1118年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
s . Hossenfelder m·布莱西霍夫曼,j . Ruppert谢勒,h .储料器,“签名在普朗克政权,”B物理快报,卷575,不。1 - 2、85 - 99年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
f . Brau“最小长度不确定关系,氢原子。”物理学杂志》:数学和一般,32卷,不。44岁,7691 - 7696年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
a·f·阿里,s Das和e·c·Vagenas”从广义不确定性原理不连续性的空间。”B物理快报,卷678,不。5,497 - 499年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
答:卡马乔,“广义不确定性原理和量子电动力学,”广义相对论和引力,35卷,不。7,1153 - 1160年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
m . Maziashvili”影响的量子力学最小长度变形QFT /路上,“Fortschritte der物理学/物理方面的进步,卷61,不。6,685 - 700年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
m . s .伯杰和m . Maziashvili”自由粒子波函数的量子力学最小长度变形和它的一些现象学意义,”物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,卷84,不。4、文章ID 044043, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
c . Quesne和v . m . Tkachuk Lorentz-covariant变形代数以最小长度和应用程序(1 + 1)维狄拉克振荡器,”物理学杂志》:数学和一般,39卷,不。34岁的货号。021年,第10922 - 10909页,2006年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
m·科比,”计理论下的广义不确定性原理,“物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,卷82,不。2010年8篇文章ID 085017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
s . k . Moayedi m . r . Setare, h . Moayeri“量子引力修正真正的克莱因戈登字段的最小长度,“国际理论物理学杂志》上卷,49号9日,第2088 - 2080页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
r·j·阿德勒,陈平,d . i圣地亚哥“广义不确定性原理和黑洞残余,”广义相对论和引力,33卷,不。12日,页。2101 - 2108 (2002),2001。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
l .香和x问:温家宝“黑洞热力学广义不确定性原理,”高能物理学杂志》上,卷2009,不。第四十六条,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
答:比娜,美国Jalalzadeh, a . Moslehi“量子黑洞广义不确定性原理框架,“物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,卷81,不。2、文章ID 023528, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
Y.-W。金和Y.-J。公园”,史瓦西黑洞的熵在普朗克长度,所有订单”B物理快报,卷655,不。3 - 4、172 - 177年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
k . Nozari和s . Saghafi“自然从黑洞视界,短裤和量子隧穿”高能物理学杂志》上,卷2012,不。11日,第005条,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
吴h . d . Chen, h·杨,”费米子的隧穿量子引力的影响,“高能物理的发展432412卷,2013篇文章ID, 6页,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
d . y .陈、吴h·w·h·杨,观察残余通过费米子的隧道。”宇宙论与天体粒子物理学杂志》上,没有。3,036,前页+ 12页,2014。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
d . y . Chen问:问:江,p . Wang和h·杨残余,费米子的隧道,量子引力的影响。”高能物理学杂志》上,卷2013,不。11日,1-13,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
d . Chen“狄拉克粒子的隧穿五维旋转黑弦的影响广义不确定性原理,“欧洲物理期刊C,卷74,不。1,货号。2687年,页1 - 5,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
Z.-Y。刘和J.-R。任”,与量子引力校正费米子隧道”,通信理论物理,卷62,不。6,819 - 823年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
d .陈和李z”评价残余费米子的隧道从黑弦。”高能物理的发展ID 620157条,卷。2014年,9页,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
c . l . Ching和r . Parwani散射和束缚态的量子力学变形,arXiv: 1207.1519, 2012年。
r . Di Criscienzo和l . Vanzo“费米子隧道从动态视野,”EPL (Europhysics字母),卷82,不。6、文章ID 60001, 2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
a·埃贾兹·,正在h . Gohar h·林k·赛弗拉,S.-T。邱”,从三维黑洞量子隧穿。”B物理快报,卷726,不。4 - 5,827 - 833年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
j·艾哈迈德·k·赛弗拉,”霍金温度旋转带电黑弦的隧道,”宇宙论与天体粒子物理学杂志》上,卷2011,不。11日,货号。023年,2011年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
h . Gohar和k·赛弗拉标量粒子发射圆柱形黑洞。”天体物理学和空间科学,卷343,不。1,第185 - 181页,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
w·g·安鲁“声波模拟黑洞和高频率黑洞蒸发的影响,“物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,51卷,不。6,2827 - 2838年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
科里和t·雅各布森,”霍金频谱和高频率色散。”物理评论D:粒子,字段,引力和宇宙学,54卷,不。2、1568 - 1586年,1996页。视图:谷歌学术搜索

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