多项式的根,比丘几何图形

文摘

多项式根的检查约束至少可以追溯到华林Littlewood。然而,这样的精致结构分形和洞最近才被发现。我们研究某些整数多项式根的空间产生自然在比丘空间的背景下,尤其是庞加莱和牛顿多项式,并观察各种特征和几何图案。

1。介绍和总结

monovariate多项式的根的主题是,毫无疑问,一个旧式的,已经发芽了大量的卓有成效的研究。因此,也许奇怪,任何新的语句可以根据这样的根源。计算机代数的出现,混乱的现象,和随机集合体,然而,实际上揭示在如此古老的职业。

和约束系数多项式形式,虽然允许随机变化,构成了一个巨大的领域本身。早在1782年,爱德华华林,与他著名的权力被求和问题,表明了立方与随机实系数多项式,的概率比nonreal找不到非零的零和小于或等于2。限制在一个固定的整数系数范围,自己的历史。这是意识到在1)学位随机多项式与分布均匀,预期的数量真正的根源是秩序渐近的。(这是置换2)是统计独立的,也有相同的渐近(参看[3,4]),在均匀分布的实数,或高斯分布。

持续发展随之而来(除外5[]),尤其是利特尔伍德6)、鄂尔多斯、图兰(7],Hammersley [8],卡茨(9]。实际上,只一个多项式的系数值被称为Littlewood多项式,Littlewood问题要求的精确渐近,在程度上,这些多项式的值,与复杂的参数,在单位圆上。蒙哥马利的经典作品10和教授11),构成的一个最著名的计算机数学实验(问:v . 3.1节(12]最近的一些言论分布),经验表明,连续(归一化)之间的间距的分布的关键零黎曼ζ函数是一样的高斯随机矩阵的统一的整体,即注入我们的主题至关重要的问题。

随后,结合零的调查和随机多项式,奥德林克和Poonen13]研究了零Littlewood-type多项式的系数设置为0和1;他们提供一定的界限以及发现有趣的分形结构。因此,启发和计算能力的迅速推进,Borwein等人构建的各个块零约束随机多项式和许多显著特点是立即可见的(14,15]。我们可以用数学(容易证明这一点16),如图1。在图中,我们把50000的样本随机多项式系数−1,0或1不同程度,和情节,在复平面,0。我们不仅看到讨论分形行为(参见[3,17在混乱的二元性在边界附近的场理论),孔的性质密切相关(18]Lehmer-Mahler猜想:马勒的措施多项式的积分(这不是割圆多项式的倍数)下面应该有界的,也就是大约1.17。

高分辨率的图的变体1最近被认为是由克里斯腾森(19),乔根森(20.)和德比郡马特森(21),尤其,和许多美丽的图片也可以找到(参见一个帐户在22])。特别引人注目的是彩色密度图(21]。

一个有趣的查询,在一定程度上扭转方向上面的想法,是构成(23]:回忆Lee-Yang圆定理将严重限制的生成函数伊辛模型的配分函数,作者问如果一个能统计测试是否一个给定的Laurent多项式可以,事实上,是琼斯多项式的一个结。使用产生的结的景观项目“knotscape”[24),表示工作调查许多分布已知琼斯的零多项式的性质。

这个主题已经迷住了螺纹不同发展在过去的几十年里,不断产生新的观点,问题马上就会跳入我的脑海。的一个核心主题的现代数学和理论物理无疑是比丘的几何图形。一个关键特性是多余。在复杂的维度,只有环;在维度两个,还有4-torus和k3曲面;然而,对于维度三个及以上,没有已知的分类,并且已经大量建造。第一个数据库是所谓的CICYs,或者完整的十字路口比丘三倍在射影空间的产品25)以及加权超曲面(26),烛光等。然后,在十多年,Kreuzer和Skarke制定和编译一个令人印象深刻的的列表三倍的超曲面环面的品种(27]。寻找新的模式在这个巨大的繁殖分配了最近的一些活动(28- - - - - -30.]。事实上,这些几何图形的许多所谓的真空退化问题的核心超弦理论和构成景观的一部分问题31日]。

沿着平行脉,noncompact的空间(单数)比丘空间(如仿射品种)也进行了广泛的探索,尤其是Hanany等人在过去的十年里(32- - - - - -39),尤其是那些承认[复曲面的描述33];发现他们的亲密关系二聚体模型和膜瓷砖(34,35,38也产生了一些兴奋。这些取代另一个角落的几何图形和相关的超对称空间的景观。

因此动机,许多任务自动调查;我们这里给出一个大致的一些要点。节2,我们开始紧凑,光滑的比丘集合管。正如上面提到的,有很多努力在分类和构建这些,尤其是在复杂的维度3和4。立即多项式,约束形式和整数系数,而简洁地编码一些拓扑信息,是庞加莱多项式,它很容易写的霍奇数字。我们把所有已知的实验数据”霍奇数量的三倍和四倍跨越二十年的工作和相关情节的复杂根源庞加莱多项式数据4和8,分别。

更复杂的结构清晰可见。这些都是与“标准背景样本”,即随机整数六次和octic多项式的根,与单位领导系数和线性项消失,在数字2和7。从这些集合是提取的子类也承认−1根,,从微分几何定理,有多个等距对应于空间。有趣的是,他们对应self-mirror三倍和“准”self-mirror四倍。我们在人物情节的根源5和10,发现他们提供的某些下层集团阴谋上面提到的。

其后,我们继续noncompact比丘几何图形3。那里也是一个丰富的例子,尤其是那些环面的。我们专注于复曲面的三倍,因为这些平面环面的图格点由于比丘条件。一次,一个自然的多项式邀请本身:牛顿多项式。这种二元多项式对应的黎曼曲面中央的衡量和膜理论在弦理论的背景下。此外,其两个重要的预测,即变形虫和海藻预测,提供了许多美丽的蒙特卡罗情节,说明深代数几何以及规范理论。因为我们面临着两个复杂的变量,我们需要稍微偏离主题的复杂的根源;相反,我们发现它方便作为变量实际,考虑实际黎曼曲面的投影。随后,我们可以研究真正的合奏(关键)的这些平面曲线点。

再一次,我们采取“实际数据”,专注于最知名的仿射geometries-as如图复曲面的三倍11相应的当地比丘奇点),包括著名的conifold。每一个空间,我们发现集体的临界点当我们改变整数coefficients-commonly称为二聚体模型中的多样性的解释牛顿多项式,并把它们在图13。我们看到一个敏感依赖的紧急细微结构的选择上环面的数据。

在很多方面,我们采取了一个非常务实的和实证的方法对理论研究的数据积累多年,数量足以证明实验。这种哲学的“数学实验”我们坚持,无论我们应该观察,无论我们可以推断。没有很大关系,因此,让我们深入的细节上面的问题总结。

2。紧凑的比丘集合管、庞加莱多项式和复杂的根源

一个重要的量化多项式平滑紧流形是庞加莱多项式,它是一个生成函数的拓扑不变量(说的维度): 与是贝蒂数。事实上,这似乎是一个更自然的候选人我们目前的研究比其他一些因为著名的多项式如希尔伯特多项式或分子的希尔伯特系列(在数个基点运营商(40- - - - - -42)不是拓扑不变量,取决于特定的射影嵌入。此外,根据定义,多项式的求值结果为欧拉示性数;这将是重要的。

庞加莱的零多项式有相当显著的特性。这是推测,43),如果廖的排名大于1,排名在哪里定义的最大数量的到处都是独立的,相互通勤,向量场的数量,也就是说,等距,然后−1是一个多个庞加莱多项式的根。不幸的是,这种猜想被证明是假的(44]。尽管如此,它仍然认为的秩当且仅当超过统一−1是一个多重的根源。

此外,许多理论和arithmo-geometric意义是某些庞加莱多项式展览黎曼假设的行为(45,46),在类比Hasse-Weilζ当地ζ函数。最近,对准了希尔伯特的零多项式(47),与ζ函数。

2.1。比丘三倍

我们将关注(2.1)。首先,让我们研究比丘三倍的情况下,已最大的兴趣,至少在历史上。因为我们是处理复杂(卡勒)集合管,霍奇分解说明,的尺寸Dolbeault上同调群。的确,对于(紧凑,光滑,连接)比丘三倍,霍奇钻石,随后贝蒂数字和庞加莱多项式,可以写成 庞加莱多项式是回文是显而易见的,从庞加莱二元性。

因此,我们将我们的第一个约束是palindromicity目前限制。我们回忆起一个完全随机抽样,对整数多项式的根与系数的六次部分(b)的人物1。在图2我们的阴谋,在(a)部分中,50000个随机整数六次多项式系数的样本(确保系数最高学位6不是0)作为比较标准。接下来,在(b)部分,我们把相同的,但对莫尼回文六次,也就是说,。然后,在(c),我们限制一次,有远见,所以线性项消失,也就是说,。我们看到palindromicity条件,有一个明显的出现根在单位圆上;这当然来自对称的形式结合给(co)正弦的现实促进添加为零。对称的设在只是所有根出现在多项式共轭双,因为我们有真正的系数。

对于我们的娱乐,看到semiunit-circular形状的形式被突出,我们想起了保形映射),需要单位圆黎曼假设的关键地带,见细节图的部分(a)3。我们的空间扎根莫尼回文与消失的线性/五次六次从部分(图c)2,应用逆映射映射到的关键地带,和重做图的情节部分(b)3。我们看到,情节类似于无游离的黎曼ζ函数内部的关键地带。

基于上述讨论,我们已经准备好方法”实际数据。“我们现在收集所有已知的比丘三倍,来自三大数据库,即上述CICYs,环面的品种的超曲面,以及收集的量身定制的小霍奇数字(cf。28,29日])。这些总数分别为30108、266和54个不同的对霍奇数字。总的来说,有30237个不同的双(当然,每个简并)霍奇数字;我们目前的知识,这些都是那些流传的文学。

我们情节(传统上,著名的阴谋,首先出现在[26),是完成了作为横坐标,纵坐标)。这些,为横坐标,图的纵坐标,部分(a)4这些是最大的。注意,因为镜面对称,对称交换两个坐标。仍然是一个悬而未决的问题是否存在任何比丘三倍的霍奇数量超过491,至今不顾结构的束缚。这就是为什么在我们随机标准背景样品图2,我们有方便地选择最大的整数系数。部分(b)的人物,情节,在复平面,庞加莱多项式的根的所有这些已知的三倍。因为我们是处理非负系数多项式,应该有许多通用的根与负实际零件。随机样本的比较(图c)2,我们看到一个美丽的聚类的点在第一象限(复杂的共轭,第四)。

接下来,让我们测试多少庞加莱多项式−1根;正如上面提到的,这些会有多个等距对应集合管。有趣的是,大约30000,只有148通过测试。这些是只有148种已知self-mirror导管;我们把他们霍奇数字部分(a)图5(霍奇数字的值范围来,不许多高值,以及13号)。的确,这是一个简单的结果palindromicity一看到替换成在(2.2),我们得到欧拉示性数。在(b)部分,我们把其他所有的根,看到这些构成部分的小月牙在原点。

2.2。比丘四倍

探索比丘三倍的空间,它是自动进行到四倍的空间,一个相对未发现的地域。我们再次诉诸的Kreuzer-Skarke[编制的数据库27,48]。现在,总计有超曲面的复曲面的五倍,14598161集合管,霍奇3015056不同的三联体的数字。解释这三个一组的符号,我们提醒读者霍奇钻石的紧凑,连接,光滑的比丘四倍,坚持的命名和解释49] 我们注意到,虽然看似有四个自由度,由于在复杂拓扑约束尺寸4或更高,所表现出的上述关系与他人,其实只有三个独立霍奇数字,我们选择;这三个一组,我们表达了贝蒂,如上所示。因此,我们可以把庞加莱多项式的四倍,贝蒂数字(2.3),如

后(49),我们的阴谋作为纵坐标与作为横坐标,这表明镜面的行为。(虽然在cit.如上。,只有在加权超曲面被认为是,而这里我们把整个已知的四倍)。我们还阴谋与的行为,表明应用方向相当琐碎。这是显示在图6。

我们现在对三倍重复实验进行。首先,我们绘制的空间一般的根源,并将其呈现在图7。在(a)部分,样本50000个随机整数octic多项式系数(确保系数最高学位8不是0)作为比较基础:octic,因为我们将对比程度8庞加莱多项式,上限2500000,因为我们可以看到从图6和(2.3),霍奇的最小和最大数量,分别,所以,上界术语是2425228。接下来,在(b)部分,我们把相同的,但对莫尼回文octics,也就是说,。最后,在(c),我们限制一次,所以线性项消失,也就是说,。

相较于这些通用的结果,我们可以发现所有的复根庞加莱多项式的所有已知的比丘四倍)。霍奇三百万左右不同的数据提出了一种重计算的挑战,一个Quadra-core MacPro 40 Gb的内存劳碌一周,生产约2300万复根。我们提出这些根部分的散点图(图一)8。部分(b)相同的图,我们放大稍微强调随机块图的范围7。

这个定理−1被庞加莱多项式的根意味着有等级超过团结是普遍适用的。因此,我们可以继续分析。现在,(2.4)意味着平等(当然,最后遵循直接定义的欧拉示性数) 然而,之间的关系和self-mirror,甚至后者的概念,显然不清楚在复杂尺寸大于三。尽管如此,我们仍然可以检查(2.5四倍的空间)。的大约300万个不同的三胞胎,只有61年欧拉数消失,我们演示图9:在(a)部分中,对部分(b),对。霍奇我们看到,这些都是相对小的数字,和(b)部分中,我们可以看到,尽管一般线性行为部分(b)图6,有一些子结构。在(c)部分,我们把庞加莱多项式的根的有趣的形状为这些61个成员。在回顾图6,我们看到,也许最接近镜面对称的概念在复杂尺寸4的交换和。300万年前后,我们找到了5009的财产。我们画出对在图的(a)部分10和庞加莱多项式根的部分(b)。

3所示。Noncompact比丘几何、复曲面图和牛顿多项式

在旅行中沉溺于紧凑的空间平滑比丘三倍,四倍,以及他们庞加莱多项式,继续noncompact比丘的空间几何图形几乎是敷衍的下一步。这些是仿射平面空间等品种本地和奇点承认戈伦斯坦决议,麦凯通信中心和数学概括以及广告/钢管和膜在弦理论。一个丰富多彩的主题被编织在过去的几十年里,即增加我们目前的相关性调查。

最重要的家庭非紧化比丘几何图形无疑是那些承受复曲面的描述,在介绍中提到的。在复杂的三维,比丘共面条件迫使环面的图,那里每一个特征是(凸)晶格多边形,每个。因此,一个多项式,脑海中立刻牛顿多项式 我们插入了潜在的系数在哪里普遍性。这不是一个轻浮的行为;实际上,当所谓“多样性”,他们是第一个定义在[33)和中扮演着至关重要的角色理解二聚体模型/膜铺瓷砖的解释复曲面的测量理论(34,35,50]。

最著名的为仿射比丘环面的图3倍是描绘在图11,自解释的格子点的端点;这些包括下意识的多面体维度两个,和通常被称为()conifold (b), (c)暂停掐点(SPP), (d)仿射锥在第0 Hirzebruch表面,(e),仿射锥,(f, g, h)分别,锥,第一,第二,第三del Pezzo表面的吹在1、2和3的通用点。

一个直接的困难(3.1),当然,bi-variate多项式,即描述,代数,黎曼曲面。尽管这种表面的理解是至关重要的规范理论构建膜探测这些仿射环面的比丘空间(cf。50]讨论的网络关系和各种预测和刺的黎曼曲面),零的概念是不明显的。例如,我们可以设置一个坐标的一个固定值,并考虑由此产生的单变量投影的根源。然而,这似乎并不特别自然。然而,出于演示的目的,我们在图包括几个例子12,我们有1,不同的系数随机和整体,并绘制生成多项式的根5000年的样本。

一个更自然,事实证明,有趣的方向是考虑(3.1)不是一个复杂的,但是作为一个真正的曲线。比较,我们应该注意到“变形虫”和““海藻”预测提出了(50],分别是(ln)的真实和虚构的预测相关的复曲面的比丘牛顿多项式的三倍。

在这方面,最重要的或许数量对于我们复杂的牛顿多项式的转折点,即真正的临界点的集合。换句话说,我们同时找到真正的解决方案 与随机抽样和丢弃的解决方案。这一点,实际上,让我们回到华林的原始因素nonreal根源。

在图13,我们需要一个固定环面的图对应于一个给定的比丘几何,并考虑牛顿多项式(3.1)。然后,我们样品50000个随机整数系数在一个适当的范围内,在这里。对于每一个,我们发现真正的临界点,和共同的阴谋。我们注意到,不,任何真正的临界点,从而排除在外。这是由于牛顿多项式就是为。因此,(3.2)给、独立的坐标。同样,(b)的情况下,conifold,可以被视为一个参考点。牛顿多项式是那里,临界点的解决方案,或者,。因此,考虑到每个人独立随机均匀分布,是转折点吗然后分配份额的随机样本,并从集群接近较低的值见图中的深色区域。

奉献

快乐的场合安装教授马丁·泰勒的第五十监狱长默顿学院,牛津,在10月的第二天,在二千零一十年我们的主,和高尚的退休教授杰西卡·劳森爵士这卑微的短暂的注意的是专用的。看守人万岁(拉丁语),执行管理委员会,万岁(拉丁语)&不删命运住所!

确认

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